当前位置:首页 >> 理学 >>

线性代数 向量组的线性相关性


第三节 向量组的线性相关性

分布图示
★ 线性相关与线性无关 ★ 证明线性无关的一种方法 线性相关性的判定 ★ 定理 1 ★ 例3 ★ 例4 ★ 定理 3 ★ 定理 5 ★ 内容小结 ★ 习题 3-3 ★ 例1 ★ 例2

★ ★ ★ ★ ★

定理 2 例5 定理 4 例7 课堂练习

★ 例6

内容要点
一、线性相关性概念 定义 1 给定向量组 A : ? 1 , ? 2 , ? , ? s , 如果存在不全为零的数 k 1 , k 2 , ? , k s , 使
k 1? 1 ? k 2 ? 2 ? ? ? k s ? s ? 0 ,

(1)

则称向量组 A 线性相关, 否则称为线性无关. 注: ① 当且仅当 k 1
? k2 ? ? ? ks ? 0

时,(1)式成立, 向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 线性无关;

② 包含零向量的任何向量组是线性相关的; ③ 向量组只含有一个向量 ? 时,则 (1) ? ? 0 的充分必要条件是 ? 是线性无关的; (2) ? ? 0 的充分必要条件是 ? 是线性相关的; ④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例; 反之,仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是 这三个向量共面. 二、线性相关性的判定 定理 1 向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? s ( s
? 2)

线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量

可由其余 s ? 1 个向量线性表示.
? a1 j ? ? a2 j ?? ? ? ?a ? nj ? ? ? ? , ( j ? 1, 2 , ? , s ), ? ? ?

定理 2 设有列向量组 ?

j

则向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 线性相关的充要

条件是: 是矩阵 A ? (? 1 , ? 2 , ? , ? s ) 的秩小于向量的个数 s .

推论 1

n

个 n 维列向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? n 线性无关(线性相关)的充要条件是: 矩阵 的秩等于(小于)向量的个数 n .

A ? (? 1 , ? 2 , ? , ? n )

推论 2

n

个 n 维列向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? n 线性无关(线性相关)的充要条件是:矩阵 的行列式不等于(等于)零.

A ? (? 1 , ? 2 , ? , ? n )

注: 上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立. 推论 3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时, 此向量组必线性相关. 定理 3 如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关,则整个向量组线性相关. 推论 4 线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关. 定理 4 若向量组 ? 1 , ? , ? s , ? 线性相关, 而向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 线性无关, 则向量 ? 可

由 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 线性表示且表示法唯一. 定理 5 设有两向量组
A : ? 1 ,? 2 ,? ,? s ; B : ? 1 , ? 2 ,? , ? t ,

向量组 B 能由向量组 A 线性表示, 若 s ? t , 则向量组 B 线性相关. 推论 5 向量组 B 能由向量组 A 线性表示, 若向量组 B 线性无关, 则 s ? t . 推论 6 设向量组 A 与 B 可以相互线性表示, 若 A 与 B 都是线性无关的, 则 s ? t .

例题选讲
例 1 设有 3 个向量(列向量):
?1
?1? ? ? ? ? 0 ?, ?1? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? 2 ?, ? 2 ? ? ? ?1? ? ? ? ? 2 ?, ?4? ? ?

?2

?2

不难验证 2? 1

? ? 2 ? ? 3 ? 0,

因此 ? 1 , ? 2 , ? 3 是 3 个线性相关的 3 维向量.

例 2 设有二个 2 维向量: e1

?1? ? ? ?, ?0? ? ?

?0? e 2 ? ? ?, ?1? ? ?

如果他们线性相关, 那么存在不全为零的

数 ?1 , ? 2 , 使
? 1 e1 ? ? 2 e 2 ? 0 ,
?1? ?0?

也就是

?1 ? ? ? ? 2 ? ? ? 0 , ?0? ?1? ? ? ? ?
? ?1 ? ? 0 ? ??? ? 0 ? ?? ? ? ? 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ?? ? ? 2 ? ? ? 0. ? ?



