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南安一中2015~2016学年度上学期期中考高三数学理科试卷

南安一中 2015~2016 学年度上学期期中考

高三数学理科试卷
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. (1)复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ,则复数 z 在复平面内对应的点在 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

(2)已知集合 A ? {x | y ? ln( x ? 1)} ,集合 B ? {x | x2 ? 3x ? 0} ,则 A ? (CR B) ? (A) (1,3) (B) (1,3] (C) [0, ??) (D) [3, ??)

(3)已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x3 ? ln(1 ? x) ,则当 x ? 0 时, f ( x) ? (A) ? x3 ? ln(1 ? x) (B) x3 ? ln(1 ? x) (C) x3 ? ln(1 ? x) (D) ? x3 ? ln(1 ? x)

(4) ?ABC 中, “ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的 (A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 (5)已知角 ? 的始边与 x 轴非负半轴重合,终边在直线 y ? (A) ?

4 5

(B)

4 5
0.4

1 x 上,则 cos 2? ? 2 3 3 (C) ? (D) 5 5

(6)设 a ? log4 8 , b ? log 0.4 8 , c ? 2 ,则 (A) b ? c ? a (B) c ? b ? a (C) c ? a ? b (D) b ? a ? c

(7)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,且 y ? f ( x) 的图象关于点 ( , 0) 对称,则函数 f ?x ? 的图象的 一条对称轴是 (A) x ?

π 3

5? 6

(B) x ?

7? 12

(C) x ?

?
3

(D) x ?

?
6
4 3

(8)有一个函数的图象如图所示,则这个函数可能是下列哪个函数 (A) y ? 2 ? x ? 1
x 2

y

2

(B) y ? (D) y ?

2 x sin x 2x ? 1
x ln x

1

4

2

2

4

x

6

(C) y ? ( x ? 2 x)e
2

1

x

2

3

(9)若 O 是 ?ABC 所在平面内任意一点,且满足 | OB ? OC |?| OB ? OC ? 2OA | ,则 ?ABC 一定是 (A) 等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)等腰直角三角形

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

(10)已知函数 f ( x) ? 4sin(2 x ? 1) ? x ,则在下列区间中,函数 f ( x ) 不存在零点的是 (A) [?4, ?2] (B) [?2, 0] (C) [0, 2] (D) [2, 4]

(11)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个正三棱柱的体积为 6 3 ,那 么这个球的体积是 (A) 4? (B)

4? 3

(C)

16? 3

(D)

16? 9

(12)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多 面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 (A) 2 2 (B) 2 3 (C) 10 (D) 13

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作 答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f (? x) ? f ( x ? 3), f (2015) ? 2 ,则 f (1) = 14. .

?

2 0

| 2 x ? 2 | dx ?



15.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是一个底面为正 三角形的三棱柱的正视图,则三棱柱侧面积的取值范围为 .

16.有一道解三角形的题目因纸张破损而使得有一个条件看不清,具体如下:在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边. 已知 a ?

6,

c o s , 且2

2

A?C (? 2 1 ) c o s ? 2
o

B, 求角 A .

现知道破损缺少的条件是三角形的一个边长,且该题答案为 A ? 60 ,试将条件补充完整(必 须填上所有可能的答案) .

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, 且 3cos C ? 3 sin C ? 直平分线交边 AB 于点 D . (Ⅰ)求 ? B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 ,且 ?DBC 的面积为

3a , AC 边上的垂 b

3 ,求边 c 的值. 2

(18) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,且 ?ABC ? 60 ,侧面 PDC
o

为等边三角形,且与底面 ABCD 垂直, M 为 PB 的中点. (Ⅰ)求证: PA ? DM ; (Ⅱ)求直线 PC 与平面 DCM 所成角的正弦值.

P M D C A B

(19) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

x ?1 ? 1(a ? R, a ? 0) . ae x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 没有零点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 恰有一个零点,试写出实数 a 的取值范围(不必写出过程) .

(20)(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D, M 分别为 CC1 和 A 1B 的中点, A 1 D ? CC1 ,侧面 ABB 1A 1
o AA1 ? A1D ? 2 , BC ? 1 . 为菱形且 ?BAA 1 ? 60 ,

C A A1 M B

D

C1

(Ⅰ)证明:直线 MD ∥平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 B ? AC ? A1 的余弦值.

B1

xx x
(21)(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? e x , g ( x) ? ln x . (Ⅰ)证明: g ( x ) ? 2 ?

e ; x

(Ⅱ)若对所有的 x ? 0 ,都有 f ( x) ? f (? x) ? ax ,求实数 a 的取值范围.

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多 做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 1 :几何证明选讲 题目略,得分略.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程 在极坐标系中,曲线 C 的方程为 ? ?
2

3 ? ,点 R(2 2, ) ,以极点为原点,极轴为 x 2 1 ? 2 cos ? 4

轴的正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位. (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程及 R 点的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为曲线 C 上一动点,以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴,求矩形

PQRS 周长的最小值及此时 P 点的直角坐标.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ? | 2 x ? 4 | , g ( x) ?| x ? 1| ?3 . (Ⅰ)解不等式 | g ( x) |? 5 ; (Ⅱ)若对任意 x2 ? R ,都有 x1 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围.


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