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算术平均数与几何平均数


算术平均数与几何平均数
一、选择题 1.下列各式中最小值是 2 的是( (A)

) . (B)

x y ? y x

x2 ? 5 x2 ? 4
x ?x

(C) tan ? ? cot ? 2.下列不等式中错误 的一个是( .. (A)

(D) 2 ? 2 ) .

x y z ? ? ? 3 (x、y、 z ? R ? ) y z x

(B)

x2 ? 2 x2 ?1

? 2( x ? R )

(C) 1gx ? 1ogx10 ? 2( x ? 0 ,且 x≠1) (D) x ?

1 ? 2 ( x ? 1) x
) . (B) a ? b ? c ? 3 (D)

3.已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1,则下列结论中正确的是(

1 3 1 2 2 2 (C) a ? b ? c ? 3
(A) ab ? bc ? ca ?

1 1 1 ? ? ?6 3 a b c a?b lga ? lgb lg( a ? b) 4.设 a>2,b>2,且 a≠b,令 P ? lg ,Q ? ,R ? , 2 2 2
则 P、Q、R 之间的大小关系是( (A) R ? Q ? P (C) P ? Q ? R ) . (B) Q ? R ? P (D) Q ? P ? R ) . (D)-lg2

5.若 x ? 2 y ? 4 ,x>0,y>0,则 1gx+1gy 的最大值是( (A)2 二、填空题 (B)2lg2 (C)lg2

4 ? 2 的最小值是_________. x a?c 7.设 a>b>c,则 (a ? b)(b ? c) 与 的大小关系是__________. 2
6.设 x>0,则 3 x ?
? 8.设 x、 y ? R ,且 xy ? ( x ? y) ? 1 ,则 x ? y 的最小值是__________.

9 . 设 x 、 y ? R , 且 x 2 ? y 2 ? 1 , 则 (1 ? xy)(1 ? xy) 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 是 ___________.
2 2 10.已知:m、n、x、 y ? R,且 m ? n ? 1 , x 2 ? y 2 ? 1 ,则 mnxy 的取值范围是

__________. 三、解答题 11.设 0 ? ? ? 求证:

?
2

, x ?R(0,1) ,

1 1 ? ?9, 2 cos ? (1 ? x) x ? sin 2 ?
并指出“=”成立的条件. 12.设 a、b、c>0,且 abc=8, 求证:

a?b?c 3 5 ? ? , 3 a?b?c 2
x 2 ? 2x ? 4 ( x ? R ? ) 的值域. 2 x ? 2x ? 4

并指出“=”成立的条件. 13.求函数 f ( x) ?

14.设 a>b>0, 0 ? ? ?

?
2

,试求:

f ?

sin 2 ? ? cos? 4 a? (2a ? b)b

的最大值,并求出 f 最大时 a、b、 ? 的值. 15.设圆柱的体积为定值 V,求其表面积的最小值.

1.D

2.C

3.C

参考答案 4.A 5.C

6. 4 3 ? 2 9.1,

7. (a ? b)( b ? c) ? 10. [? , ]

a ?b 2

8. 2 ? 2 2

3 4

1 1 4 4

11. “=”成立的条件是 x ?

1 , 且tan 2? ? 4 cot 2 ? ? tan 2 ? ? 2 ? tan ? ? ? 2 2

而0?? ?

? ,则 tan ? ? 2 2

12.令 x=a+b+c,则 x≥6 时, f ( x) ? 13.用判别式法求值域为[

x 3 ? ? ,故“=”成立的条件是 x=6. 3 x

1 ,3]. 3

14.最大值为

2 3 .a=b=2, ? ? arctan 2 时,f 取到最大值. 27
2

15.已知 ?r 2 h ? V , S ? 2?r ? 2?rh ? V (

2 1 1 2 ? ? ) ? 3V 3 2 ? 33 2?V 2 ,故 h r r r h

Smin ? 33 2?V 2 .


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