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黑龙江省哈尔滨四中2013-2014学年高一下学期期末考试数学试卷(带解析)

黑龙江省哈尔滨四中 2013-2014 学年高一下学期期末考试数学试 卷(带解析)
一、选择题 1.复数

1? i 在复平面内对应的点位于( 2 ? 3i
B.第二象限

) D.第四象限

A.第一象限 【答案】C 【解析】

C.第三象限

试题分析:复数 z ?

?1 ? i ??2 ? 3i ? ? ? 1 ? 5 i ,对应点 ? ? 1 ,? 5 ? 1? i ? ? ? 2 ? 3i ?2 ? 3i ??2 ? 3i ? 13 13 ? 13 13 ?
2 2

考点:复数的四则运算法则. 2.圆 ( x ? 2) ? y ? 4 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9 的位置关系为(
2 2

)

A.内切 【答案】B 【解析】

B.相交

C.外切

D.相离

试题分析:两圆的圆心之间的距离 d ?

?2 ? ?? 2??2 ? ?1 ? 0?2

? 17 ? 3 ? 2 ? d ? 3 ? 2

? 两圆相交.
考点:圆与圆的位置关系. 2 2 3.已知直线 y=kx 与圆 x +y =3 相交于 M,N 两点,则|MN|等于( A. ) D.2 3

1? k2 3

B. 3

C.

2 1? k2 3

【答案】D 【解析】 试题分析:直线过圆心 ?0,0? ,因此弦长为直径长. 考点:直线与圆的位置关系. 4.已知两直线 x ? ky ? k ? 0 与 y ? k ( x ? 1) 平行,则 k 的值为( A. 1 【答案】B 【解析】 B. ?1 C. 1 或 ?1 D. 2 )

试题分析:两条直线平行,则斜率相等? k ? 重合,故舍去,

1 ,解得 k ? ?1 ,因为当 k ? 1 时,两条直线 k

? k ? ?1
考点:两条直线平行的应用. 5.已知 a ? b ? c 且 a ? b ? c ? 0 ,则下列不等式恒成立的是( )

1

A. ab ? bc 【答案】C 【解析】

B. ac ? bc

C. ab ? ac

D. a b ? b c

试题分析:由题知 a ? 0, c ? 0 , b 值不确定, ab ? ac ? a?b ? c ? ,由于 a ? 0, b ? c ? 0 所以 C 对,其它三项不一定对. 考点:判断不等式的大小关系. 6.若点(x,y)位于曲线 y = |x|与 y = 2 所围成的封闭区域, 则 2x-y 的最小值为 A.-6 B .-2 C.0 D.2 【答案】A 【解析】

(

)

试题分析:令 z ? 2 x ? y ,得 y ? 2 x ? z 表示是斜率为 2,截距为 ? z 的直线系,当截距最 大时, 截距 z 最小,当过点 ?? 2,2? 时,截距最大,此时 ?2x ? y ?min ? 2 ? ?? 2? ? 2 ? ?6 考点:线性规划的应用.

? x? y?2?0 ? 7.若 x, y 满足 ?kx ? y ? 2 ? 0 且 z ? y ? x 的最小值为-4,则 k 的值为( ? y?0 ?
A. 2 B. ?2 C.



1 2

D. ?

1 2

【答案】D 【解析】 试题分析:由于 y ? z ? x 表示的斜率为 1,截距为 z 平行直线系,当截距最小时, z 最小, 由于最小值为 4, 当过点 ? ?

1 ? 2 ? ? 2? ,0 ? ,? ?4 ? 0 ? ? ? ?,? k ? ? 2 ? k ? ? k?

