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(人教版必修1+必修3)高一数学期末复习


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高一上学期期末测试题 1(必修 1+必修 3) ( 必修 )
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 选择题 本大题共 一个是符合题目要求的. 一个是符合题目要求的. 1. 设 集 合 X = {0,1, 2, 4,5, 7}, Y = {1,3, 6,8, 9}, Z = {3, 7,8} , 那 么 集 合 ( X ∩ Y ) ∪ Z 是 ( ) B. {3, 7,8} C. {1,3, 7,8} ) D. 5 D. {1,3, 6, 7,8} A. {0,1, 2, 6,8}
2

2. 设集合 A 和集合 B 都是自然数集 N ,映射 f : A → B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素 n + n ,则在映射 f 下,像 20 的原像是( A. 2 B. 3 C. 4 ) B. y = 3. 与函数 y = x 有相同的图像的函数是( A. y = C.

x2

x2 x
x

y = a log a x (a > 0且a ≠ 1) 4. 方程 lg x = 3 ? x 的解所在区间为( A. (0,1) B. (1, 2)
则 f (7.5) 等于 A. 0.5 B. ?0.5

D. y = log a a (a > 0且a ≠ 1) ) C. (2,3) D. (3, 4)

5. 设 f ( x ) 是 ( ?∞, +∞ ) 上的奇函数,且 f ( x + 2) = ? f ( x ) ,当 0 ≤ x ≤ 1 时, f ( x ) = x , C. 1.5 D. ?1.5 开始 S=0 i=3 S=S+i i=i+1 否 i>5 是 输出 S 结束

6. 某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调

查他们的身体状况的某项指标,需从他们中间抽取一个容量为 36 样本,则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是 A、6,12,18 B、7,11,19 C、6,13,17 D、7,12,17 7. 某商品价格前两年每年递增 20% ,后两年每年递减 20% ,则四年后
的价格与原来价格比较,变化的情况是( ) A、 不增不减 B、 增加 9.5% C、 减少 9.5% D、 减少 7.84% 8. 在如图所示的算法流程图中,输出 S 的值为( )

A、11 B、12 C、13 D、15 9.用冒泡排序算法对无序列数据进行从小到大排序, 则最先沉到 最右边的数是 A、最大数 B、最小数 C、既不最大也不最小 ax 10.当 a ≠ 0 时,函数 y = ax + b 和 y = b 的图象只可能是( )

1

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满分20 20分 二、填空题:本大题共4小题, 每小题5分,满分20分. 填空题:本大题共4小题, 每小题5 11. 幂函数 y = f ( x) 的图象过点 (2,

2 ) ,则 f ( x) 的解析式为_______________ 2

12.管理人员从一池塘中捞出 30 条鱼做上标记,然后放回池塘,将带标记的鱼完 全混合于鱼群中。10 天后,再捕上 50 条,发现其中带标记的鱼有 2 条。根据以上 数据可以估计该池塘有___ _____条鱼。 。 13.从 1,2,3,4 这 4 个数中,不放回地任意取两个数,两个数都是偶数的概率是 ________
14. 函数 y = log 1 ( x2 ? 1) 的定义域是_____________ 2 解答题: 三、解答题: 15. (12 分)计算: (1) 1.10 + 3 216 ? 0.5 ?2 + lg 25 + 2 lg 2 ;
4

(2) log 3

27 + lg 25 + lg 4 + 7 log 7 2 。 3

16. 某班有 50 名学生, 在学校组织的 人数 一次数学质量抽测中,如果按照抽测

成绩的分数段[60, ) , , ) , 65 [65 70 …
[95,100 ) 进行分组,得到的分布情

20 15 10 5
60 65 70 75 80 85 90 95 100

况如图所示.求: Ⅰ、该班抽测成绩在[70,85 ) 之间的

成绩
2

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人数; Ⅱ、该班抽测成绩不低于 85 分的人数占全班总人数的百分比。 (12 分)

17. (14 分)已知函数 f ( x ) = log a ( a ? 1) ( a > 0, a ≠ 1) .
x

(1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)讨论函数 f ( x ) 的单调性.

18、袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各 1 个,从中任取 1 只,有放回地抽 取 3 次.求: Ⅰ、3 只全是红球的概率; Ⅱ、3 只颜色全相同的概率; Ⅲ、3 只颜色不全相同的概率. (14 分)

3

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19、 (14 分)求二次函数 f ( x) = x 2 ? 2(2a ? 1) x + 5a 2 ? 4a + 2 在 [0,1] 上的最小值 g ( a ) 的解 析式.

