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2016届湖南省师范大学附属中学高三上学期月考(六)(文)数学试题 word版


湖南师大附中 2016 届高三考试卷(六) 数学(文科) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项 是符合题目要求的. 1.在复平面内, 复数 6 ? 5i, ?2 ? 3i 对应的点分别为 A、 则点 C 对 B ,若 C 为线段 AB 的中点, 应的复数是( ) D. 4 ? i
2

A. 4 ? 8i B. 8 ? 2i C. 2 ? i

2.设命题 p : ?6 ? m ? 6 ,命题 q : 函数 f ( x) ? x ? mx ? 9 (m ? R ) 没有零点,则 p 是 q 的 ( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.点 P (a,3) 到直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离等于 4,且在 2 x ? y ? 3 ? 0 表示的平面区域内, 则 a 的值为( )

A.3 B.7 C.-3 D.-7 4.如图所示的程序框图运行的结果是( )

A.

2014 2015

B.

2015 2014 C. 2016 2013

D.

2015 2014

5.一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形,其尺寸如图,则该多面体的体积 为( )

A. 48cm3 B. 24cm3 C. 32cm3

D. 28cm3
1

6.已知函数 f ( x) 是偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 3 ,则在 (?2, 0) 上,下列函数中与 f ( x) 的单调性相同的是( ) C. y ? e
x

2 A. y ? ? x ? 1 B. y ? x ? 1

D. y ? ?

?2 x ? 1, x ? 0 3 ? x ? 1, x ? 0

7.已知 ?ABC 中, ?A ? 300 , AB, BC 分别是 3 ? 2, 3 ? 2 的等差中项与等比中项, 则 ?ABC 的面积等于( A. )

3 3 3 3 3 B. C. 或 3 D. 或 2 4 2 2 4

8.从 2010 名学生中选取 50 名学生参加数学竞赛, 若采用下面的方法选取: 先用简单随机抽 样从 2010 人中剔除 10 人, 剩下的 2000 人再按系统抽样的方法抽取 50 人, 则在 2010 人中, 每人入选的概率( )

A.不全相等 B.均不相等 C.都相等,且为

5 1 D.都相等,且为 201 40

9.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线均与圆 C : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相切, 2 a b
)

则该双曲线离心率等于( A.

3 5 6 5 3 B. C. D. 5 2 3 2

10. A(a,1), B (2, b), C (4,5) 为坐标平面内三点, O 为坐标原点,若 OA 与 OB 在 OC 方向 上的投影相同,则 a, b 满足的关系式为( )

??? ?

??? ?

????

A. 4a ? 5b ? 3 B. 5a ? 4b ? 3 C. 4a ? 5b ? 14 D. 5a ? 4b ? 14

1 ? 2 ? ( )x , x ? 0 ? ? 3 11.已知直线 y ? mx 与函数 f ( x) ? ? 的图像恰好有 3 个不同的公共点,则实 ? 1 x 2 ? 1, x ? 0 ? ?2
数 m 的取值范围为( )

A. ( 3, 4) B. ( 2, ??) C. ( 2,5) D. ( 3, 2 2) 12.已知方程 x 3 ? ax 2 ? bx ? c ? 0 的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离 心率,则 a 2 ? b 2 的取值范围是( A. ( 5, ??) B. ? 5, ?? )

?

?

C. ?5, ?? ? D. (5, ??)

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卷对应题号后 的横线上. 13.设集合 A ? x | 3

?

x ( x ?3)

? 1? , B ? x | y ? log 2 ( x ? 1) ,则 A ? B ?

?

?

.

14.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 是 .

2 1 ? ? 1 ,若 x ? 2 y ? m 2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围 x y

15.如图, 在矩形 ABCD 中,AB ? 3 , 过点 A 向 ?BAD 所在区域等可能任作一条射线 AP , 已知事件“射线 AP 与线段 BC 有公共点”发生的概率为

1 ,则 BC 边的长为 3

.

