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2016-2017学年高中数学苏教版选修2-3学业测评:1.4 计数应用题 Word版含解析


学业分层测评
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、填空题 1.从乒乓球运动员男 5 名、女 6 名中组织一场混合双打比赛,不同的组合 方法有________种. 【解析】 分两步进行:第一步,选出两名男选手,有 C2 5种方法;第 2 步,
2 2 2 从 6 名女生中选出 2 名且与已选好的男生配对,有 A6 种.故有 C5 A6=300 种.

【答案】

300

2.将 4 名教师分配到 3 所中学任教,每所中学至少 1 名教师,则不同的分 配方案共有________种.
3 【解析】 先把 4 名教师分成 2,1,1 三组,再分配到 3 所中学,共有 C2 4A3=

36 种分配方案. 【答案】 36

3.在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖.将这 8 张奖券 分配给 4 个人,每人 2 张,不同的获奖情况有________种.(用数字作答) 【解析】 分两种情况:一种是有一人获得两张奖券,一人获得一张奖券,

2 3 有 C2 3A4=36 种;另一种是三人各获得一张奖券,有 A4=24 种.故共有 60 种获

奖情况. 【答案】 60

4.某外商计划在 5 个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资 的项目不超过 2 个,则该外商不同的投资方案有________.
3 【解析】 分两类:第一类,每个城市只能投资 1 个项目,共有 A5 种方案; 1 第二类,有一个城市投资 2 个项目,共有 C2 A1 A4 种方案.由分类计数原理得共 3· 5· 3 2 1 1 有 A5 +C3 A5A4=120(种)方案.

【答案】

120 种

5 .由 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字且 1,3 都不与 5 相邻的六位偶数共 ________个. 【导学号:29440020】 【解析】
2 1 2 2 分两类:若 1 与 3 相邻,有 A2 C3A2A3=72(个),

3 若 1 与 3 不相邻,有 A3 · A3 3=36(个).

故共有 72+36=108 个. 【答案】 108

6.甲、乙、丙三人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一 级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是________(用数字作答). 【解析】 由题意分类计数:若 7 个台阶上每一个台阶只站一人,则“3 人
3 站到 7 级的台阶上”有 A7 种不同的站法;若选用 2 个台阶,有一个台阶站 2 人, 2 另一个站 1 人,则“3 人站到 7 级的台阶上”有 C1 3A7种不同的站法. 3 1 2 因此不同的站法种数是 A7 +C3 A7=336.

【答案】

336

7.某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天 1 人,每人值班 1 天,若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安排方案共有________种.
1 【解析】 (1)若甲乙安排在开始两天, 则丁有 4 种选择, 共有安排方案 A2 2A4 4 A4 =192 种; 1 4 (2)若甲乙安排在最后两天,则丙有 4 种选择,共有 A2 2A4A4=192 种;

(3)若甲乙安排在中间 5 天,选择两天有 4 种可能,
2 1 3 ①若丙安排在 10 月 7 日,丁有 4 种安排法,共有 4×A2 A4A3=192 种; 2 1 1 3 ②若丙安排在中间 5 天的其它 3 天,则丁有 3 种安排法,共有 4×A2 A3A3A3

=432 种, 所有共有 192+192+192+432=1 008 种. 【答案】 1 008

8.若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系: ①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4. 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组 (a , b , c , d) 的个数是 ________. 【解析】 由题意知①②③④中有且只有一个正确,其余三个均不正确,下 面分类讨论满足条件的有序数组(a,b,c,d)的个数; (1)若①正确,即 a=1,则②③④都错误,即 b=1,c≠2,d=4.其中 a=1 与 b=1 矛盾,显然此种情况不存在.

(2)若②正确,即 b≠1,则①③④都错误,即 a≠1,c≠2,d=4,则当 b=2 时,有 a=3,c=1;当 b=3 时,有 a=2;c=1 此时有 2 种有序数组. (3)若③正确,即 c=2,则①②④都错误,即 a≠1,b=1,d=4, 则 a=3,即此种情况有 1 种有序数组. (4)若④正确,即 d≠4,则①②③都错误,即 a≠1,b=1,c≠2,则当 d=2 时,有 a=3,c=4 或 a=4,c=3,有 2 种有序数组;当 d=3 时,有 c=4,a= 2,仅 1 种有序数组. 综上可得共有 2+1+2+1=6(种)有序数组. 【答案】 二、解答题 9.3 名男同志和 3 名女同志到 4 辆不同的公交车上服务, (1)若每辆车上都需要人但最多安排男女各一名,有多少种安排方法? (2)若男女各包 2 辆车,有多少种安排方法? 【解】 (1)先将 3 名男同志安排到车上有 A3 4种方法,在未安排男同志的那 6

2 3 1 2 辆车安排女同志有 C1 3种方法,还有 2 个女同志有 A3种安排方法,故共有 A4C3A3

=432 种安排方法.
2 2 (2)男同志分 2 组有 C3 种方法,女同志分 2 组有 C3 种方法,将 4 组安排到 4 4 2 2 4 辆车上有 A4 种方法,故共有 C3 C3A4=216 种安排方法.

