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第三篇导数及其应用第1讲变化率与导数导数的运算


应地,切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 3.函数 f(x)的导函数 称函数 f′(x)=liΔx→0 m f?x+Δx?-f?x? 为 f(x)的导函数,导函数有时也记作 y′. Δx

第1讲
【2013 年高考会这样考】

变化率与导数、导数的运算

4.基本初等函数的导数公式 若 f(x)=c,则 f′(x)=0; 若 f(x)=xα(α∈R),则 f′(x)=αxα-1; 若 f(x)=sin x,则 f′(x)=cos x; 若 f(x)=cos x,则 f′(x)=-sin x; 若 f(x)=ax(a>0,且 a≠1),则 f′(x)=axln_a; 若 f(x)=ex,则 f′(x)=ex; 1 若 f(x)=logax(a>0,且 a≠1),则 f′(x)=xln a;

1.利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程. 2.考查导数的有关计算,尤其是简单的函数求导. 【复习指导】 本讲复习时,应充分利用具体实际情景,理解导数的意义及几何意义,应能灵活运用导数 公式及导数运算法则进行某些函数求导.

基础梳理 1.函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 f?x2?-f?x1? . x2-x1

1 若 f(x)=ln x,则 f′(x)= x. 5.导数四则运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? f?x? ? ?′= (3)? [g?x?]2 ?g?x?? 6.复合函数的求导法则 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=yu′·x′. u (g(x)≠0).

Δy 若 Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为Δx. 2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 (1)定义 Δy 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 liΔx→0 Δx= m liΔx→0 m f?x0+Δx?-f?x0? 为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数, 记作 f′(x0)或 y′|x=x0, f′(x0) 即 Δx

一个区别 曲线 y=f(x)“在”点 P(x0,y0)处的切线与“过”点 P(x0,y0)的切线的区别: 曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线是指 P 为切点,若切线斜率存在时,切线斜率为 k= f′(x0),是唯一的一条切线;曲线 y=f(x)过点 P(x0,y0)的切线,是指切线经过 P 点,点 P 可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.
-1-

Δy =liΔx→0 Δx. m (2)几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点(x0, 0))处切线的斜率. f(x 相

两种法则 (1)导数的四则运算法则. (2)复合函数的求导法则. 三个防范 1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. 2.要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别. 3.正确分解复合函数的结构,由外向内逐层求导,做到不重不漏. 双基自测 1.下列求导过程中 1 1 ?1? ?ln x? ①? x?′=-x2;②( x)′= ;③(logax)′=?ln a?′= ? ? ? ? 2 x 1 x x xln a xln a x xln a;④(a )′=(eln a )′=(e )′=e ln a=a ln a 其中正确的个数是( A.1 B.2 C.3 答案 D ). ). D.4

答案

B ).

4.(2011· 江西)若 f(x)=x2-2x-4ln x,则 f′(x)>0 的解集为( A.(0,+∞) C.(2,+∞) 解析 B.(-1,0)∪(2,+∞) D.(-1,0)

4 2?x-2??x+1? 令 f′(x)=2x-2-x = >0, 利用数轴标根法可解得-1<x<0 或 x>2, x

又 x>0,所以 x>2.故选 C. 答案 C

5.如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4), 则 f(f(0))=______;liΔx→0 m f?1+Δx?-f?1? =________(用数字作答). Δx

答案

2

-2

2.(人教 A 版教材习题改编)函数 f(x)=(x+2a)(x-a)2 的导数为( A.2(x2-a2) B.2(x2+a2) C.3(x -a ) D.3(x +a ) 解析 答案 f′(x)=(x-a) +(x+2a)[2(x-a)]=3(x -a ). C
2 2 2 2 2 2 2

考向一

导数的定义

【例 1】?利用导数的定义求函数 f(x)=x3 在 x=x0 处的导数,并求曲线 f(x)=x3 在 x=x0 处 切线与曲线 f(x)=x3 的交点. [审题视点] 正确理解导数的定义是求解的关键. ). 解
3 f?x?-f?x0? x3-x0 f′(x0)=x→x0 lim =x→x0 lim x-x0 x-x0

sin x 1 ?π ? 3.(2011· 湖南)曲线 y= -2在点 M?4,0?处的切线的斜率为( ? ? sin x+cos x 1 A.-2 解析 1 B.2 2 C.- 2 2 D. 2

=x→x0 (x2+xx0+x2)=3x2. lim 0 0 曲线 f(x)=x3 在 x=x0 处的切线方程为
2 y-x3=3x0· (x-x0), 0

本小题考查导数的运算、导数的几何意义,考查运算求解能力.

cos x?sin x+cos x?-sin x?cos x-sin x? 1 π 1 y′= = ,把 x=4代入得导数值为2. ?sin x+cos x?2 1+sin 2x
-2-



y=3x2x-2x3,由? 0 0

3 ?y=x , 2 3 ?y=3x0x-2x0,

x? x? ? (3)y=sin2?1-2cos24?; ? (4)y= 1 1 + ; 1- x 1+ x

得(x-x0)2(x+2x0)=0,解得 x=x0,x=-2x0. 若 x0≠0,则交点坐标为(x0,x3),(-2x0,-8x3); 0 0 若 x0=0,则交点坐标为(0,0). Δy 利用定义求导数的一般过程是:(1)求函数的增量 Δy;(2)求平均变化率Δx;(3) 求极限 liΔx→0 m Δy . Δx

[审题视点] 先把式子化为最简式再进行求导. 1 x2+x5+sin x 3 sin x (1)∵y= =x-2+x3+ x2 , 2 x



? 3? ∴y′=?x-2?′+(x3)′+(x-2sin x)′ ? ? 3 5 =-2x-2+3x2-2x-3sin x+x-2cos x. (2)法一 y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,

【训练 1】 利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数. 证明 法一 设 y=f(x)是奇函数,即对定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x) f?x+Δx?-f?x? Δx f?-x+Δx?-f?-x? Δx

f′(x)=liΔx→0 m

∴y′=3x2+12x+11. 法二 y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′

则 f′(-x)=liΔx→0 m =liΔx→0 m

=[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)· (x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11. x? x? 1 ? (3)∵y=sin2?-cos2?=-2sin x, ? 1 1 ? 1 ? ∴y′=?-2sin x?′=-2(sin x)′=-2cos x. ? ? (4)y= 1+ x+1- x 1 1 2 + = = , 1- x 1+ x ?1- x??1+ x? 1-x

f?x-Δx?-f?x? =f′(x) -Δx

因此 f′(x)为偶函数,同理可证偶函数的导数是奇函数. 法二 设 y=f(x)是奇函数,即对定义域内的任意 x 都有

f(-x)=-f(x),即 f(x)=-f(-x) 因此 f′(x)=[-f(-x)]′=- [f(-x)]′=f′(-x) 则 f′(x)为偶函数 同理可证偶函数的导数是奇函数. 考向二 导数的运算 【例 2】?求下列各函数的导数: (1)y= x+x5+sin x ; x2

-2?1-x?′ 2 ? 2 ? ∴y′=?1-x?′= = . 2 ?1-x? ?1-x?2 ? ? (1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础. (2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导.

(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);
-3-

【训练 2】 求下列函数的导数:

(1)y=xnex; cos x (2)y= sin x ; (3)y=exln x; (4)y=(x+1)2(x-1). 解 (1)y′=nxn-1ex+xnex=xn-1ex(n+x).

π (3)设 y=u2,u=sin v,v=2x+3,

则 yx′=yu′·v′·x′=2u· v· u v cos 2 π? π? 2π? ? ? ? =4sin?2x+3?· ?2x+3?=2sin?4x+ 3 ?. cos ? ? ? ? ? ? (4)设 y=ln u,u=2x+5,则 yx′=yu′·x′ u y′= 1 2 · (2x+5)′= . 2x+5 2x+5 由复合函数的定义可知,中间变量的选择应是基本函数的结构,解这类问题的 关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始,由外向内,一层一层地分析,把 复合函数分解成若干个常见的基本函数,逐步确定复合过程. 考向三 求复合函数的导数 【训练 3】 求下列函数的导数: (1)y= x2+1; (3)y=e-xsin 2x; 解 (1)y′= 2 (2)y=sin22x; (4)y=ln 1+x2. 1 x · 2x= 2 , 2 x +1 x +1

-sin2x-cos2x 1 (2)y′= =-sin2x. sin2x 1 ?1 ? (3)y′=exln x+ex·=ex? x+ln x?. x ? ? (4)∵y=(x+1)2(x-1)=(x+1)(x2-1)=x3+x2-x-1, ∴y′=3x2+2x-1.

