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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 11.2 古典概型


§ 11.2

古典概型

1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. 3.如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个 1 m 基本事件的概率都是 ;如果某个事件 A 包括的结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P(A)= . n n 4.古典概型的概率公式 A包含的基本事件的个数 P(A)= . 基本事件的总数 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与 不发芽”.( × ) (2)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事 件.( × )

(3)从市场上出售的标准为 500± 5 g 的袋装食盐中任取一袋, 测其重量, 属于古典概型. ( × ) (4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能 1 性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 .( √ ) 3 (5)从 1,2,3,4,5 中任取出两个不同的数,其和为 5 的概率是 0.2.( √ ) (6)在古典概型中,如果事件 A 中基本事件构成集合 A,且集合 A 中的元素个数为 n,所有的 n 基本事件构成集合 I,且集合 I 中元素个数为 m,则事件 A 的概率为 .( √ m )

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1.一枚硬币连掷 2 次,只有一次出现正面的概率为( 2 1 1 1 A. B. C. D. 3 4 3 2 答案 D 解析 一枚硬币连掷 2 次,共有 4 种不同的结果: 正正,正反,反正,反反, 2 1 所以一次出现正面的概率为 = . 4 2

)

2.袋中装有 6 个白球,5 个黄球,4 个红球,从中任取一球抽到白球的概率为( 2 4 3 A. B. C. D.非以上答案 5 15 5 答案 A

)

6 2 解析 从 15 个球中任取一球有 15 种抽法,抽到白球有 6 种,所以抽到白球的概率 P= = . 15 5 3.(2013· 重庆)若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为________. 答案 解析 2 3 甲、乙、丙三人随机地站成一排,共有甲、乙、丙,甲、丙、乙,乙、甲、丙,乙、

丙、甲,丙、甲、乙,丙、乙、甲共 6 种排法,其中甲、乙两人相邻而站共甲、乙、丙,乙、 4 2 甲、丙,丙、甲、乙,丙、乙、甲 4 种排法,故 P= = . 6 3 4.从 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字中,任取 2 个数字相加,其和为偶数的概率是________. 答案 2 5

解析 从 6 个数中任取 2 个数的可能情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5), (2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共 15 种,其中和为偶数的情况有(1,3),(1,5), 2 (2,4),(2,6),(3,5),(4,6),共 6 种,所以所求的概率是 . 5

题型一 基本事件与古典概型的判断 例 1 袋中有大小相同的 5 个白球,3 个黑球和 3 个红球,每球有一个区别于其他球的编号,
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从中摸出一个球. (1)有多少种不同的摸法?如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型,该模型是不 是古典概型? (2)若按球的颜色为划分基本事件的依据,有多少个基本事件?以这些基本事件建立概率模型, 该模型是不是古典概型? 思维点拨 古典概型的判断依据是“有限性”和“等可能性”. 解 (1)由于共有 11 个球,且每个球有不同的编号,故共有 11 种不同的摸法. 又因为所有球大小相同,因此每个球被摸中的可能性相等, 故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型. (2)由于 11 个球共有 3 种颜色,因此共有 3 个基本事件,分别记为 A:“摸到白球”,B:“摸 到黑球”,C:“摸到红球”, 1 又因为所有球大小相同,所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为 ,而白球有 5 个, 11 5 故一次摸球摸到白球的可能性为 , 11 3 同理可知摸到黑球、红球的可能性均为 , 11 显然这三个基本事件出现的可能性不相等, 所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型. 思维升华 一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点 ——有限

性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型. 下列试验中,是古典概型的个数为( )

①向上抛一枚质地不均匀的硬币,观察正面向上的概率; ②向正方形 ABCD 内,任意抛掷一点 P,点 P 恰与点 C 重合; ③从 1,2,3,4 四个数中,任取两个数,求所取两数之一是 2 的概率; ④在线段[0,5]上任取一点,求此点小于 2 的概率. A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 解析 ①中,硬币质地不均匀,不是等可能事件, 所以不是古典概型.