16.对于定义域和值域都为 ? 0,1? 的函数 f ( x) ,设 f1 ( x) ? f ( x) , 若 x0 满足 f n ( x0 ) ? x0 , 则 x0 称为 f ( x) f 2 ( x0 ? f ( f1 ( x)),? , f n ( x) ? f ( f n ?1 ( x)) (n ? N * ) , 的 n 阶周期点. (1)若 f ( x) ? 1 ? x (0 ? x ? 1) ,则 f ( x) 的 3 价周期点的值为 ;

? ? 1? ? 2 x, x ? ?0, 2 ? ? ? ? (2)若 f ( x) ? ? ,则 f ( x) 的 2 阶周期点的个数是 ?2 ? 2 x, x ? ? 1 ,1? ? ? ?2 ? ? ?
三、解答题 :共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 12 分)

.

去年年底,某商业集团公司根据相关评分细则,对其所属 25 家商业连锁店进行了考核评 估.将各连锁店的评估分数按 ? 60, 70 ? , ? 70,80 ? ?80,90 ? , ?90,100 ? 分成 4 组,其频率分布直 方图如下图所示.集团公司依据评估得分,将这些连锁店划分为 A、B、C、D 四个等级, 等级评定标准如下表所示. 评估得分 评定等级

?60, 70 ? ?70,80 ? ?80,90 ? ?90,100?
D

C

B

A

(1)估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数; (2)从评估分数不小于 80 分的连锁店中任选 2 家介绍营销经验,求至少选一家 A 等级的 概率. 18.(本题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 2 的正方形,PD ? 底面 ABCD ,PD ? CD ,E 为 PB 的中点. (1)求异面直线 PA 与 DE 所成的角; (2)在底边 AD 上是否存在一点 F ,使 EF ? 平面 PBC ?证明你的结论.

19.(本题满分 12 分)

20.(本题满分 12 分) 在平面直角坐标系中,已知 A1 (? 2, 0), A2 ( 2, 0), P( x, y ), M ( x,1), N ( x, ?2) .若实数 ? 使

ON ? A1 P ?A2 P 成立(其中 O 为坐标原点) 得 ? OM ? .
2

???? ? ????

???? ???? ?

(1)求 P 点的轨迹方程,并讨论 P 点的轨迹类型; (2)当 ? ?

2 时,若过点 B (0, 2) 的直线与(1)中 P 点的轨迹交于不同的两点 E , F ( E 2

在 B, F 之间) ,试求 ?OBE 与 OBF 面积之比的取值范围. 21.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? (1 ? a ) ln x ?

1 , (a ? R) . x

(1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值; (2)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (3)方程 f ( x) ? 0 的根的个数能否达到 3,若能请求出此时 ? 的范围,若不能,请说明理 由. 选做题(请考生在第 22、23 二题中任选一题作答,如果多做,则按第一题计分,作答时请 写清题号) 22.(本题满分 10 分) 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

? ? x ? ?2 ? ? 2 C : ? sin ? ? 2a cos ? (a ? 0) 过点 P(?2, ?4) 的直线 l : ? ? y ? ?4 ? ? ?
相交于点 M , N 两点. (1)求曲线 C 的平面直角坐标系方程和直线的普通方程; (2)若 PM , MN , PN 成等比数列,求实数 a 的值. 23.(本题满分 10 分)

2 t 2 (为参数) 与曲线 C 2 t 2

已知 f ( x) ? 2 x ? 2 ? x ? 1 . (1)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (2)设 m, n, p 为正实数,且

m ? n ? p ? f (2) ,求证: mn ? np ? pm ? 3 .

参考答案 1.【解析】复数 6 ? 5i 对应的点为 A(6, ?5) ,复数 ?2 ? 3i 对应的点为 B (?2,3) .利用中点 坐标公式得线段 AB 的中点 C (2, ?1) ,故点 C 对应的复数为 2 ? i ,选 C . 2. 【解析】 函数 f ( x) ? x ? mx ? 9 (m ? R ) 没有零点, 则 ? ? m 2 ? 36 ? 0 , 即 ?6 ? m ? 6 ,
2

显然, q 可以推出 p ,而 p 不能推出 q ,故选 B .

