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2013年高考数学解析几何中定值、定点、定线问题剖析


2013 年高考数学解析几何中定值、定点、定线问题剖析
南昌外国语学校 梁懿涛 在历年的高考解析几何解答题中,定值、定点、定线的问题可以说是永恒的话题,经久不衰,常考常 新,今年也不例外.因为在解答这类问题过程中,既有探索性的历程,又有严密的逻辑推理及复杂的运算, 成为考查学生逻辑思维能力、知识迁移能力和运算求证能力的一道亮丽的风景线,真正体现了考试大纲中 “重知识,更重能力”的指导思想. 一、定值问题 定值问题是指证明某一个量为常数,或是某个量不随另外的变量变化而变化的问题.其方法一般有以 下两种:第一种,先特殊化(如取特殊点、特殊位置、特殊图形等) ,求出待证常数的具体值,再作一般 性证明;第二种,直接推理、计算,将待证为定值的量表示为某参数的函数,再化简证明其与参数无关, 从而证其为定值. 【例 1】 (2013 江西卷理)如图,椭圆 C: 2 + 程为 x =4 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P ),设直线 AB 与直线 l 相交于点 M ,记 PA, PB, PM 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 .问:是否存在常数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ?k3 ?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由. 【解析】(Ⅰ)由 P (1, ) 在椭圆上,得
2 2

x2 a

3 1 y2 =1(a >b>0) 经过点 P(1, ), 离心率 e = ,直线 l 的方 2 2 2 b

3 2

1 9 ? 2 ? 1.又依题 2 a 4b

意 a ? 2c , 则 b ? 3c ,代入上式解得 c2 ? 1, a 2 ? 4, b2 ? 3. 故

x2 y 2 ? ? 1. 椭圆 C 的方程为 4 3
(Ⅱ)当直线 AB 的斜率为 0,即与 x 轴重合时, A(?2,0) ,

B(2,0) , M (4,0) ,又 F (1,0) ,此时 k1 ?

1 3 1 , k2 ? ? , k3 ? ? , k1 ? k2 ? 2k3 ,得 ? ? 2 . 2 2 2

以下证明 k1 ? k2 ? 2k3 对任意的直线 AB 恒成立. 设 AB 的斜率为 k , 则直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,令 x ? 4 得, M 的坐标为 (4,3k ) .将直线 AB 的方程代入椭圆方程 3x2 ? 4 y 2 ? 12 并整理, 得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 .设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

3 3 3 3 y ? k ( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 2 1 2 8k 4(k ? 3) 2? 2? 2? 2= , x1 x2 ? 则 x1 ? x2 ? 2 .从而 k1 ? k2 ? 4k ? 3 4k 2 ? 3 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1
2 2

y1 ?

3 8k 2 3k ? ?2 x1 ? x2 ? 2 3 1 1 3 2 2 3 4k ? 3 2k ? ( ? ) ? 2k ? ? ? 2k ? ? 2k ? 1 .又 2k3 ? 2 ? 2 2 2 x1 ? 1 x2 ? 1 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 4 ?1 8k 2 4(k ? 3) ? ?1 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
? 2 k ? 1 ,所以 k1 ? k2 ? 2k3 .
1

综上分析,存在常数 ? ? 2,使得 k1 ? k2 ? 2k3 . 【评注】本题是个探索性问题,一般的方法是先假定结论成立,并以此为条件,往下推导,若能求出 ? 的值,则结论成立,否则产生矛盾.在本解法中,因为结论对一般情况成立,则对特殊情况 也必成立, 所以反其道行之, 先特殊化处理 (令直线 AB 与 x 轴重合) , 求出 ? ? 2 , 再作一般性的证明, 因为此时 ? ? 2 , 是个具体的数,证明的过程中,计算必然相对简单. 注意到本题中, PF ? x 轴,且直线 l 实际上是椭圆 C 的右准线,可继续探究这对本题中的结论是必须 的,还是纯属巧合?如果是巧合,那么一般性的结论又是什么? 【例 2】 (2013 山东卷理)椭圆 C :

x2 y 2 3 , ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,离心率为 2 a b 2

过F 1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1 , PF2 ,设 ?F 1PF 2 的角平分线 PM 交 C 的长轴 于点 M (m, 0) ,求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下 , 过 P 点作斜率为 k 的直线 l , 使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 , 设直线

PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k2 ,若 k ? 0 ,试证明

1 1 ? 为定值,并求出这个定值. kk1 kk 2
x2 y2 b2 b2 ? ? 1 y ? ? 2 ? 1 ,即 得 ,由题意知 a2 b2 a a

【解析】(Ⅰ)由于 c 2 ? a 2 ? b 2 ,将 x ? ?c 代入椭圆方程

a 2 ? 2b2 ,又 e ?

x2 c 3 ? y2 ? 1 . ? ,所以 a ? 2, b ? 1 ,椭圆方程为 4 a 2

(Ⅱ)设 P( x0 , y0 )( x0 ? ?2) ,又 F1 (? 3,0), F2 ( 3,0) ,所以直线 PF1 、 PF2 的方程分别为 由题意知 y0 x ? ( x0 ? 3) y ? 3 y0 ? 0 , y0 x ? ( x0 ? 3) y ? 3 y0 ? 0 .

| my0 ? 3 y0 |
2 y0 ? ( x0 ? 3)2

?

| my0 ? 3 y0 |
2 y0 ? ( x0 ? 3)2

. 又

2 x0 2 ? y0 ?1, 所以 4

|m? 3| ( 3 x0 ? 2) 2 2

? (

|m? 3| 3 x0 ? 2) 2 2

, 因为 ? 3 ? m ? 3, ?2 ? x0 ? 2 , 得 m? 3 ?
3 x0 ? 2 2

3?m , 3 2? x0 2

所以 m ?

3 3 3 x0 ,因此 ? ? m ? . 4 2 2
x x2 xx ? y 2 ? 1 在点 P 处的切线,所以 l : 0 ? yy0 ? 1, k ? ? 0 .又 4 4 y0 4

(Ⅲ) 依题意,直线 l 为椭圆

k1 ?

y0 x0 ? 3

, k2 ?

y0 x0 ? 3



4 y x ? 3 x0 ? 3 1 1 . ? ?? 0 ( 0 ? ) ? ?8 (定值) kk1 kk2 x0 y0 y0
1 1 ? 的值与参数无关(定 kk1 kk 2
2

【评注】本题的解法是用参数 ( x0 , y0 ) 表示 k1 , k2 , k ,再通过计算证明

值) .具体到求椭圆

x2 ? y 2 ? 1 在点 P ( x0 , y0 ) 处的切线时,直接运用了椭圆的切点公式:对于椭圆 4

xx yy x2 y 2 ? 2 ? 1 ,过椭圆上一点 P( x0 , y0 ) 的切线方程为 20 ? 20 ? 1 .必须指出,若点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外, 2 a b a b
则过点 P 的切点弦方程也为

xx0 yy0 x2 y 2 ? ? 1 . 另外, 本题可推广到一般地情形: 过椭圆 ? ? 1 上一点 P a2 b2 a 2 b2
1 1 2a 2 . ? ? ? 2 (定值) kkPF1 kkPF2 b

的切线斜率为 k ,椭圆的左右焦点分别为 F1 , F2 ,则

二、定点问题 定点问题是动直线(或曲线)恒过某一定点的问题,一般方法是先将动直线(或曲线)用参数表示出 来,再分析判断出其所过的定点. 【例 3】 (2013 陕西卷理)已知动圆过定点 A(4,0) , 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 已知点 B(?1,0) , 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q , 若 x 轴是 ?PBQ 的 角平分线, 证明直线 l 过定点. 【解析】 (Ⅰ) 设圆心 C ( x, y ) , 动圆过定点 A(4,0) ,所以 r ? ( x ? 4)2 ? y 2 , 在 y 轴上截得的弦 MN 的 长为 8,所以 8 ? 2 r 2 ? x2 ,化简得 y 2 ? 8 x ,即动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y 2 ? 8 x . (Ⅱ) 解法一:设 l : y ? kx ? t ,代入 y 2 ? 8 x ,得 k 2x2 ? (2kt ? 8)x ?t 2 ? 0 .设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则

x1 ? x2 ? ?

2kt ? 8 t2 y y kx ? t kx ? t ,x ?? 2 ? .依题意有 kBP ? ?kBQ , 1 ? ? 2 ? 1 1x 2 ? 2 2 k k x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 t2 2kt ? 8 ? (k ? t )(? ) ? 2t ? 0 ? k ? t ? 0 , 所 以 l : y ? k x? t? ( k x ?1) 2 k k2

2kx1 x2 ? (k ? t )( x1 ? x2 ) ? 2t ? 0 ? 2k
过定点 (1,0) . 解 法 二 : 设 P(

y12 y2 , y1 ), Q ( 2 , y2 ) , 依 题 意 y1 ? y2 ? 0 且 直 线 PB 、 QB 的 斜 率 互 为 相 反数 , 所 以 8 8

, ( y1 y2 ? 8)( y1 ? y2 ) ? 0 , 因 为 y1 ? y2 ? 0 , 所 以 y1 y2 ? ?8 . 又 直 线 l 的 方 程 为 y ?1 8 y12 yy 8 8 8 y1 ? y2 y12 (x ? 1 2 ) ? ( x ? 1) ,即直 y ? y ? ( x ? ), y? ,化简得 y ? y1 ? 2 ( x ? ) 1 2 y1 ? y2 8 y1 ? y2 y1 ? y2 8 y1 y2 8 ? 8 8

y1

y ?1 8

2 1

??

y2

2 2

线 l 的方程 y ?