20. (14 分)已知函数 f ( x ) = log a (1)求实数 m 的值;

1 ? mx (a > 0, a ≠ 1, m ≠ 1) 是奇函数. x ?1

(2)判断函数 f ( x ) 在 (1, +∞) 上的单调性,并给出证明; (3)当 x ∈ ( n, a ? 2) 时,函数 f ( x ) 的值域是 (1, +∞) ,求实数 a 与 n 的值

4

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高一上学期期末复习题参考答案及评分标准 高一上学期期末复习题参考答案及评分标准 选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算 主要考查基本知识和基本运算. 小题, 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 共 10 小题,每小题 5 分,满分 5 0 分. 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 C 5 B 6 A 7 D 8 B 9 A 10 A

小题, 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 共 4 小题,每小题 5 分,满分 2 0 分. 填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 主要考查基本知识和基本运算 11.

f ( x) = x

?

1 2

12.

750

13.

1 6

14.

(0, 2 ? 2]

解答题: 三、解答题: 15. 本小题主要考查分段函数的图象,考查函数奇偶性的判断. 满分 12 分. 本小题主要考查分段函数的图象,考查函数奇偶性的判断 解: f ( x) = ?

? x 2 ? 2 x ? 1, ( x ≥ 0) 2 ? x + 2 x ? 1, ( x < 0)

……2 分

函数 f ( x ) 的图象如右图 函数 f ( x ) 的定义域为 R

……6 分 ……8 分

∵ f ( x ) = x 2 ? 2 | x | ?1
2 f (? x) = ? x) ? 2 | ? x | ?1 (

= x 2 ? 2 | x | ?1 = f ( x )
所以 f ( x) 为偶函数. ……12 分

16.解:从分布图可以看出,抽测成绩各分数段的人数依次为: 解 [60,65 ) 1 人; [80,85 ) 12 人; [65,70 ) 2 人; [85,90 ) 6 人; [70,75 ) 10 人; [90,95 ) 2 人; [75,80 ) 16 人; [95,100 ) 1 人.

因此,Ⅰ、该班抽测成绩在[70,85 ) 之间的人数为 38 人; Ⅱ、该班抽测成绩不低于 85 分的占总人数的 18%。
17. 本小题主要考查指数函数和对数函数的性质,考查函数的单调性. 满分 14 分. 本小题主要考查指数函数和对数函数的性质,考查函数的单调性 解: (1)函数 f ( x) 有意义,则 a ? 1 > 0
x

……2 分

当 a > 1 时,由 a ? 1 > 0 解得 x > 0 ;
x

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当 0 < a < 1 时,由 a ? 1 > 0 解得 x < 0 .
x

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所以当 a > 1 时,函数的定义域为 (0, +∞ ) ; 当 0 < a < 1 时,函数的定义域为 (?∞, 0) .

……4 分 ……6 分
x x2

(2)当 a > 1 时,任取 x1 , x2 ∈ (0, +∞ ) ,且 x1 > x2 ,则 a 1 > a

f ( x1 ) ? f ( x2 ) = log a (a x1 ? 1) ? log a (a x2 ? 1) = log a

a x1 ? 1 a x1 ? a x2 = log a (1 + x2 ) a x2 ? 1 a ?1

∵ a x1 > a x2 ,

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) = log a (1 +

a x1 ? a x2 ) > log a 1 = 0 ,即 f ( x1 ) > f ( x2 ) a x2 ? 1
……10 分

由函数单调性定义知:当 a > 1 时, f ( x) 在 (0, +∞ ) 上是单调递增的. 当 0 < a < 1 时,任取 x1 , x2 ∈ (?∞, 0) ,且 x1 > x2 ,则 a 1 < a
x x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) = log a (a x1 ? 1) ? log a (a x2 ? 1) = log a

a x1 ? 1 a x1 ? a x2 = log a (1 + x2 ) a x2 ? 1 a ?1

∵ a x1 < a x2 ,

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) = log a (1 +

a x1 ? a x2 ) > log a 1 = 0 ,即 f ( x1 ) > f ( x2 ) a x2 ? 1
……14 分

由函数单调性定义知:当 0 < a < 1 时, f ( x) 在 (?∞, 0) 上是单调递增的.