? 4a ? 3 ? 3 ? 1 ?4 ? 3.【解析】由题意 C ? ,解得 a ? ?3 ,选 C . 5 ? 2a ? 3 ? 3 ? 0 ?
4.【解析】 A ?

1 1 1 1 2015 .故选 B . ? ?? ? ? 1? ? 1? 2 2 ? 3 2015 ? 2016 2016 2016

5.【解析】由三视图可知多面体是底边为 6 高为 4 的等腰三角形的三棱柱,其高为 4,所以

1 V ? ? 6 ? 4 ? 4 ? 48cm3 ,选 A . 2
6.【解析】由已知得 f ( x) 在 (?2, 0) 上单调函数,所以答案为 C . 7.【解析】由条件 AB ?

3, BC ? 1 ,由

3 1 3 ,得 sin C ? . ∴ C ? 600 或 ? 0 sin C sin 30 2

120°.∴ B ? 900 或300 ,∴ S ?ABC ?

1 3 3 3 .故选 D . AB?BC sin B ? sin B ? 或 2 2 2 4

8.【解析】从 2010 名学生中选取 50 名学生,不论采用何种抽样方法,每名学生被抽到的可 能性均相同,谁被剔除或被选中都是机会均等的,所以每人入选的概率都相等,且为

50 5 .选 C . ? 2010 201
9.【解析】圆 C : x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 的圆心为 C (3, 0) ,半径为 2,由已知圆心 C 到直线
2 2

y?

3 5 b ,故选 A . x 的距离为 2,可得 9a 2 ? 5c 2 ,可得 e ? 5 a

10.【解析】由 OA 与 OB 在 OC 方向上的投影相同可知:

??? ?

??? ?

????

??? ? ???? ??? ? ???? OA? OC OB ? OC ???? ? ???? ? 4a ? 5 ? 8 ? 5b ? 4a ? 5b ? 3 . 故选 A . OC OC
11.【解析】做出 f ( x) 的图像,可知 m ? 0 时,直线 y ? mx 与 f ( x) 只有一个交点,不符题 意;当 m ? 0 时, y ? mx 与 y ? 2 ? ( ) x ( x ? 0) 总有一个交点,故 y ? mx 与

1 3

y?

1 2 1 x ? 1 ( x ? 0) 必有两上交点,即方程 x 2 ? 1 ? mx( x ? 0) 必有两不等正实根,即方 2 2

? ? ? 4m 2 ? 8 ? 0 ? 程 x 2 ? 2mx ? 2 ? 0 必有 ? x1 ? x2 ? 2m ? 0 ,解得 m ? ( 2, ??) ,选 B . ? xx ?2?0 ? 1 2
12.【解析】设 f ?( x) ? 3 x ? 2ax ? b ,由抛物线的离心率为 1,知 f (1) ? 1 ? a ? b ? c ? 0 ,
2

故 c ? ?1 ? a ? b ,所以 f ( x) ? ( x ? 1)[ x ? (1 ? a ) x ? a ? b ? 1] ,另外两根分别是一椭圆、
2

一双曲线的离心率,故 g ( x) ? x ? (1 ? a ) x ? a ? b ? 1 有两个分别属于 (0,1) 和 (1, ??) 的零
2

点,故有 g (0) ? 0 且 g (1) ? 0 ,即 a ? b ? 1 ? 0 且 2a ? b ? 3 ? 0 ,运用线性规划知识可求得

a 2 ? b 2 ? (5, ??) . 故选 D .

13.【解析】 A ? (0,3), B ? ? 2, ?? ? , A ? B ? ? x | 2 ? x ? 3? . 14.【解析】因为 ( x ? 2 y )( ? 解得 ?4 ? m ? 2 . 15.【解析】因为 P ?

2 x

1 4y x 4y x ) ? 4?( ? ) ? 4?2 ? ? 8 ,所以 m 2 ? 2m ? 8 , y x y x y

?BAC 1 ? , ?BAD ? 900 ,则 ?BAC ? 300 ,所以 ?BAD 3

BC 3 .因为 AB ? 3 ,则 BC ? 3 . ? tan 300 ? AB 3
16.【解析】 (1) f 2 ( x) ? f (1 ? x) ? 1 ? (1 ? x) ? x , f 3 ( x) ? f ( x) ? 1 ? x ,令 1 ? x0 ? x0 , 则 x0 ?

1 . 2 1 1 ,即 0 ? x ? 时, f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ? f (2 x) ? 4 x .由 f 2 ( x0 ) ? x0 , 2 4

(2)当 0 ? 2 x ? 得 x0 ? 0 ;

1 1 1 ? 2 x ? 1 ,即 ? x ? 时, f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ? f (2 x) ? 2 ? 2(2 x) ? 2 ? 4 x . 2 4 2 2 由 f 2 ( x0 ) ? 2 ? 4 x0 ? x0 ,得 x0 ? . 5 1 所以当 0 ? x ? 时, f ( x) 有两个 2 阶周期点. 2 1 同理,当 ? x ? 1 时, f ( x) 也有两个 2 阶周期点,故 f ( x) 共有 4 个 2 阶周期点. 2
当 17.【解析】 (1)最高小矩形下底边的中点值为 75,估计评估得分的众数为 75 分. . . . . . . . . . . . . . . (2 分)

直方图中从左至右第一、三、四个小矩形的面积分别为 0.28,0.16,0.08,则第二个小矩 形的面积为 1-0.28-0.16-0.08=0.48, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 分) 所以 x ? 65 ? 0.28 ? 75 ? 0.48 ? 85 ? 0.16 ? 95 ? 0.08 ? 18.2 ? 36 ? 13.6 ? 7.6 ? 75.4 . 估计该商业集团各连锁店评估得分的平均数为 75.4, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6 分) (2)A 等级的频数为 25 ? 0.08 ? 2 , 记这两家分别为 a, b ;B 等级的频数为 25 ? 0.16 ? 4 , 记这四家分别为

c, d , e, f .
(8 分)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

从这 6 家连锁店中任选 2 家,共有

(a, b), (a, c), (a, d ), ( a, e), ( a, f ), (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ), (c, d ), (c, e), (c, f ), (d , e), (d , f ), (e, f )
15 种选 法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . (9 分) 其中至少选 1 家 A 等级的选法有 (a, b), ( a, c), ( a, d ), ( a, e), ( a, f ), (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ) 共9 种, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (11 分) 则P ?

9 3 ? ,故至少选一家 A 等级的概率为 15 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (12 分)

3 . 5

18.【解析】 (1)取 AB 的中点 G ,连结 EG, DG .因为 E 为 PB 的中点, 则 EG / / PA ,所以 ?DEG 为所求的 角. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 分)

由已知可得, BD ? 2 2, PD ? 2 ,则 PB ? 2 3 . 所以

DE ?
分) 又

1 PB ? 3 . 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3

EG ?
分)

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 PA ? 2, DG ? AD 2 ? AG 2 ? 5 . 2

则 DG 2 ? DE 2 ? EG 2 ,所以 ?DEG ? 900 , 故异面直线 PA 与 DE 所成的角为 90°, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6 分)

(2)存在点 F 为 AD 的中点,使 EF ? 平面 PBC , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (7 分) 证明:取 PC 的中点 H ,连结 DH , EH . 因为 PD ? CD ,则 DH ? PC .① . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8 分) 因为 PD ? 底面 ABCD ,则 PD ? BC . 因为底面 ABCD 为正方形,则 CD ? BC . 所以 BC ? 平面 PCD ,从而

BC ? DH .②. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (9 分)
结合①②知 DH ? 平面

PBC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分)
因为 E、F 分别是 PB、AD 的中点,则 FD / /