考点:线性规划的应用. 8.等比数列 {an } 中, a4 ? 2, a5 ? 5 ,则数列 {lg an } 的前 8 项和等于( A.6 【答案】C 【解析】 试 题 B.5 C.4 D.3 )
















4









lg a1 ? lg a2 ? lg a3 ???lg a8 ? lg?a1 ? a2 ??a8 ? ? lg?a4a5 ?
? 4 lg?a4a5 ? ? 4

考点:等比数列的性质. 9.在 ?ABC 中,角 A 、 B 、C 所对应的边分别为 a 、b 、 c ,已知 b cos C ? c cos B ? 2b ,
2



a ?( b

)
B.

A. 2 【答案】A 【解析】

1 2

C. 2

D. 1

试题分析:由余弦定理得 b cosC ? c cos B ? b

a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? c 2 ? b 2 2a 2 ?c ? ?a 2ab 2ac a

a ? a ? 2b ? ? 2 b
考点:余弦定理的应用. 10.已知 x ? y ? 1 ,则
2 2

y 的取值范围是( x?2
C. ?



A. (? 3, 3) 【答案】D 【解析】 试题分析:设 k?

B. (??, 3)

? 3 ? , ?? ? ? ? 3 ?

D. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

y 2 , 得 y ? k ? x ? 2 ? 代 入 得 x 2 ? k 2 ? x ? 2? ? 1 , 化 简 得 x?2

?1? k ?x
2

2

? 4k 2 x ? 4k 2 ?1 ? 0

1 3 3 ?k? ?? ? 16k 4 ? 4 1 ? k 2 4k 2 ?1 ? 4 1 ? 3k 2 ? 0 得, k 2 ? ,? ? 3 3 3
考点:直线与圆相交. 11.由直线 y ? x ? 1 上的一点向圆 x ? y ? 6 x ? 8 ? 0 引切线,则切线长的最小值为(
2 2

?

??

? ?

?



A. 7 【答案】A 【解析】

B. 2 2

C. 3

D. 2

试题分析:圆的圆心坐标 ?3,0? ,半径 r ? 1 ,圆心到直线的距离 d ?

3 ? 0 ?1 12 ? ?? 1?
2

? 2 2 ?1

因此直线和圆相离, 当这个点到圆心距离最小时, 切线长最小, 最小值为

?2 2 ? ?1
2

2

? 7

考点:求最短切线长. 2 2 2 2 12.已知圆 C1:(x-2) +(y-3) =1,圆 C2:(x-3) +(y-4) =9,M,N 分别是圆 C1,C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( ) A.5 2 -4 【答案】A B. 17 -1 C.6-2 2 D. 17

3

【解析】

??2,?3? , 试题分析: 圆 C1 关于 x 轴对称圆的圆心坐标 C1 半径不变, 圆 C2 的圆心坐标 ?3,4? 半
径r ? 3 再减去两圆的半径因此 PM ? PN 的最小 PM ? PN 的最小值为连接圆 C1? 与圆 C2 圆心, 值

?3 ? 2?2 ? ?4 ? ?? 3??2 ? 1 ? 3 ? 5
考点:圆与圆的位置关系.

2 ?4

二、填空题 13.设向量 a ? (3,3) , b ? (1, ?1) ,若 a ? ? b ? a ? ? b ,则实数 ? ? 【答案】 ? 3 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 得 , a ? ?b ? ?3 ? ?,3 ? ? ? , a ? ?b ? ?3 ? ?,3 ? ? ? , 由 于 垂 直

?

? ?

?



? a ? ?b ? a ? ?b ? ?3 ? ? ??3 ? ? ? ? ?3 ? ? ??3 ? ? ? ? 18? 2?2 ? 0 ? ? ? ?3
考点:平面向量数量积的运算. 14.已知 x ? 0 , y ? 0 , 【答案】4 【解析】 试题分析: x ? 2 y ?

?

??

?

2 1 ? ? 2, 则 x ? 2 y 的最小值为 x y



?2 1? 1? 1 1 x 4y ? ? ? ? 2?x ? 2 y ? ? ?x ? 2 y ?? ? ? 4 ? ? ? ,由基本不等式得 ? x y? 2? 2 2 y x ? ? ? ? ?

x ? 2y ?