18. 解法一:由于是有放回地取球,因此袋中每只球每次被取到的概率均为 解法一:

1 . 2

1 1 1 1 Ⅰ、3 只全是红球的概率为 P1= · · = . 2 2 2 8 1 1 Ⅱ、3 只颜色全相同的概率为 P2=2·P1=2· = . 8 4 1 3 Ⅲ、3 只颜色不全相同的概率为 P3=1-P2=1- = . 4 4 解 法 二 : 利用树状图 我们可 以列 出有放 回 地抽取 3 次 球的所 有可能 结果:

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?红-红 ?红-红 ?红-黄 ?红-黄 ? ? 红? ,黄? ?黄-红 ?黄-红 ?黄-黄 ?黄-黄 ? ?

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由此可以看出,抽取的所有可能结果为 8 种.所以 1 Ⅰ、3 只全是红球的概率为 P1= . 8 2 1 Ⅱ、3 只颜色全相同的概率为 P2= = . 8 4 1 3 Ⅲ、3 只颜色不全相同的概率为 P3=1-P2=1- = . 4 4
19. 本小题以二次函数在闭区间上的最值为载体, 本小题以二次函数在闭区间上的最值为载体, 主要考查分类讨论的思想和数形结合的思想. 主要考查分类讨论的思想和数形结合的思想 满分 14 分. 解: f ( x) = x 2 ? 2(2a ? 1) x + 5a 2 ? 4a + 2 = [ x ? (2a ? 1)]2 + a 2 + 1 所以二次函数的对称轴 x = 2a ? 1 当 2a ? 1 ≤ 0 ,即 a ≤ ……3 分

1 时, f ( x ) 在 [0,1] 上单调递增, 2
……6 分

∴ g (a ) = f (0) = 5a 2 ? 4a + 2
当 2a ? 1 ≥ 1 ,即 a ≥ 1 时, f ( x ) 在 [0,1] 上单调递减,

∴ g (a ) = f (1) = 5a 2 ? 8a + 5
当 0 < 2a ? 1 < 1 ,即

……9 分 ……12 分

1 < a < 1 时, g (a ) = f (2a ? 1) = a 2 + 1 2

1 ? 2 ? 5a ? 4a + 2, (a ≤ 2 ) ? 1 ? 2 ( < a < 1) 综上所述 g ( a ) = ?a + 1, 2 ? 2 ? 5a ? 4a + 2, (a ≥ 1) ? ?
20.解: (1)由已知条件得

……14 分

f (? x) + f ( x) = 0 对定义域中的 x 均成立.…………………………………………1 分
∴ log a

mx + 1 1 ? mx + log a =0 ? x ?1 x ?1
7

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…………………………………………2 分

mx + 1 1 ? mx ? =1 ? x ?1 x ?1

∴ m 2 x 2 ? 1 = x 2 ? 1 对定义域中的 x 均成立.

∴ m2 = 1
1+ x x ?1 x + 1 x ?1+ 2 2 = = 1+ , 设t = x ?1 x ?1 x ?1
(2)由(1)得 f ( x ) = log a 即 m = 1 (舍去)或 m = ?1 . …………………………………………4 分

∴ 当 x1 > x2 > 1 时, t1 ? t2 =

2 2 2( x2 ? x1 ) ? = x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
…………………………………………6 分

∴ t1 < t2 .

当 a > 1 时, log a t1 < log a t2 ,即 f ( x1 ) < f ( x2 ) .……………………………………7 分

∴ 当 a > 1 时, f ( x) 在 (1, +∞) 上是减函数. …………………………………………8 分
同理当 0 < a < 1 时, f ( x ) 在 (1, +∞) 上是增函数. …………………………………9 分 (3)∵ 函数 f ( x ) 的定义域为 (1, +∞ ) ∪ ( ?∞, ?1) ,

∴ ① n < a ? 2 ≤ ?1 ,∴ 0 < a < 1 . ∴ f ( x) 在 (n, a ? 2) 为增函数,要使值域为 (1, +∞) ,

1+ n ? =1 ?log a 则? n ? 1 (无解) ?a ? 2 = ?1 ?
②1 ≤ n < a ? 2 ,

…………………………………………11 分

∴ a > 3.

?n = 1 ? ∴ f ( x) 在 (n, a ? 2) 为减函数,要使 f ( x) 的值域为 (1, +∞) , 则 ? a ?1 ?log a a ? 3 = 1 ? ∴ a = 2 + 3 , n =1.
…………………………………………14 分

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