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湖北省黄冈市2016-2017学年高一下学期期末考试文科数学试题Word版含解析

黄冈市 2016-2017 学年度高一下学期期末考试

数学 (文科)

一、选择题:本题共 12 个小题, 每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,有且

只有一项符合题目要求.

1. 直线

的斜率为

A. 2 B. -2 C. D.

【答案】D

【解析】直线方程即:

,直线的斜率为

.

本题选择 D 选项.

2. 式子

的值为

A. B.

C.

D. 1

【答案】B 【解析】由题意可得:

本题选择 B 选项. 3. 不等式

的解集为

A.

B.

【答案】A

【解析】不等式即:



据此可得不等式的解集为:



C. R D.

表示成区间的形式为:

.

本题选择 A 选项. 点睛:一是当 Δ <0 时,不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为 R 还是?,要注意区别,当 a >0 时,解集为 R;当 a<0 时,解集为?.

二是对于不等式 ax2+bx+c>0 求解时不要忘记讨论 a=0 时的情形.

三是解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨论;若不能

因式分解,则可对判别式进行分类讨论分类要不重不漏.

4. 若

,且 ,则下列不等式一定成立的是

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】若

,则

,选项 A 错误;



,则

,选项 B 错误;



,则

,选项 C 错误;

对任意

,且

,则

恒成立.

本题选择 D 选项.

5. 已知 m,n 为直线,α 为平面,下列结论正确的是

A. 若

,则

B. 若

,则

C. 若

,则

D. 若

,则

【答案】D

【解析】逐一考查所给的线面关系:

A.若

, 不一定有

,如图所示的正方体中,若取 为

为平面 即为反例;

B.若

,不一定有

,如图所示的正方体中,若取 为

为平面

即为反例;

C.若

,不一定有

,如图所示的正方体中,若取 为

为平面

即为反例;

D.若

,由线面垂直定理的推论,则

.

本题选择 D 选项.

,平面 ,平面 ,平面

6. 已知实数 x,y 满足

,则

的最大值为

A. -7 B. -3 C. 11 D. 12

【答案】C

【解析】绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义可得目标函数在点



取得最大值

.

本题选择 C 选项.

7. 在等差数列 中,已知

,则数列 的前 6 项和 等于

A. 12 B. 3 C. 36 D. 6

【答案】D

【解析】由题意可得:

,结合等差数列前 n 项和公式及数列的性质有:

.

本题选择 D 选项.

8. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 ,若

,则△ABC 的面

积为

A. B. 1 C.

D. 2

【答案】C

【解析】由题意可得:







三角形 的面积:

.

本题选择 C 选项. 9. 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2,且侧棱 AA1⊥底面 ABC,其正(主) 视图是边长为 2 的正方形,则此三棱柱侧(左)视图的面积为

A.

B. 4 C.

D.

【答案】D 【解析】:∵三棱柱的底面为等边三角形,边长为 2,作出等边三角形的高 CD 后,

∴等边三角形的高



∴侧(左)视图的面积为

.

∵三棱柱的底面为等边三角形,边长为 2,作出等边三角形的高后,组成直角三角形,底边的

一半为 1,

∴等边三角形的高为 ;

∴侧(左)视图的面积为:

.

本题选择 D 选项.

10.

A.

B.

C. D.

【答案】C 【解析】由题意可得:

本题选择 C 选项. 11. 若

,则 的最小值为

A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】由均值不等式的结论:


当且仅当

时等号成立.

本题选择 B 选项.

点睛:在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均

为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现

错误.

12. 将正偶数集合

从小到大按第 组有 个偶数进行分组:



,则 2018 位于()组

A. 30 B. 31 C. 32 D. 33

【答案】C

【解析】第一组有 2=1×2 个数,最后一个数为 4;

第二组有 4=2×2 个数,最后一个数为 12 即 2×(2+4);

第三组有 6=2×3 个数,最后一个数为 24,即 2×(2+4+6);



∴第 n 组有 2n 个数,其中最后一个数为 2×(2+4+…+2n)=4(1+2+3+…+n)=2n(n+1).

∴当 n=31 时,第 31 组的最后一个数为 2×31×32=1984,

∴当 n=32 时,第 32 组的最后一个数为 2×32×33=2112,

∴2018 位于第 32 组。

本题选择 C 选项.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. 过点(1,2)且垂直于直线

的直线的一般式方程为___________.

【答案】x-2y+3=0

【解析】设所求的直线方程为:



直线过点

,则:



据此可得直线的一般式方程为:

.

点睛:运用直线系方程,有时会给解题带来方便,常见的直线系方程有:

(1)与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程是

Ax+By+m=0(m≠C);

(2)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m=0;

14. 已知等比数列{an}的前 n 项和

,则 a=_________.

【答案】3:1 【解析】a1=21+a=2+a,a2=S2?S1=2,a3=S3?S2=4, ∴(2+a)?4=4,求得 a=?1 故答案为?1.

15. 若对任意的实数 x,不等式

恒成立,则实数 a 的取值范围为

_________.

【答案】

【解析】当

时,不等式为:



时,不等式为:

,满足题意; ,不满足题意;

否则,当

时,应有:



整理可得:



求解不等式可得实数 a 的取值范围是:



综上可得,实数 a 的取值范围是

.

点睛:解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是小于 0,等于 0,还是大于 0,然后将不等式转化为二次项系 数为正的形式. (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式 Δ 与 0 的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解 集形式.

16. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 ,

, ,则 等于_________.

【答案】

结合余弦定理:

有:



整理可得:



取一元二次方程的正根可得:

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17. 若关于 x 的不等式

的解集为 .

(1)求 a,b; (2)求两平行线

之间的距离.

【答案】(1)a=-6,b=5(2)

【解析】试题分析: (1)利用根与系数的关系得到关于实数 a,b 的方程组,求解方程组可得:a=-6,b=5;

(2)利用两平行线之间的距离公式可得平行线之间的距离为

.

试题解析:

解:(1)由已知得方程 ax2+bx-1=0 的两根为 ,且 a<0,

所以

;解得 a=-6,b=5;

(2)

18. 根据所给条件分别求直线的方程.

(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦为 ;

(2)过点 M(1,-2)的直线分别与 x 轴,y 轴交于 P,Q 两点,若 M 为 PQ 的中点,求 PQ 的方程.

【答案】(1)

(2)

【解析】试题分析:

(1)利用题意首先求得直线的斜率,然后利用点斜式即可求得直线方程为:



(2)由中点坐标公式可得点 P,Q 的坐标,然后结合截距式方程可得直线方程为:

.

试题解析:

解:(1)设直线的倾斜角为 α ,由已知有

,

又 0≤α <π ,所以

,所以斜率

,

所以直线方程为

,

即 x-3y+4=0 或 x+3y+4=0; (2)由中点坐标公式可得 P(2,0),Q(0,-4),

由截距式方程得 PQ 的方程为

,即 2x-y-4=0.

19. △ABC 的内角 A,B,C 对边分别为

且满足

.

(1)求角 C 的大小;

(2)设

,求 y 的最大值并判断 y 取最大值时△ABC 的形状.

【答案】(1)

(2)

【解析】试题分析:

(1)利用题意边化角,求得

直角三角形

,则



(2)利用题意结合(1)的结论化简可得 ,此时三角形是直角三角形.
试题解析: 解:由正弦定理得(2sinB-sinA)cosC=sinCcosA, 即 2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB, 又 sinB≠0,所以

又 0<C<π ,所以

;

(2)

,结合三角函数的性质可得

因为

,所以当

时,y 取得最大值

,

此时△ABC 为直角三角形. 20. 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AA1⊥底面 ABC,AC⊥BC,四边形 BB1C1C 为正方形,设 AB1 的中点为 D,B1C∩BC1=E.

求证:(1)DE∥平面 AA1C1C; (2)BC1⊥平面 AB1C.
【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】试题分析: (1)由题意中的几何关系可得:DE∥AC,结合线面平行的判断定理可证得 DE∥平面 AA1C1C;

(2)由题意可得:AC⊥BC1, BC1⊥B1C,利用线面垂直的判断定理可得 BC1⊥平面 AB1C.

试题解析:

证明:(1)因为四边形 BB1C1C 为正方形,

所以 E 为 B1C 的中点,又 D 为 AB1 的中点,所以 DE 为△AB1C 的中位线,所以 DE∥AC,



,所以 DE∥平面 AA1C1C;

(2)因为 AA1⊥底面 ABC,且 ABC-A1B1C1 为三棱柱,

所以 CC1⊥底面 ABC,又

,所以 CC1⊥AC,

又 AC⊥BC,BC∩CC1=C,

,所以 AC⊥平面

,

又B

,所以 AC⊥BC1,又四边形 BB1C1C 为正方形,所以 BC1⊥B1C,

又 AC∩CB1=C,

,所以 BC1⊥平面 AB1C.

点睛:注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理,不要误解为“如果一条直线垂直于

平面内的无数条直线,就垂直于这个平面”,

21. 已知直线

.

(1)设 与 的交点为 A, 与 的交点为 B, 与 的交点为 C.

求 A,B,C 的坐标;

(2)设

表示的平面区域为 D,点 M(x,y)∈D,N(3,1).

①求|MN|的最小值; ②求的取值范围.

【答案】(1)

(2)①



【解析】试题分析:

(1)联立直线方程可得点的坐标为



(2)利用点到直线距离公式可得

,结合直线斜率的定义可得的取值范围是

.

试题解析:

解: (1)

;

(2)作出可行域如下图:

|MN|的最小值为 N 到直线 l2 的距离,

所以

;

表示可行域内的点与原点连线的斜率,由图知最大值为

,最小值为

,

所以的范围为

22. 已知数列 的前 n 项和为 Sn,点

在直线

上,数列 为等差数列,且

,前 9 项和为 153. (1)求数列 、 的通项公式;

(2)设

,数列 的前 n 项和为 ,求使不等式

对一切的

都成立的最大整数 k.

【答案】(1)an=n+5,

(2)18

【解析】试题分析:

(1)由通项公式与前 n 项和的关于可得 an=n+5;求得数列的基本量可得



(2)裂项求和可求得

,求解关于 n 的不等式可知最大整数 k 是 18.

试题解析:

(1)由已知有

,即

,

则当 n≥2 时,

,

两式相减得 an=n+5,又 a1=S1=6,也符合上式,所以 an=n+5, 设{bn}的公差为 d,前 n 项和为 Rn,则由已知有

所以

,所以 bn=b3+3(n-3)=3n+2 ;

,所以 b5=17,

(2)由(1)得

,

所以

由 Tn 单调递增得 的最小值为

,所以

恒成立即

,

所以 k 的最大整数值为 18. 点睛:使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写 未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的.