8 ( x ? 1) ,显然过定点 (1,0) . y1 ? y2

【评注】定点问题的难点是动直线(或曲线)的表示,一旦表示出来,其所过的定点就一目了然了.所 以动直线(或曲线)中,参数的选择就至关重要.比较本题的两种解法,解法二由于采取了点 P, Q 坐标的 参数式设法,只有两个参数 y1 , y2 (解法一有多达 6 个参数) ,使得运算更简捷.
3

此外,本题可推广为一般地的结论:不垂直于 x 轴的直线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 交于不同的两点

P, Q ,点 M (m,0)(m ? 0) ,则直线 PQ 过定点 (? m,0) 的充要条件是 x 轴是 ?PMQ 的角平分线.
在抛物线中,类似的命题还有很多,以下列举几个,可加以练习: (1)直线 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,则直线 与与 x 轴交于 M (m,0) 的 充要条件是 y1 y2 ? ?2 pm .特别地,直线 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 过焦点的充要条件是 y1 y2 ? ? p 2 ; (2)过点 M (m,0) 的直线 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,则抛物线在 A, B 两

y1 ? y2 ) ,反之也成立; 2 (3)设点 A, B 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上不同两点, O 为原点,则 OA ? OB 的充要条件是直线 AB 过 定点 (2 p,0) .
点的切线交于点 N (?m, 三、定线问题 定线问题是证明动点在定直线上,其实质是求动点的轨迹方程,所以所用的方法即为求轨迹方程的方 法,如定义法、消参法、交轨法等.

x2 y2 ? ? 1 的焦点在 x 轴上. a2 1 ? a2 (Ⅰ)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程;
【例 4】 (2013 安徽卷理)设椭圆 E : (Ⅱ)设 F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点, P 为椭圆 E 上的第一象限内的点,直线 F2 P 交 y 轴于点 Q ,并 且 F1 P ? F2Q ,证明:当 a 变化时,点 P 在某定直线上. 【解析】 (Ⅰ) 2c ? 1, c ?

8x2 8 y 2 1 1 5 ? ? 1. , 所以椭圆 E 的方程为 E : ? c2 ? a2 ? (1 ? a2 ) ? ,a2 ? , 5 3 4 2 8
PF2

(Ⅱ)方法一: 设 P( x0 , y0 ) ,则

:y?

y0 cy0 cy0 ( x ? c) ,令 x ? 0 , y ? ? ) .从 ,即 Q (0, ? x0 ? c x0 ? c x0 ? c

而 kF1P ? kF1Q

?cy0 y0 x ?c 2 2 2 2 ? 0 ? ?1 ,化简得 x0 ? ? y0 ? c2 .又 c2 ? a2 ? (1 ? a 2 ) ,所以 x0 ? y0 ? 2a2 ? 1 ,代入 x0 ? c c

2 2 ? x0 ? a 2 x0 y0 ? ? ? 1 P ( x , y ) ,结合 在第一象限,解得 ,消去 a 2 ,得 x0 ? y0 ? 1 ,即点 P( x0 , y0 ) 在 ? 0 0 2 a2 1 ? a2 y ? 1 ? a ? ? 0

定直线 x ? y ? 1 上. 方法二:设 P( x0 , y0 ) , Q(0, t ) ,由 F1 P ? F2Q 得

y0 t c( x ? c) ? ? ?1 , t ? ? 0 .又由 P, F2 , Q 三点共 x0 ? c c y0

线,所以 kPF2 ? kQF2 ,

y0 ? x0 ? c

?

c( x0 ? c) y0 2 2 ,化简得 x0 ? y0 ? c2 ,以下同方法一. ?c

【评注】 消参法是求轨迹方程中最常用也是最好用的方法, 即通法, 本题解法就是运用了这种方法. 另 外本题的求解过程,大量地设元(参数),但并没有都求出来,运算也并不复杂,这即为解析几何最具特 色的方法,设而不求法. 定值、定点、定线问题是解析几何中的特色问题,处处可见其痕迹.只在平时的解题过程中,不断总 结其方法,推广其结论,才能不断提高此类问题的解题水平.
4


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