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②④的基本事件都不是有限个,不是古典概型. ③符合古典概型的特点,是古典概型问题. 题型二 古典概型的概率 例 2 (2013· 山东)某小组共有 A,B,C,D,E 五位同学,他们的身高(单位:米)及体重指标(单 位:千克/米 2)如下表所示: A 身高 体重指标 1.69 19.2 B 1.73 25.1 C 1.75 18.5 D 1.79 23.3 E 1.82 20.9

(1)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率; (2)从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9) 中的概率. 思维点拨 列举出基本事件. 解 (1)从身高低于 1.80 的 4 名同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有(A,B), (A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)共 6 个.设“选到的 2 人身高都在 1.78 以下”为 3 1 事件 M,其包括事件有 3 个,故 P(M)= = . 6 2 (2)从小组 5 名同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有(A,B),(A,C),(A, D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)共 10 个. 设“选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)”为事件 N, 且事件 N 包括事 件有(C,D),(C,E),(D,E)共 3 个. 3 则 P(N)= . 10 思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件 A 包含的基本事件的 个数,这就需要正确列出基本事件,基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法,具 体应用时可根据需要灵活选择. (2014· 天津)某校夏令营有 3 名男同学 A,B,C 和 3 名女同学 X,Y,Z,其年级 情况如下表: 一年级 男同学 A 二年级 B 三年级 C

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女同学

X

Y

Z

现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同). (1)用表中字母列举出所有可能的结果; (2)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”, 求事件 M 发生 的概率. 解 (1)从 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X}, {A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y}, {X,Z},{Y,Z},共 15 种. (2)选出的 2 人来自在不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的所有可能结果为{A, Y},{A, Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共 6 种. 6 2 因此,事件 M 发生的概率 P(M)= = . 15 5 题型三 古典概型与统计的综合应用 例 3 (2013· 陕西)有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛,由 500 名大众评委现场投票决定 歌手名次,根据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下: 组别 人数 A 50 B 100 C 150 D 150 E 50

(1)为了调查评委对 7 位歌手的支持情况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从 B 组中抽取了 6 人.请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别 人数 抽取人数 A 50 B 100 6 C 150 D 150 E 50

(2)在(1)中,若 A,B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手,现从这两组被抽到的评委 中分别任选 1 人,求这 2 人都支持 1 号歌手的概率. 思维点拨 各组抽取人数的比率是相等的,因此,由 B 组抽取的比率可求得其它各组抽取的 人数. 解 (1)由题设知,分层抽样的抽取比例为 6%,所以各组抽取的人数如下表: 组别 人数 抽取人数 A 50 3 B 100 6 C 150 9 D 150 9 E 50 3

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(2)记从 A 组抽到的 3 个评委为 a1,a2,a3,其中 a1,a2 支持 1 号歌手;从 B 组抽到的 6 个评 委为 b1,b2,b3,b4,b5,b6,其中 b1,b2 支持 1 号歌手.从{a1,a2,a3}和{b1,b2,b3,b4, b5,b6}中各抽取 1 人的所有结果为

由以上树状图知所有结果共 18 种,其中 2 人都支持 1 号歌手的有 a1b1,a1b2,a2b1,a2b2 共 4 种, 4 2 故所求概率 P= = . 18 9 思维升华 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型,已成为高考考

查的热点.概率与统计结合题,无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎 叶图等给出信息,只需要能够从题中提炼出需要的信息,则此类问题即可解决. (2014· 湖南)某企业有甲、乙两个研发小组.为了比较他们的研发水平,现随机抽 取这两个小组往年研发新产品的结果如下: (a,b),(a, b ),(a,b),( a ,b),( a , b ),(a,b),(a,b),(a, b ),( a ,b),(a, b ), ( a , b ),(a,b),(a, b ),( a ,b),(a,b). 其中 a, a 分别表示甲组研发成功和失败;b, b 分别表示乙组研发成功和失败. (1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记 1 分,否则记 0 分.试计算甲、乙两组研发新产 品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平; (2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰有一组研发成功的概率. 解 (1)甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1, 其平均数为 x
甲=

10 2 = ; 15 3

方差为 2 1 ?? 2?2 2 1- ×10+?0- ?2×5?= . s2 甲= 3? ? 3? ? 9 15??

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乙组研发新产品的成绩为 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1, 其平均数为 x
乙=

9 3 = ; 15 5

方差为 3 1 ?? 3?2 6 1- ×9+?0- ?2×6?= . s2 乙= 5? ? 5? ? 25 15?? 因为 x
甲>

x

2 2 乙,s甲<s乙,

所以甲组的研发水平优于乙组. (2)记 E={恰有一组研发成功}. 在所抽得的 15 个结果中,恰有一组研发成功的结果是(a, b ),( a ,b),(a, b ),( a ,b), (a, b ),(a, b ),( a ,b),共 7 个. 7 故事件 E 发生的频率为 . 15 7 将频率视为概率,即得所求概率为 P(E)= . 15

六审细节更完善 典例:(12 分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球, 该球的编号为 n,求 n<m+2 的概率. 审题路线图 (1)基本事件为取两个球 ↓(两球一次取出,不分先后,可用集合的形式表示) 把取两个球的所有结果列举出来 ↓ {1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4} ↓两球编号之和不大于 4 (注意:和不大于 4,应为小于 4 或等于 4)
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↓{1,2},{1,3} 2 1 ↓利用古典概型概率公式 P= = 6 3 (2)两球分两次取,且有放回 ↓(两球的编号记录是有次序的,用坐标的形式表示) 基本事件的总数可用列举法表示 ↓(1,1),(1,2),(1,3),(1,4) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4) 审题路线图 ↓(注意细节,m 是第一个球的编号,n 是第 2 个球的编号) n<m+2 的情况较多,计算复杂 (将复杂问题转化为简单问题) ↓计算 n≥m+2 的概率 ↓n≥m+2 的所有情况为(1,3),(1,4),(2,4) ↓P1= 3 16

3 ↓?注意细节,P1= 是 n≥m+2 的概率,需转化为其对立事件的概率? 16 13 n<m+2 的概率为 1-P1= . 16 规范解答 解 (1)从袋中随机取两个球, 其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4},{3,4},共 6 个. 2 从袋中取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有{1,2},{1,3}两个.因此所求事件的概率 P= 6 1 = .[4 分] 3 (2)先从袋中随机取一个球,记下编号为 m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为 n, 其一切可能的结果(m,n)有 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2), (4,3),(4,4),共 16 个.[6 分] 又满足条件 n≥m+2 的事件为(1,3),(1,4),(2,4),共 3 个,

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3 所以满足条件 n≥m+2 的事件的概率为 P1= .[10 分] 16 故满足条件 n<m+2 的事件的概率为 3 13 1-P1=1- = .[12 分] 16 16 温馨提醒 (1)本题在审题时,要特别注意细节,使解题过程更加完善.如第(1)问,注意两球 一起取,实质上是不分先后,再如两球编号之和不大于 4 等;第(2)问,有次序. (2)在列举基本事件空间时,可以利用列举、画树状图等方法,以防遗漏.同时要注意细节, 如用列举法, 第(1)问应写成{1,2}的形式, 表示无序, 第(2)问应写成(1,2)的形式, 表示有序. (3) 本题解答时,存在格式不规范,思维不流畅的严重问题.如在解答时,缺少必要的文字说明, 没有按要求列出基本事件.在第(2)问中,由于不能将事件 n<m+2 的概率转化成 n≥m+2 的 概率,导致数据复杂、易错.所以按要求规范解答是做好此类题目的基本要求.

方法与技巧 1.古典概型计算三步曲 第一,本试验是不是等可能的;第二,本试验的基本事件有多少个;第三,事件 A 是什么, 它包含的基本事件有多少个. 2.确定基本事件的方法 (1)当基本事件总数较少时,可列举计算; (2)列表法、树状图法. 3.较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算. 失误与防范 1.古典概型的重要思想是事件发生的等可能性,一定要注意在计算基本事件总数和事件包括 的基本事件个数时,它们是不是等可能的. 2.概率的一般加法公式: P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 公式使用中要注意: (1)公式的作用是求 A∪B 的概率, 当 A∩B=?时, A、 B 互斥, 此时 P(A∩B) =0,所以 P(A∪B)=P(A)+P(B);(2)要计算 P(A∪B),需要求 P(A)、P(B),更重要的是把握事

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件 A∩B,并求其概率;(3)该公式可以看作一个方程,知三可求一.

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.(2013· 课标全国Ⅰ)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概 率是( 1 A. 2 1 C. 4 答案 B 解析 基本事件的总数为 6, 构成“取出的 2 个数之差的绝对值为 2”这个事件的基本事件的个数为 2, 2 1 所以所求概率 P= = ,故选 B. 6 3 2.甲乙两人一起去游泰山,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览,每 个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是( 1 A. 36 5 C. 36 答案 D 解析 最后一个景点甲有 6 种选法,乙有 6 种选法,共有 36 种,他们选择相同的景点有 6 种, 6 1 所以 P= = ,所以选 D. 36 6 3.(2013· 安徽)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的 机会均等,则甲或乙被录用的概率为( 2 A. 3 3 C. 5 答案 D 解析 由题意知,从五位大学毕业生中录用三人,所有不同的可能结果有(甲,乙,丙),(甲, 2 B. 5 9 D. 10 ) 1 B. 9 1 D. 6 ) ) 1 B. 3 1 D. 6

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乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙, 丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共 10 种,其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的 可能结果只有(丙,丁,戊)这 1 种,故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有 9 种,所求 9 概率 P= . 10 4.(2014· 江西)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为 5 的概率等于( 1 1 A. B. 18 9 答案 B 解析 掷两颗骰子,点数有以下情况: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4), (5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共 36 种,其中点数之和为 5 的有(1,4), 4 1 (2,3),(3,2),(4,1),共 4 种,故所求概率为 = . 36 9 5.连掷两次骰子分别得到点数 m、n,则向量(m,n)与向量(-1,1)的夹角 θ>90° 的概率是( 5 7 A. B. 12 12 答案 A 解析 ∵(m,n)· (-1,1)=-m+n<0,∴m>n. 基本事件总共有 6×6=36(个),符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),…, (5,4),(6,1),…,(6,5),共 1+2+3+4+5=15(个). 15 5 ∴P= = ,故选 A. 36 12 6.若 A、B 为互斥事件,P(A)=0.4,P(A∪B)=0.7,则 P(B)=________. 答案 0.3 解析 因为 A、B 为互斥事件, 所以 P(A∪B)=P(A)+P(B), 故 P(B)=P(A∪B)-P(A)=0.7-0.4=0.3. 7.(2014· 江苏)从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 ________.
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)

1 1 C. D. 6 12

)

1 1 C. D. 3 2

答案

1 3

解析 取两个数的所有情况有:{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6},共 6 种情况. 乘积为 6 的情况有:{1,6},{2,3},共 2 种情况. 2 1 所求事件的概率为 = . 6 3 8.用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,则相邻两个矩形涂 不同颜色的概率是________.

答案

1 4

解析 由于只有两种颜色,不妨将其设为 1 和 2,若只用一种颜色有 111;222. 若用两种颜色有 122;212;221;211;121;112. 所以基本事件共有 8 种. 1 又相邻颜色各不相同的有 2 种,故所求概率为 . 4 9.设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m,n,令平面向量 a=(m,n),b=(1,-3). (1)求使得事件“a⊥b”发生的概率; (2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率. 解 (1)由题意知,m∈{1,2,3,4,5,6},n∈{1,2,3,4,5,6}, 故(m,n)所有可能的取法共 36 种. a⊥b,即 m-3n=0,即 m=3n,共有 2 种:(3,1),(6,2), 2 1 所以事件 a⊥b 的概率为 = . 36 18 (2)|a|≤|b|,即 m2+n2≤10, 6 1 共有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)6 种,其概率为 = . 36 6 10.(2013· 天津)某产品的三个质量指标分别为 x,y,z,用综合指标 S=x+y+z 评价该产品的 等级.若 S≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取 10 件产品作为样本,其质 量指标列表如下: 产品编号 质量指标(x,y,z) A1 (1,1,2) A2 (2,1,1) A3 (2,2,2) A4 (1,1,1) A5 (1,2,1)

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产品编号 质量指标(x,y,z)

A6 (1,2,2)

A7 (2,1,1)

A8 (2,2,1)

A9 (1,1,1)

A10 (2,1,2)

(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (2)在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品. ①用产品编号列出所有可能的结果; ②设事件 B 为“在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事件 B 发生的概 率. 解 (1)计算 10 件产品的综合指标 S,如下表: 产品编号 S A1 4 A2 4 A3 6 A4 3 A5 4 A6 5 A7 4 A8 5 A9 3 A10 5

6 其中 S≤4 的有 A1,A2,A4,A5,A7,A9,共 6 件,故该样本的一等品率为 =0.6,从而可估 10 计该批产品的一等品率为 0.6. (2)①在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A4},{A1, A5},{A1,A7},{A1,A9},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},{A4,A7}, {A4,A9},{A5,A7},{A5,A9},{A7,A9},共 15 种. ②在该样本的一等品中,综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 A1,A2,A5,A7,则事件 B 发 生的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A7},{A5,A7},共 6 种. 6 2 所以 P(B)= = . 15 5 B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) 11. 从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点, 则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等 于( ) 1 1 C. D. 6 5