【例 3】?求下列复合函数的导数. (1)y=(2x-3)5;(2)y= 3-x; π? ? (3)y=sin2?2x+3?;(4)y=ln(2x+5). ? ? [审题视点] 正确分解函数的复合层次,逐层求导. 解 (1)设 u=2x-3,则 y=(2x-3)5,

(2)y′=(2sin 2x)(cos 2x)×2=2sin 4x (3)y′=(-e-x)sin 2x+e-x(cos 2x)×2 =e-x(2cos 2x-sin 2x). (4)y′= 1 1 x 2x= . 2· 2· 1+x2 1+x 2 1+x

由 y=u5 与 u=2x-3 复合而成, ∴y′=f′(u)· u′(x)=(u5)′(2x-3)′=5u4· 2 =10u4=10(2x-3)4. (2)设 u=3-x,则 y= 3-x. 1 由 y=u2与 u=3-x 复合而成. 1 1 1 y′=f′(u)· u′(x)=(u2)′(3-x)′=2u-2(-1) 3-x 1 1 1 =- u- =- = . 2 2 2 3-x 2x-6
-4-

规范解答 6——如何求曲线上某一点的切线方程 【问题研究】 利用导数的几何意义求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高考 常常涉及的问题.这类问题最容易出现的错误就是分不清楚所求切线所过的点是不是切点 而导致错误.,

【解决方案】 解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求的是“在曲线上某点处的切 线方程”还是“过某点的切线方程”,然后求某点处的斜率,用点斜式写出切线方程. 1-a 【示例】?(本题满分 12 分)(2010· 山东)已知函数 f(x)=ln x-ax+ x -1(a∈R). (1)当 a=-1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; 1 (2)当 a≤2时,讨论 f(x)的单调性. (1)求出在点(2,f(2))处的斜率及 f(2),由点斜式写出切线方程; (2)求 f′(x),再对 a 分类讨论. 2 [解答示范] (1)当 a=-1 时,f(x)=ln x+x+ x-1, x2+x-2 x∈(0,+∞).所以 f′(x)= x2 ,x∈(0,+∞),(1 分) 因此 f′(2)=1,即曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为 1. 又 f(2)=ln 2+2, 所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-(ln 2+2)=x-2,即 x-y+ln 2=0.(3 分) 1-a a-1 ax -x+1-a 1 (2)因为 f(x)=ln x-ax+ x -1,所以 f′(x)= x-a+ x2 =- ,x∈(0,+ x2 ∞).(4 分) 令 g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞). ①当 a=0 时,g(x)=-x+1,x∈(0,+∞), 所以当 x∈(0,1)时,g(x)>0, 此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时 f′(x)>0,函数 f(x)单调递增;(6 分) ②当 a≠0 时,由 f′(x)=0, 1 即 ax2-x+1-a=0,解得 x1=1,x2=a-1.
-52

1 a.当 a=2时,x1=x2,g(x)≥0 恒成立,此时 f′(x)≤0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减; (7 分) 1 1 b.当 0<a<2时,a-1>1>0. x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 1 ? ? ?1 ? x∈?1,a-1?时,g(x)<0,此时 f′(x)>0,函数 f(x)单调递增;x∈?a-1,+∞?时,g(x) ? ? ? ? >0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减;(9 分) 1 c.当 a<0 时,由于a-1<0,x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时 f′(x)>0,函数 f(x)单调递增.(11 分) 综上所述: 当 a≤0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减, 函数 f(x)在(1,+∞)上单调递增; 1 当 a=2时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减; 1 当 0<a<2时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减,

1 ? ? 函数 f(x)在?1,a-1?上单调递增, ? ? ?1 ? 函数 f(x)在?a-1,+∞?上单调递减.(12 分) ? ? 求解切线问题的关键是切点坐标,无论是已知切线斜率还是切线经过某一点, 切点坐标都是化解难点的关键所在.


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