于是 ? 1 量.

? 0,

? 2 ? 0 , 这同 ? 1 , ? 2 不全为零的假定是矛盾的. 因此 e 1 , e 2 是线性无关的二个向

例 3 (E01)

n

维向量组
? 1 ? (1, 0 , ? , 0 ) , ? 2 ? ( 0 ,1 ? , 0 ) , ? , ? n ? ( 0 , 0 , ? ,1)
T T T

称为 n 维单位坐标向量组, 讨论其线性相关性. 解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵
? 1 ? ? 0 E ? (? 1 , ? 2 , ? , ? n ) ? ? ? ? ? 0 ? 0 1 ? 0 ? ? ? ? 0? ? 0? ? ? ? 1 ? ?

是 n 阶单位矩阵. 由 E ? 1 ? 0 , 知 r E ? n . 即 r E 等于向量组中向量的个数, 故由推论 2 知此向量是线性无关 的.

例 4 (E02)

?1? ? ? 已知 a 1 ? ? 1 ? , ?1? ? ?

a2

?0? ? ? ? ? 2 ?, ?5? ? ?

a3

?2? ? ? ? ?4? ?7? ? ?

, 试讨论向量组 a1 , a 2 , a 3 及 a 1 , a 2 的线性相

关性. 解 对矩阵
A ? ( a1 , a 2 , a 3 )

施行初等行变换成行阶梯形矩,可同时看出矩阵 A 及

B ? (? 1 , ? 2 )

的秩,利用定理 2 即可得出结论.
0 2 5 2? ?1 ? r2 ? r1 ? 4? ? ?0 r3 ? r1 ?0 7? ? ? 0 2 5 2? 5 r1 ? r2 ? 2 ? ? ?2 ? ? ? 5? ?1 ? ?0 ?0 ? 0 2 0 2? ? 2 ?, 0? ?

?1 ? (? 1 , ? 2 , ? 3 , ) ? ? 1 ?1 ?

易见, r ( A ) ? 2 , r ( B ) ? 2 , 故向量组 ? 1 , ? 2 , ? 3 , 线性相关. 向量组 a1 , a 2 线性无关.

例 5 判断下列向量组是否线性相关:
? 1 ? ? ? ? 2 ? ?1 ? ? ?, ?1 ? ? ? 5 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 1? ?? ?, 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 3 ? ?? ?. ?1 ? ? ? 11 ? ? ?

?2

?3



对矩阵 (? 1 , ? 2 , ? 3 ) 施以初等行变换化为阶梯形矩阵:

? 1 ? ? 2 ? ?1 ? ? 5 ?

2 ?1 1 1

4? ? 3? ? ?1 ? 11 ? ?

?1 ? ?0 ? 0 ? ?0 ?

2 ?5 3 ?9

4? ? ? 5? ? 3 ? ? 9? ?

?1 ? ?0 ? 0 ? ?0 ?

2 1 0 0

4? ? 1? ? 0 ? 0? ?

秩 (? 1 , ? 2 , ? 3 ) ?

2 ? 3, 所以向量组 ? 1 , ? 2 , ? 3

线性相关.

例 6 证明:若向量组 ? , ? , ? 线性无关, 则向量组 ? ? ? , ? ? ? , ? 证 设有一组数 k 1 , k 2 , k 3 , 使
k 1 (? ? ? ) ? k 2 ( ? ? ? ) ? k 3 (? ? ? ) ? 0

??

亦线性无关.

(1)

成立,整理得 ( k 1

? k 3 )? ? ( k 1 ? k 2 ) ? ? ( k 2 ? k 3 )? ? 0

由 ? , ? , ? 线性无关,故
? k1 ? k 3 ? 0 ? ? k1 ? k 2 ? 0 ?k ? k ? 0 3 ? 2

(2)

1

0 1 1

1 0 ? 2 ? 0 , 故方程组(2)仅有零解.即只有 k 1 ? k 2 ? k 3 ? 0 1
??

