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[教案精品]新课标高中数学人教A版必修一全册教案2.1.2指数函数及其性质(二


2.1.2 指数函数及其性质(二)
(一)教学目标 1.知识与技能: (1)理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质. (2)体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想; 2.过程与方法: 展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质. 3.情感、态度与价值观 (1)让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理. (2)培养学生观察问题,分析问题的能力. (二)教学重点、难点 1.教学重点:指数函数的概念和性质及其应用. 2.教学难点:指数函数性质的归纳,概括及其应用. (三)教学方法 采用观察、分析、归纳、抽象、概括,自主探究,合作交流的教学方法,利用多媒体教 学,使学生通过观察图象,总结出指数函数的性质,调动学生参与课堂教学的主动性和积极 性.从而培养学生的观察能力,概括能力. (四)教学过程

教学

教学内容

师生互动

设计意图

环节 复习 复习指数函数的概念和图象. 1.指数函数的定义 引入 一般地,函数 y ? a ( a >0 且 a ≠1)叫做指数
x

生:复习回顾 师:总结完善

复习 旧知,为 新课作铺 垫.

函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 2.指数函数的图象

问题:根据函数的图象研究函数的定义域、 值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶 性. 形成 图象特征 师: 引导学生观察指数函数的图 0< a <1 象,归纳出图象的特征. 通 过 分 析 图

a >1
概念

向 x 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右, 图象逐渐上升 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 自左向右, 图象逐渐下降 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1

生: 从渐进线、 对称轴、 特殊点、 象,得到 图象的升降等方面观察指数函 数的图象,归纳出图象的特征. 师:帮助学生完善. 图 象 特 征,为进 一步 得 到指数函 数的性质 作准备.

概念

函数性质

生:从定义域、值域、定点、单 0< a <1 调性、 范围等方面研究指数函数 的性质. 师:帮助学生完善.

获得指数 函数的性 质.

a >1
深化

函数的定义域为 R 非奇非偶函数 函数的值域为 R+

a 0 =1
增函数 减函数

x >0, a x >1

x >0, a x <1

x <0, a x <1

x <0, a x >1
师:画出几个提出问题. 明确底数 是确定指 数函数的 要素. 生:画出几个底数不同的指数函 数图象,得到指数函数 y ? a x ( a >0 且 a ≠1) ,当底数越大 时,在第一象限的函数图象越高. (底大图高)

问题:指数函数 y ? a x ( a >0 且 a ≠1) , 当底数越大时,函数图象间有什么样的关系.

应用 举例

例 1 求下列函数的定义域、值域 (1) y ? 0.3 x ?1 (2) y ? 3
5 x?1
1

例 1 分析: 此题要利用指数 函数的定义域、 值域, 并结合指 数函数的图象. 解: 1) x ? 1 ? 0 得 x ? 1 ( 由 所以函数定义域为

掌 握 指数函数 的应用.

{x | x ? 1} .
课堂练习(P64 2) 由

1 ? 0 得 y ? 1, x ?1

所以函数值域为

{ y | y ? 0且y ? 1} .
(2) 5 x ? 1 ? 0 得 x ? 由 所以函数定义域为

1 5

1 {x | x ? } . 5
由 5x ? 1 ? 0 得 y ? 1 , 所以函数值域为

{ y | y ? 1} .
例 2 62 例 7) (P 比较下列各题中的个值的大 小 (1)1.72.5 与 1.73 例 2 解法 1:用数形结合 的方法,如第(1)小题,用图 形计算器或计算机画出

( 2 ) 0.8?0.1

与 0.8

?0.2

在图象上找出 y ? 1.7 x 的图象, 横坐标分别为 2.5, 3 的点, 显然, 图象上横坐标就为 3 的点在横 坐标为 2.5 的点的上方,所以

( 3 ) 1.70.3 与

0.93.1

1.72.5 ? 1.73 .
解法 2:用计算器直接计 算: 1.7
2.5

? 3.77

1.73 ? 4.91
所以, 1.7
2.5

? 1.73

解法 3:由函数的单调性 考虑 因为指数函数 y ? 1.7 x 在 R 上是增函数, 2.5<3, 且 所以,

1.72.5 ? 1.73
仿照以上方法可以解决 第(2)小题 . 注:在第(3)小题中, 可以用解法 1,解法 2 解决,但 解法 3 不适合 . 由于 1.70.3=0.93.1 不能直接 看成某个函数的两个值,因此, 在这两个数值间找到 1, 把这两 数值分别与 1 比较大小, 进而比 较 1.70.3 与 0.93.1 的大小 . 课堂练习: 1. 已 知 a ? 0.8 , b ? 0.8 , c ? 1.2 ,
0.7 0.9 0.8

练习答案 1. 1.2
0.8

? 0.80.7 ? 0.80.9 ;

2. 当 a ? 1 时,

按大小顺序排列 a, b, c ;
1 1

则 a <a . 当 0 ? a ? 1 时, 则 a3 ? a2 .
1 1

1 3

1 2

2. 比较 a 3与a 2的大小( a >0 且 a ≠0).

分析:可以先考试一年一 年增长的情况,再从中发现规 律,最后解决问题: 例 3(P63 例 8)截止到 1999 年底,我们 1999 年底 人口约

人口哟 13 亿,如果今后,能将人口年平均均增 为 13 亿 长率控制在 1%,那么经过 20 年后,我国人口 数最多为多少(精确到亿)? 经过 1 年 为 13(1+1%)亿 经过 2 年 人口约 人口约

为 13 ( 1+1% )( 1+1% ) =13(1+1%)2 亿 经过 3 年 为 13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3 亿 经过 x 年 为 13(1+1%) x 亿 经过 20 年 为 13(1+1%)20 亿 解:设今后人口年平均增 长率为 1%,经过 x 年后,我国 人口数为 y 亿,则 人口约 人口约 人口约

y ? 13(1 ? 1%) x


x

=20





y ? 13(1 ? 1%)20 ? 16(亿)
答:经过 20 年后,我国人

口数最多为 16 亿. 小结:类似上面此题,设 原值为 N,平均增长率为 P,则 对于经过时间 x 后总量

y ? N (1 ? p) x , 像y ? N (1 ? p) x 等形如y ? ka x ( K ? R
, a >0 且 a ≠1)的函数称为指 数型函数 .

归纳 总结

本节课研究了指数函数性质及其应用,关 键是要记住 a >1 或 0< a <1 时 y ? a x 的图 学生先自回顾反思, 教师点 象,在此基础上研究其性质 . 评完善. 本节课还涉及到指数型函数的应用,形如 识体系. 形成知

y ? ka x (a>0 且 a ≠1).
课后 作业 作业:2.1 第五课时 习案 学生独立完成 巩固新知 提升能力

备选例题
例1 求下列函数的定义域与值域
1

(1) y ? 2 x ?4 ; (2) y ? ( ) ;
| x|

2 3

(3) y ? 4 x ? 2 x?1 ? 1 ; 【分析】由于指数函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 的定义域是 R ,所以函数 y ? a f ( x ) ( a ? 0 且 a ? 1 )与函数 f (x) 的定义域相同.利用指数函数的单调性求值域. 【解析】 (1)令 x ? 4 ? 0, 得 x ? 4

? 定义域为 {x | x ? R, 且 x ? 4} .
1 ? ? 0,? 2 x ?4 ? 1 , x?4
1

∴y ? 2

1 x ?4

的值域为 { y | y ? 0, 且 y ? 1} .

(2)定义域为 x ? R .

?| x | ≥0,
2 3 3 ? y ? ( )| x| ? ( )| x| ≥ ( ) 0 ? 1 3 2 2 2 | x| 故 y ? ( ) 的值域为 { y | y ≥ 1} . 3
(3)定义域为 x ? R .

? y ? 4x ? 2x?1 ? 1
? (2x )2 ? 2 ? 2x ? 1 ? (2x ? 1)2 ,
且 2 x ? 0,? y ? 1. 故 y ? 4 x ? 2 x?1 ? 1 的值域为 { y | y ? 1} . 【小结】 求与指数函数有关的函数的值域时, 要注意到充分考虑并利用指数函数本身的 要求,并利用好指数函数的单调性. 例 2 用函数单调性定义证明 a>1 时,y = ax 是增函数. 【解析】设 x1,x2∈ 且 x1<x2,并令 x2 = x1 + h (h>0,h∈ R R), 则有 a x2 ? a x1 ? a x1 ?h ? a x1 ? a x1 (a h ? 1) , ∵ a>1,h>0,∴a x1 ? 0, a h ? 1 , ∴a x2 ? a x1 ? 0 ,即 a x1 ? a x2 故 y = ax (a>1)为 R 上的增函数, 同理可证 0<a<1 时,y = ax 是 R 上的减函数.


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