1? x 4y ? ?4 ? 2 ??4 ? ? 2? y x ? ?

考点:基本不等式的应用. 2 2 15.若圆 x +y -2x+4y+1=0 上恰有两点到直线 2x+y+c=0(c>0)的距离等于 1,则 c 的取值范围为________. 【答案】 【解析】 试题分析:圆的圆心坐标 ?1,?2? ,半径 r ? 2 .找临界条件,圆心到直线的距离为 2+1 和 2-1 两种情况,

?

5,3 5

?

2?2?c 22 ? 12

? 3或

2?2?c 22 ? 12

? 1 ,由于 c ? 0 ,解的 c ? 3 5 或 c ? 5 ,由于恰有两点到直
4

线的距离为 1, 因此 5 ? c ? 3 5 考点:直线与圆的位置关系. 16.若等差数列 {an } 满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0, a7 ? a10 ? 0 ,则当 n ? 和最大. 【答案】8 【解析】 试 题 分 析 : 由 等 差 数 列 的 性 质 得 , a7 ? a8 ? a9 ? 3a8 ? 0 , ? a8 ? 0 , 又 由 于 时,{an } 的前 n 项

a7 ? a10 ? a8 ? a9 ? 0 ? a9 ? 0 因此该数列前 8 项为正,从第九项开始为负值,因此前 8 项和最大.
考点:等差数列前 n 项和. 三、解答题 17.已知函数

f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? 2

(1)解不等式 f ( x ) ? 3 ; (2)若不等式 f ( x ) ? a 的解集为空集,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1) {x | ? 【解析】 试题分析:(1)理解绝对值的几何意义, x 表示的是数轴的上点 x 到原点离.(2)对于恒成 立的问题,常用到以下两个结论: ( 1 ) a ? f ?x?恒成立 ? a ? f ?x?max , (2)

4 ? x ? 0} ; (2) a ? 2 3

a ? f ?x?恒成立 ? a ? f ?x?min
(3) a ? b ? a ? b ? a ? b 的 应 用 . (4) 掌 握 一 般 不 等 式 的 解 法 :

?1? x ? a?a ? 0? ? x ? a或x ? ?a , ?2? x ? a?a ? 0? ? ?a ? x ? a .
? ?3x ? 1, x ? ?1 ? f ? x ? ? ? x ? 3, ?1 ? x ? 1 ? 3x ? 1, x ? 1 ?

试题解析:解:(1)

f ? x? ? 3

4 ? ? x?0 解得 3

5分
5

(2)由 f ?x ? ? a 的解集为空集,? f ?x ? ? a 恒成立,只需 f ?x ?nin ? a , 当 x ? ?1 时, f ?x?min ? 2 ,? a ? 2 10 分

考点: (1)含绝对值不等式的解法; (2)不等式恒成立的问题. 18.如图,在 ?ABC 中, ?B ? (1)求 sin ?BAD (2)求 BD, AC 的长.

?
3

, AB ? 8 ,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2, cos ?ADC ?

1 7

【答案】(1)

3 3 14

(2) BD ? 3, AC ? 7

【解析】 试题分析: (1)在三角形中,两边和一角知道,该三角形是确定的,其解是唯一的,利用余 弦定理求第三边. (2)利用同角三角函数的基本关系求角的正切值. (3)若是已知两边和一 边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据大边对大角进行判断. (4)在三角形中,注意

A ? B ? C ? ? 这个隐含条件的使用.
试题解析:解:⑴ sin ?ADC ? 1 ? cos 2 ?ADC ?
4 3 7

sin ?BAD ? sin ? ?ADC ? ?B ? ? sin ?ADC ? cos ?B ? sin ?B ? cos ?ADC ? 4 3 1 1 3 3 3 ? ? ? ? 7 2 7 2 14

⑵ △ABD 中
8 AD BD AB AD BD .即 ? ? ? ? sin ?ADB sin B sin ?BAD 4 3 3 3 3 7 2 14

解得 BD ? 3 , AD ? 7 在 △ACD 中,
AC 2 ? AD 2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC ? cos ?ADC 1 ? 7 2 ? 22 ? 2 ? 7 ? 2 ? 7 ? 49

6

所以 AC ? 7 考点: (1)两角差的正弦公式; (2)正弦定理与余弦定理的应用. 19. 已知圆 C : x ? y ? Dx ? Ey ? 3 ? 0 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,圆心 C 在第二象限,半
2 2

径为 2 . (1)求圆 C 的方程; (2)是否存在直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴、 y 轴上的截距相等?若存在,求直线的方程;若 不存在,说明理由. 【答案】(1) ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 2 ;(2) y ? (2 ? 6 ) x, x ? y ? 1 ? 0, x ? y ? 3 ? 0
2 2

【解析】 试题分析:(1)根据圆的圆心坐标和半径求圆的标准方程.(2)判断直线与圆的位置关系时, 若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,用几何法;若方程中含参数,或圆心到直线的距 离的表达较繁琐,则用代数法. (3)与圆有关的探索问题:第一步:假设符合条件的结论存在;第二步:从假设出发,利用 直线与圆的位置关系求解;第三步,确定符合要求的结论存在或不存在;第四步:给出明确 结果;第五步:反思回顾,查看关键点.

D? ? E? D 2 ? E 2 ? 12 ? D E? ? 试题解析:圆配方得 ? x ? ? ? ? y ? ? ? ,圆心 ? ? ,? ? ,直线过圆 2? ? 2? 4 ? 2 2? ?
心,半径为 2 ,

2

2

? D E ? ? ?1 ? 0 ? ?D ? 2 ? 2 2 ?? 2 , ? ? 2 ?E ? ?4 ? D ? E ? 12 ? 2 ? 4 ?
? 圆 C 的方程 ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 2
2 2

假设存在这样的直线 当截距为 0 时,设直线的斜率为 k ,直线方程 y ? kx ,圆心到直线的距离等于半径

?k ?2 k 2 ?1

? 2 ,解之得 k ? 2 ? 6
x y ? ? 1, 即x ? y ? a ,根据圆心到直线的距离等于半径得 a a

当截距不为 0 时,设直线方程

?1 ? 2 ? a 12 ? 12

? 2 ,解之得 a ? ?1或a ? 3

因此这样的直线存在,分别是 y ? (2 ? 6 ) x, x ? y ? 1 ? 0, x ? y ? 3 ? 0 .

7

考点:(1)圆的标准方程的求法; (2)直线与圆的位置关系. 20. 在等差数列 ?a n ?中,a1 ? 3 , 其前 n 项和为 S n , 等比数列 ?bn ? 的各项均为正数,b1 ? 1 , 公比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12 , q ?

S2 . b2
1 ,求 ?c n ?的前 n 项和 T n . Sn

(1)求 a n 与 b n ; (2)设数列 ?cn ? 满足 cn ?

【答案】(1) an ? 3 ? 3? n ?1? ? 3n bn ? 3n?1 Tn ? , 3?n ? 1? (2) 【解析】 试题分析: (1)根据等差数列的首项和公差求通项公式; (2)根据等比数列的首项和公比求通 项公式;注意题中限制条件; (3)观测数列的特点形式,看使用什么方法求和.使用裂项法 求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未 被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源和目的. 试题解析: (1)设 ?an ? 的公差为 d .

2n

?b2 ? S 2 ? 12, ?q ? 6 ? d ? 12, ? ? S2 6?d 因为 ? 所以 ? q? . q? , ? ? q b2 ? ?
解得 q ? 3 或 q ? ?4 (舍) ,d ? 3. 故 an ? 3 ? 3? n ?1? ? 3n , bn ? 3n?1 . (2)由(1)可知, Sn ?

n ? 3 ? 3n ? , 2

所以 cn ?

1 2 2?1 1 ? ? ? ? ? ?. Sn n ? 3 ? 3n ? 3 ? n n ? 1 ?

故 Tn ?

2 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 2 ? 1 ? 2n ?1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? ? 3 ?? 2 ? ? 2 3 ? ? n n ? 1 ?? 3 ? n ? 1 ? 3 ? n ? 1?

考点:(1)等差数列、等比数列的通项公式; (2)裂项求和法. 21.已知点 P(-2,-3) ,圆 C: ( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 9 ,过 P 点作圆 C 的两条切线,切点分
2 2

别为 A、B (1)求过 P、A、B 三点的外接圆的方程; (2)求直线 AB 的方程. 【答案】 (1) ?x ? 1? ? ? y ?
2

? ?

1? 61 (2) 6 x ? 5 y ? 25 ? 0 ? ? ; 2? 4
8

2

【解析】 试题分析:(1)根据题意判断出四点共圆,进而求出圆心和半径,从而求出圆的方程; (2) 判断两圆的位置关系常用几何法, 即用两圆圆心距与两圆半径和与差的关系, 一般不采用代 数法; (3)当两圆相交时求公共弦所在的直线方程或公共弦长,只要把两圆相减消去二次项 所得方程就是公共弦所在的直线方程,在根据其中一个圆与这条直线就可以求出公共弦长. 试题解析:圆 C 的圆心 C ?4,2? ,? PA ? AC, PB ? BC ,因此 P, A, B, C 四点共圆,所以

? 1? 所求圆的圆心 O? 在 PC 的中点,即 O??1,? ? 所求圆的半径 r ? ? ? 2?

1 61 ? ?3? ? ? ? ? ? 3? ? 4 ? 2 ?
2

2

1? 61 ? 2 ? 过 P, A, B 三点的圆 ?x ? 1? ? ? y ? ? ? 2? 4 ?
由于 A, B 两点在圆 C : ( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 9 和圆 C ? ?x ? 1? ? ? y ?
2 2
2

2

? ?

1? 61 ? ? , 2? 4

2

因此两圆方程相减即得 6 x ? 5 y ? 25 ? 0 考点: (1)三角形的外接圆的求法; (2)两圆相交求公共弦所在直线方程. 2 2 2 22.已知圆 x +y -2ax-6ay+10a -4a=0(0<a ? 4)的圆心为 C,直线 L: y=x+m。 (1)若 a=2,求直线 L 被圆 C 所截得的弦长 AB 的最大值; (2)若 m=2,求直线 L 被圆 C 所截得的弦长 AB 的最大值; 【答案】(1) AB max ? 4 2 ;(2) AB max ? 2 6 【解析】 试题分析:(1)根据圆的圆心坐标和半径求圆的标准方程.(2)直线和圆相交,根据半径,弦 长的一半, 圆心距求弦长. (3)圆的弦长的常用求法: ( 1) 几何法: 求圆的半径 r , 弦心距 d ,

?l? 弦长 l ,则 ? ? ? r 2 ? d 2 ? 2?
( 2 ) 代 数 方 法 : 运 用 根 与 系 数 的 关 系 及 弦 长 公 式

2

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ?x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 .(4)注意特殊时候求弦长,如过圆心.
2

?

?

试题解析:圆 C 的方程可化为(x-a) +(y-3a) =4a ∴圆心为 C(a,3a),半径为 r=2 a 若 a=2,则 c(2,6),r= 2 2 , ∵弦 AB 过圆心时最长,∴ AB max=4 2 若 m=2,则圆心 C(a,3a)到直线 x-y+2=0 的距离 4分 2分

2

2

9

d=

?2a ? 2 2

? 2 a ? 1 ,r=2 a

8分

AB =2 r 2 ? d 2 ? 2 ? 2a 2 ? 8a ? 2 ? 2 ? 2(a ? 2) 2 ? 6
∴当 a=2 时, AB max=2 6 , 考点:直线与圆相交求弦长的问题. 12 分

10


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