因为 1
0

时(1)式才成立.

因而向量组 ? ? ? , ? ? ? , ?

线性无关.

例 7 (E03) 设向量组 a1 , a 2 , a 3 线性相关, 向量组 a 2 , a 3 , a 4 线性无关, 证明 (1) (2)
a 1 能由 a 2 , a 3 线性表示;

a 4 不能由 a 1 , a 2 , a 3

线性表示.

证明(1)因 ? 2 , ? 3 , ? 4 线性无关,故 ? 2 , ? 3 线性无关,而 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性相关,从而 ? 1 能 由 ? 2 , ? 3 线性表示; (2)用反证法. 假设 ? 4 能由 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性表示,而由(1)知 ? 1 能由 ? 2 , ? 3 线性表示,因 此 ? 4 能由 ? 2 , ? 3 表示,这与 ? 2 , ? 3 , ? 4 线性无关矛盾.证毕.

课堂练习
1. 试证明:

(1) 一个向量 ? 线性相关的充要条件是 ? ? 0 ; (2) 一个向量 ? 线性无关的充分条件是 ? ? 0 ; (3) 两个向量 ? , ? 线性相关的充要条件是 ? ? k ? 或者 ? ? k ? (两式不一定同时成 立) 。 2. 判断向量组
? 1 ? (1, 2 , 0 ,1) , ? 2 ? (1, 3 , 0 , ? 1) , ? 3 ? ( ? 1, ? 1,1, 0 )
T T T

是否线性相关. 3. 判断向量组
? 1 ? (1, 2 , ? 1,5 ) , ? 2 ? ( 2 , ? 1,1,1) , ? 3 ? ( 4 ,3 , ? 1,11 )
T T T

是否线性相关.


赞助商链接
相关文章:
关于向量组线性相关性的几种判定毕业设计论文
关于向量组线性相关性的几种判定毕业设计论文 - 关于向量组线性相关性的几种判定 摘要 向量组线性相关性线性代数中是一块基石, 在它的基础上我们推导和衍生出...
线性代数重要公式:向量组的线性相关性
线性代数重要公式:向量组的线性相关性_理学_高等教育_教育专区。线性代数重要公式:向量组的线性相关性 2016 考研数学复习,线性代数是重难点,虽然知识不多,但是考察形...
向量组的线性相关性 线性代数习题集
线性代数练习题系 专业 第四章 向量组的线性相关性班 姓名 学号 第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性 一.选择题 1.n 维向量 α 1 , ...
精心整理线性代数公式大全
精心整理线性代数公式大全_自考_成人教育_教育专区。最基本的线性代数公式,以及...线性相关,则 A 也线 性相关;(向量组的维数加加减减) 简言之:无关组延长...
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式 N 阶行列式:行列式中所有不同行...转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示 向量组的线性相关(无) :...
线性代数教案 第四章 向量组的线性相关性
线性代数教案 第四章 向量组的线性相关性_理学_高等教育_教育专区。教课程名称:线性代数 案编写时间:20 年月日 授课章节 目的要求 重点难点 第四章 向量组的...
线性代数概念、性质、定理、公式整理
线性代数概念、性质、定理、公式整理_数学_自然科学_专业资料。概念、性质、定理...⑤ 两个向量线性相关 ? 对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关 p教材...
线性代数第三章 向量组的线性相关性最后一节答案
线性代数第三章 向量组的线性相关性最后一节答案_管理学_高等教育_教育专区。线性代数 线性代数练习题一.选择题: 1.已知向量组 [ 第三章 向量 第三节 向量组...
线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式 N 阶行列式:行列式中所有不同行...二、 n 维向量组的线性相关性 1.向量组的线性相关性的定义和充分必要条件: ...
线性代数基本性质定理
线性代数基本性质定理_数学_自然科学_专业资料。线性代数基本性质、定理、公式,...⑥ 两个向量线性相关 ? 对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关 p教材...
更多相关标签: