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2018_2019高中数学第二章数列2.2.3第2课时等差数列前n项和公式的变形及应用学案苏教版必修5

第 2 课时 学习目标 最值. 等差数列前 n 项和公式的变形及应用 1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前 n 项和的函数特征求 知识点一 等差数列前 n 项和与等差中项的关系 思考 在等差数列{an}中,若 a3=2,求 S5. 5?a1+a5? a1+a5 答案 S5= =5· =5a3=10. 2 2 梳理 等差数列{an}的前 n 项和 Sn= n?a1+an? 2 ,其中 a1+an 2 为 a1,an 的等差中项,若结合性质 “m+n=p+q 得 am+an=ap+aq,”还可把 a1+an 换成 a2+an-1,a3+an-2,?. 知识点二 等差数列前 n 项和的最值 思考 我们已经知道当公差 d≠0 时, 等差数列前 n 项和是关于 n 的二次函数 Sn= n +?a1- ? 2? 2 ? 2 d ? d? n,类比二次函数的最值情况,等差数列的前 n 项和 Sn 何时有最大值?何时有最小值? 答案 由二次函数的性质可以得出:当 a1<0,d>0 时,Sn 先减后增,有最小值;当 a1>0,d<0 时,Sn 先增后减,有最大值;且 n 取最接近对称轴的正整数时,Sn 取到最值. 梳理 等差数列前 n 项和的最值与{Sn}的单调性有关: (1)若 a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正项(或 0),所以将这些项相加即得{Sn}的最大值. (2)若 a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负项(或 0),所以将这些项相加即得{Sn}的最小值. (3)若 a1>0,d>0,则{Sn}是递增数列,S1 是{Sn}的最小值;若 a1<0,d<0,则{Sn}是递减数列, S1 是{Sn}的最大值. 1.等差数列的前 n 项和一定是常数项为 0 的关于 n 的二次函数.(×) 2.等差数列{an}的前 n 项和 Sn= n?a3+an-2? 2 (n≥3).(√) 3.若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则? ?为等差数列.(√) ?n? ?Sn? 1 类型一 等差数列前 n 项和的性质的应用 例 1 (1)等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,求数列{an}的前 3m 项的和 S3m; Sn 7n+2 a5 (2)两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,已知 = ,求 的值. Tn n+3 b5 考点 等差数列前 n 项和性质运用 题点 等差数列连续 m 项和成等差数列 解 (1)方法一 在等差数列中, ∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列, ∴30,70,S3m-100 成等差数列. ∴2×70=30+(S3m-100), ∴S3m=210. 方法二 在等差数列中, , ∴ 2S2m Sm S3m = + . 2m m 3m Sm S2m S3m , 成等差数列, m 2m 3m 即 S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210. 1 9?a1+a9? ?a1+a9? 2 a5 2 (2) = = b5 1 9?b1+b9? ?b1+b9? 2 2 S9 7×9+2 65 = = = . T9 9+3 12 反思与感悟 等差数列前 n 项和 Sn 的有关性质在解题过程中,如果运用得当可以达到化繁为 简、化难为易、事半功倍的效果. 跟踪训练 1 设{an}为等差数列, Sn 为数列{an}的前 n 项和, 已知 S7=7, S15=75, Tn 为数列? ? ?n? ?Sn? 的前 n 项和,求 Tn. 考点 等差数列前 n 项和性质运用 题点 等差数列前 n 项和性质其他问题 解 设等差数列{an}的公差为 d, 1 则 Sn=na1+ n(n-1)d, 2 ∵S7=7,S15=75, 2 ?7a1+21d=7, ? ∴? ?15a1+105d=75, ? 即? ? ?a1+3d=1, ?a1+7d=5, ? ?a1=-2, ? ? ?d=1. 解得? Sn 1 1 5 ∴ =a1+ (n-1)d= n- , n 2 2 2 ∴ Sn+1 Sn 1 - = , n+1 n 2 ?Sn? 1 ∴数列? ?是等差数列,其首项为-2,公差为 , 2 ?n? ∴Tn=n×(-2)+ n?n-1? 1 1 2 9 2 × = n - n. 2 4 4 类型二 等差数列前 n 项和的最值问题 例 2 在等差数列{an}中,若 a1=25,且 S9=S17,求 Sn 的最大值. 考点 等差数列前 n 项和最值 题点 求等差数列前 n 项和的最值 解 方法一 ∵S9=S17,a1=25, 9?9-1? 17?17-1? ∴9×25+ d=17×25+ d, 2 2 解得 d=-2. ∴Sn=25n+ n?n-1? 2 2 ×(-2)=-n +26n 2 =-(n-13) +169. ∴当 n=13 时,Sn 有最大值 169. 方法二 同方法一,求出公差 d=-2. ∴an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27. ∵a1=25>0, 1 ? ?n≤132, 得? 1 ?n≥122, ? ? ?an=-2n+27≥0, 由? ?an+1=-2?n+1?+27≤0, ? 又∵n∈N ,∴当 n=13 时,Sn 有最大值 169. 方法三 同方法一,求出公差 d=-2.∵S9=S17, ∴a10+a11+?+a17=0. 3 * 由等差数列的性质得 a13+a14=0. ∴a13>0,a14<0. ∴当 n=13 时,Sn 有最大值 169. 方法四 同方法一,求出公差 d=-2.设 Sn=An +Bn. ∵S9=S17, 9+17 ∴二次函数对称轴为 x= =13,且开口方向向下, 2 ∴当 n=13 时,Sn 取得最大值 169. 反思与感悟 (1)等差数列前 n 项和 Sn 最大(小)值的情形: ①若 a1>0,