10.有 12 名划船运动员,其中 3 人只会划左舷,4 人只会划右舷,其余 5 人既会划左舷又会划右舷,现在要从这 12 名运动员中选出 6 人平均分在左、右 舷划船参加比赛,则有多少种不同的选法? 【解】 设集合 A={只会划左舷的 3 个人},B={只会划右舷的 4 个人},C ={既会划左舷又会划右舷的 5 个人}.先分类,以集合 A 为基准,划左舷的 3 个人中,有以下几类情况:①A 中有 3 人;②A 中有 2 人,C 中有 1 人;③A 中 有 1 人,C 中有 2 人;④C 中有 3 人.第①类,划左舷的人已选定,划右舷的人
3 可以在 B∪C 中选 3 人, 即有 C9 种选法. 因是分步问题, 所以有 C3 C3 第 3· 9种选法. 1 ②类,划左舷的人在 A 中选 2 人,有 C2 3种选法,在 C 中选 1 人,有 C5种选法, 3 划右舷的人在 B∪C 中剩下的 8 个人中选 3 人,有 C8 种选法.因是分步问题,所 3 1 2 3 3 以有 C2 C1 C8 种选法.类似地,第③类有 C3 · C5· C7种选法,第④类有 C0 C5 · C3 3· 5· 3· 6种 2 1 3 3 0 3 3 选法. 故有 C3 C3 C5· C8+C1 C2 C7 +C3 · C5· C6=84+840+1 050+200=2 174 3· 9+C3· 3· 5·

种不同的选法. [能力提升] 1.如果一个三位正整数 a1a2a3 满足 a1<a2<a3,则称这样的三位数为“好 数”(如 123,367,378),那么三位数中所有“好数”的个数是________.(用数字 作答) 【解析】 由题意,在 1,2,?,9 这九个数字中任取 3 个,只能组成 1 个

“好数”(0 不能选,因为若选 0,则 0 只能排在首位,此时已不是三位数),故 有好数 C3 9=84 个. 【答案】 84 个

2.今有 2 个红球,3 个黄球,4 个白球,若同色球不加以区分,将这 9 个球 排成一列共有________种不同的方法(用数字作答). 【导学号:29440021】
3 4 【解析】 法一:只需找到不同颜色的球所在的位置即可,共有 C2 9C7C4=1

260 种方法. 法二:同色球不加以区分(即属相同元素排列的消序问题), A9 9 先全排列,再消去各自的顺序即可,则将这 9 个球排成一列共有A2A3A4=1 2 3 4 260 种不同的方法. 【答案】 1 260

3.如图 143,A,B,C,D 为海上的四个小岛,要建三座桥,将这四个小 岛连接起来,则不同的建桥方案共有________种.

图 143 【解析】 如图,构造三棱锥 ABCD;四个顶点表示四个 小岛,六条棱表示连接任意两岛的桥梁.由题意,只需求出 从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法.这可由间接法 完成:从六条棱中任取三条棱的不同取法有 C3 6种,任取三条 共面棱的不同取法有 4 种,所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法有 C3 6-4=16 种.故不同的建桥方案共有 16 种. 【答案】 16

4.如图 144 所示,在以 AB 为直径的半圆周上,有异于 A,B 的六个点 C1, C2,?,C6,直径 AB 上有异于 A,B 的四个点 D1,D2,D3,D4,则: (1)以这 12 个点(包括 A,B)中的 4 个点为顶点,可作出多少个四边形?

图 144 (2)以这 10 个点(不包括 A,B)中的 3 个点为顶点,可作出多少个三角形?其 中含点 C1 的有多少个? 【解】 (1)构成四边形,需要四个点,且无三点共线,可以分成三类:

4 ①四个点从 C1,C2,?,C6 中取出,有 C6 个四边形;

②三个点从 C1,C2,?,C6 中取出,另一个点从 D1,D2,D3,D4,A,B
1 中取出,有 C3 6C6个四边形;

③二个点从 C1,C2,?,C6 中取出,另外二个点从 D1,D2,D3,D4,A,
2 B 中取出,有 C2 6C6个四边形. 4 3 1 2 2 故满足条件的四边形共有 N=C6 +C6 C6+C6 C6=360(个). 1 2 2 1 (2)类似于(1)可分三种情况讨论得三角形个数为 C3 6+C6C4+C6C4=116(个). 2 1 1 2 其中含点 C1 的有 C5 +C5 C4+C4 =36(个).


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