1 1 BC , EH / / BC , 2 2

从而 FD / /EH ,四边形 EFDH 为平行四边形,所以 EF / / DH .故 EF ? 平面

PBC . . . . . . (12 分)
19. 【解析】 (1) 因为 ?an ? 是一个等差数列,a3 ? a4 ? a5 ? 84 , 所以 a3 ? a4 ? a5 ? 3a4 ? 84 , 即 a4 ? 28 , 设数列 ?an ? 的公差为 d ,则 5d ? a9 ? a4 ? 73 ? 28 ? 45 ,故 d ? 9 . 由 a4 ? a1 ? 3d ,得 28 ? a1 ? 3 ? 9 ,即 a1 ? 1 . 所以 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an ? a1 ? (n ? 1)d ? 1 ? 9(n ? 1) ? 9n ? 8, n ? N * , . (6 分) (2) 对 m? N* , 若 9m ? an ? 92 m , 则 9m ? 8 ? 9 n ? 9 2 m ? 8 , 因此 9m ?1 ?

8 8 ? n ? 92 m ?1 ? , 9 9

故得 bm ? 92 m ?1 ? 9m ?1 ,于是

S m ? b1 ? b2 ? ? ? bm ? (9 ? 93 ? ? ? 92 m ?1 ) ? (1 ? 9 ? ? ? 9m ?1 )

?

9 ? (1 ? 81m ) 1? (1 ? 9m ) 92 m ?1 ? 10 ? 9m ? 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (12 ? ? 1 ? 81 1? 9 80

分) 20.【解析】 (1) OM ? ( x,1), ON ? ( x, ?2), A1 P ? ( x ? 2, y ), A2 P ? ( x ? 2, y ) ,

???? ?

????

????
2

???? ?

ON ? A1 P ?A2 P ,∴ ( x ? 2)? ? x ? 2 ? y . ∵ ? OM ?
2
2 2 2

???? ? ????

???? ???? ?

化简得:

(1 ? ? 2 ) x 2 ? y 2 ? 2(1 ? ? 2 ) .


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 分)

? ? ?1 时,方程为 y ? 0 ,轨迹为一条直
线; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3 分)



? ? 0 时,方程为 x 2 ? y 2 ? 2 ,轨迹为
圆; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 分)



? ? (?1, 0) ? (0,1) 时,方程为
圆;

x2 y2 ? ? 1 ,轨迹为椭 2 2(1 ? ? 2 )

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分)

x2 y2 ? ? 1 轨迹为双曲 ④ ? ? (??, ?1) ? (1, ??) 时,方程为 2 2(? 2 ? 1)
线. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6 分) (2)∵ ? ?

x2 2 ,∴ P 点轨迹方程为 ? y2 ? 1, 2 2

设 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ) , ∴ S ?OBE ? ∴

1 1 ? 2 ? x1 , S ?OBF ? ? 2 ? x2 , 2 2

S ?OBE : S ?OBF ? x1 : x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . (7 分)

设直线 EF 直线方程为 y ? kx ? 2 ,联立方程可得: (1 ? 2k ) x ? 8kx ? 6 ? 0 .
2 2

∴ ? ? 64k 2 ? 24 ? 48k 2 ? 0 ,∴ k 2 ?

3 8k 6 , ?x1 ? x2 ? ? , x1 ?x2 ? 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

( x1 ? x2 ) 2 x x 64k 2 3 ∴ ? ? 1 ? 2 ? 2 ,∵ k 2 ? ,∴ 2 x1 ?x2 6(1 ? 2k ) x 2 x1 2

64k 2 16 ? (4, ) , . . . . . . . . . . . . . . (10 分) 2 6(1 ? 2k ) 3


x1 1 ? ( ,1) ? (1,3) , x2 3 S ?OBE 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (12 ? ( ,1) , S ?OBF 3

由题意可知:S ?OBE ? S ?OBF , 所以 分)

21.【解析】 (1) f ( x) 其定义域为 (0, ??) . 当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x ?

1 1 1 x ?1 , f ?( x) ? ? 2 ? 2 . x x x x

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 , 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x) 的单调递减区间是 (0,1) ,单调递增区间是 (1, ??) . 所以 x ? 1 时, f ( x) 有极小值为 f (1) ? 1 ,无极大 值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3 分) (2) f ?( x) ? a ?

a ? 1 1 ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 (ax ? 1)( x ? 1) ? 2 ? ? ( x ? 0) . x x x2 x2
1 , a

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? ? 当 ?1 ? a ? 0 时, 1 ? ?