1 1 A. B. 10 8 答案 D

解析 如图所示, 从正六边形 ABCDEF 的 6 个顶点中随机选 4 个顶点, 可以 看作随机选 2 个顶点,剩下的 4 个顶点构成四边形,有 A、B,A、C,A、D,

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A、E,A、F,B、C,B、D,B、E,B、F,C、D,C、E,C、F,D、E,D、F,E、F,共 3 15 种.若要构成矩形,只要选相对顶点即可,有 A、D,B、E,C、F,共 3 种,故其概率为 15 1 = . 5 12.(2014· 湖北)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过 5 的概率记为 p1, 点数之和大于 5 的概率记为 p2,点数之和为偶数的概率记为 p3,则( A.p1<p2<p3 C.p1<p3<p2 答案 C 解析 随机掷两枚质地均匀的骰子,所有可能的结果共有 36 种. 事件“向上的点数之和不超过 5”包含的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2), 10 5 (2,3),(3,1),(3,2),(4,1)共 10 种,其概率 p1= = .事件“向上的点数之和大于 5”与“向 36 18 上的点数之和不超过 5”是对立事件, 所以“向上的点数之和大于 5”的概率 p2= 13 .因为朝上 18 B.p2<p1<p3 D.p3<p1<p2 )

1 的点数之和不是奇数就是偶数,所以“点数之和为偶数”的概率 p3= .故 p1<p3<p2. 2 13.2014 年 3 月 8 日发生的马来西亚航空公司 MH370 失联事件,引起了全世界人们长达数周 的密切关注.为了消除人们对航空安全的担忧,某航空公司决定对该公司所属的波音 777- 200,波音 777-300,空客 A350,空客 A380 四架客机进行集中安全大检查.若检测人员分两 周对客机进行全方位的检测,每周检测两架客机,则波音 777-200,波音 777-300 两架客机 在同一周被检测的概率为( 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 3 4 6 答案 B 解析 设波音 777-200,波音 777-300,空客 A350,空客 A380 四架客机分别记为 A,B,C, D,检测人员分两周对客机进行全方位的检测,每周检测两架客机基本事件是: (A,B;C, D),(A,C;B,D),(A,D;B,C),(B,C;A,D),(B,D;A,C),(C,D;A,B),共 6 种, 其中波音 777-200,波音 777-300 两架客机在同一周被检测即(A,B;C,D),(C,D;A, B),共 2 种, )

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2 1 所以波音 777-200,波音 777-300 两架客机在同一周被检测的概率为 P= = . 6 3 14.(2014· 课标全国Ⅰ)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,则 2 本数 学书相邻的概率为________. 答案 2 3

解析 两本不同的数学书用 a1,a2 表示,语文书用 b 表示, 则 Ω={(a1,a2,b),(a1,b,a2),(a2,a1,b),(a2,b,a1),(b,a1,a2),(b,a2,a1)}. 于是两本数学书相邻的情况有 4 种, 4 2 故所求概率为 = . 6 3 15.一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量 如下表(单位:辆): 轿车 A 舒适型 标准型 100 300 轿车 B 150 450 轿车 C z 600

按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (1)求 z 的值; (2)按型号用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本. 将该样本看成一个总体, 从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; (3)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下: 9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把这 8 辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求 该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率. 解 (1)设该厂这个月共生产轿车 n 辆, 50 10 由题意得 = ,所以 n=2 000, n 100+300 则 z=2 000-100-300-150-450-600=400. (2)设所抽样本中有 a 辆舒适型轿车, 400 a 由题意得 = ,则 a=2. 1 000 5 因此在抽取的容量为 5 的样本中,有 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车.用 A1,A2 表示 2 辆 舒适型轿车,用 B1,B2,B3 表示 3 辆标准型轿车,用 E 表示事件“在该样本中任取 2 辆,其

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中至少有 1 辆舒适型轿车”,则基本事件空间包含的基本事件有 (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3), (B2,B3),共 10 个. 事件 E 包含的基本事件有 (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共 7 个. 7 7 故 P(E)= ,即所求概率为 . 10 10 1 (3)样本平均数 x = (9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9. 8 设 D 表示事件“从样本中任取一个数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5”,则基本 事件空间中有 8 个基本事件,事件 D 包含的基本事件有 9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共 6 个,所以 6 3 3 P(D)= = ,即所求概率为 . 8 4 4

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