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2013高考理科数学二轮2-1-27


专题一 高考中选择题、

填空题解题能力大突破

考查空间角与距离
【例 59】? (2012· 陕西)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC - 1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线 BC1 与直线 AB1 夹 A 角的余弦值为 5 A. 5 5 B. 3 2 5 C. 5 3 D. 5 ( ).

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解析 设 CA=2,则 C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0), → → B1(0,2,1),可得向量AB1=(-2,2,1),BC1=(0,2,-1),由向量 -2×0+2×2+1×?-1? 1 → → 的夹角公式得 cos〈AB1,BC1〉= = 5 0+4+1· 4+4+1 5 =5. 答案 A

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【例 60】? (2012· 辽宁)已知正三棱锥 PABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3的球面上,若 PA,PB,PC 两两相互垂直, 则球心到截面 ABC 的距离为________.

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解析

先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥,再利用

正方体的性质解题.如图,满足题意的正三棱锥 PABC 可以是 正方体的一部分,其外接球的直径是正方体的体对角线,且面 ABC 与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点,所以球心 1 到平面 ABC 的距离等于体对角线长的6, 故球心到截面 ABC 的 1 3 距离为6×2 3= 3 . 答案 3 3

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命题研究:1.两条异面直线所成的角的求解多以柱体为载体, 计算较为简单,主要以选择题或填空题的形式进行考查;

2.直线和平面所成的角多以多面体为载体,在选择题或填空题
中主要考查利用定义法求解; 3.以特殊的柱体或锥体为载体,直接考查点到面或面到面的距 离,多为选择题或填空题,试题难度不大.

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[押题50]

如图,已知三棱柱ABC- 1B1C1的各条棱长都相等, A

且CC1⊥底面ABC,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和 BM所成的角为 π A. 2 π C. 6 π B. 4 π D. 3 ( ).

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答案:

A [由题意可知该三棱柱为正三棱柱,设其棱长为 2,

π → → → BA=a,BB1=b,BC=c,则|a|=|b|=|c|=2,且〈a,c〉=3, π π 〈a,b〉=〈b,c〉= ,所以 a· c=2×2×cos =2,a· b=b· c 2 3
? 1 ? 1 → → → → ?c+ =0.而AB1=b-a,BM=c+ b,所以AB1· =(b-a)· 2b?= BM 2 ? ?

1 2 1 π → → b· b -a· a· c+ c- b=0,故〈AB1,BM〉= ,即异面直线 AB1 2 2 2 π 与 BM 所成的角为 .] 2
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[押题51] 如图,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平

面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2,则点A到平
面MBC的距离等于________.

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解析

取 CD 的中点 O,连接 OB、OM,则 OB⊥CD,OM⊥

CD.又平面 MCD⊥平面 BCD,则 OM⊥平面 BCD,所以 OM⊥ OB.以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得 OB=OM= 3,则各点坐标分别为 C(1,0,0),M(0,0, 3),B(0, → → - 3,0),A(0,- 3,2 3).所以BC=(1, 3,0),BM=(0, → 3, 3),BA=(0,0,2 3).设 n=(x,y,z)是平面 MBC 的法向 → 量,由 n⊥BC,得 x+ 3y=0;

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→ 由 n⊥BM,得 3y+ 3z=0.令 x= 3,则 y=-1,z=1,所以 n=( 3,-1,1)是平面 MBC 的一个法向量.所以点 A 到平面 → |BA· 2 3 2 15 n| MBC 的距离为 = = . |n| 5 5 答案 2 15 5

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