1 1 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 或 x ? ? ,令 f ?( x) ? 0 ,得 a a

1? x ? ?

1 ; a

当 a ? ?1 时, f ?( x) ? ?

( x ? 1) 2 ? 0. x2

当 a ? ?1 时, 0 ? ?

1 1 ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? ? 或 x ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 a a

?

1 ? x ? 1; a 1 1 , ??) ,单调递增区间是 (1, ? ) ; a a

综上所述: 当 ?1 ? a ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间是 (0,1), ( ? 当 a ? ?1 时, f ( x) 的单调递减区间是 (0, ??) ; 当 a ? ?1 时, f ( x) 的单调递减区间是 (0, ? ) , (1, ??) ,单调递增区间是

1 a

1 . . . . . . . . (8 分) (? ,1) . . a (ax ? 1)( x ? 1) (3) a ? 0 时,∵ f ?( x) ? ( x ? 0) , x2
∴ f ?( x) ? 0 ( x ? 0) 仅有 1 解,方程 f ( x) ? 0 至多有两个不同的解. (注:也可用 f min ( x) ? f (1) ? a ? 1 ? 0 说明. ) 由(2)知 ?1 ? a ? 0 时,极小值 f (1) ? a ? 1 ? 0 ,方程 f ( x) ? 0 至多在区间 (? 有 1 个解;

1 , ??) 上 a

22.【解析】 (1)曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 2ax (a ? 0) ;
2

直线的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分) (2)将直线的参数方程与 C 的直角坐标方程联立,得 t 2 ? 2(4 ? a ) 2t ? 8(4 ? a ) ? 0 , (*)

? ? 8a (4 ? a) ? 0 .
设点 M , N 分别对应参数 t1 , t2 恰为上述方程的根,则 PM ? t1 , PN ? t2 , MN ? t1 ? t2 . 由题设得 (t1 ? t2 ) ? t1t2 ,即 (t1 ? t2 ) ? 4t1t2 ? t1t2 .
2 2

由(*)得 t1 ? t2 ? 2 2(4 ? a ) , t1t2 ? 8(4 ? a ) ? 0 , 则有 (4 ? a ) ? 5(4 ? a ) ? 0 ,得 a ? 1 或 a ? ?4 .因为 a ? 0 ,所以
2

. . . . . . . . . . . . . (10 分) a ? 1. . 23.【解析】 (1)不等式 2 x ? 2 ? x ? 1 ? 6 等价于不等式组

? x ? ?1 ??1 ? x ? 2 ? x?2 或? ,或 ? , ? ??3 x ? 3 ? 6 ? ? x ? 5 ? 6 ?3 x ? 3 ? 6
解不等式组,得 x ?? 或 ?1 ? x ? 2 或 2 ? x ? 3 , 所以不等式 2 x ? 2 ? x ? 1 ? 6 的解集为 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分) x ? (?1,3) . . (2)证明:∵ m ? n ? p ? 3 , ∴ (m ? n ? p ) ? m ? n ? p ? 2mn ? 2np ? 2mp ? 9 ,
2 2 2 2

∵ m, n, p 为正实数, ∴由均值不等式,得 m 2 ? n 2 ? 2mn (当且仅当 m ? n 时取等号) , , n 2 ? p 2 ? 2np (当且仅当 n ? p 时取等号) , p 2 ? m 2 ? 2 pm (当且仅当 p ? m 时取等号) ∴ m ? n ? p ? mn ? np ? pm (当且仅当 m ? n ? p 时取等号) ,
2 2 2

∴ (m ? n ? p ) ? m ? n ? p ? 2mn ? 2np ? 2 pm ? 9 ? 3mn ? 3np ? 3 pm ,
2 2 2 2

∴ mn ? np ? pm ? 3 (当且仅当 m ? n ? p 时取等 号) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分)


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