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人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式-章末复习方案ppt课件_图文

本专题主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结论是否成立,再就是 利用不等式性质,进行数值(或代数式)大小的比较,有时考查分类讨论思想,常 与函数、数列等知识综合进行考查. [例 1] 2 若 a、b 是任意实数,且 a>b,则 2 ( ) A.a >b a B.b<1 1 a 1 b D.( ) <( ) 2 2 C.lg(a-b)>0 [解析] 结合不等式性质和函数的性质(单调性)来比较大 小,或用特殊值法判断. a>b 并不能保证 a、b 均为正数,从而不能保证 A、B 成 立.又 a>b?a-b>0,但不能保证 a-b>1,从而不能保证 1 x C 成立.显然只有 D 成立.事实上,指数函数 y=( ) 是减函 2 1 a 1 b 数,所以 a>b?( ) <( ) 成立. 2 2 [答案] D 1.证明不等式 不等式的证明方法很多,关键是从式子的结构入手分析,运用基本不等式证 明不等式时,要注意成立的条件,同时熟记一些变形形式,放缩的尺度要把握 好. [例 2] 1 +y )≥9. [证明] 1 已知 x>0, y>0, 且 x+y=1, 求证: (1+x)(1 法一 ∵x+y=1, 1 x+y y ∴x= x =1+x, 1 x+y x ∴y = y =1+y , 1 1 y x ∴(1+x)(1+ y )=(2+x)(2+y ) x y =5+2(y +x) ≥5+2×2 xy y· x=9. x y 当且仅当y =x,x+y=1, 1 即 x=y= 时等号成立. 2 法二:∵x>0,y>0,x+y=1, ?x+y?2 1 1 ∴xy≤ = ,∴xy≥4. 4 4 1 1 1 1 1 ∴(1+x)(1+ y )=1+xy+x+ y 1 y x =1+xy+1+x+1+ y 1 y x =3+xy+x+ y ≥3+4+2 y x 当且仅当x= y ,x+y=1, 1 即 x=y= 时等号成立. 2 xy y· x=9. [例 3] 若 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1. 1 1 1 9 求证: + + ≥ . a+b b+c c+a 2 [证明] ∵a、b、c∈R+且 a+b+c=1, ∴2=(a+b)+(b+c)+(c+a). 1 1 1 ∴[(a+b)+(b+c)+(c+a)]· ( + + ) a+b b+c c+a ≥3 3 ?a+b??b+c??c+a?×3 3 1 1 1 · · =9. a+b b+c c+a ∴原式得证. 2.求函数的最值 在利用基本不等式求函数最值时,一定要满足下列三个条件:①x、y为正 数.②“和”或“积”为定值.③等号一定能取到,这三个条件缺一不可. [通一类] 1 [例 4] 已知 0<x< ,求函数 y=x(1-3x)的最大值. 3 1 [解] y=x(1-3x)= ×3x×(1-3x), 3 1 ∵0<x< ,∴1-3x>0,x>0. 3 1 ∴y=x(1-3x)= ×3x×(1-3x) 3 3x+?1-3x? 2 1 1 ≤ ×[ ] = . 3 2 12 1 1 当且仅当 3x=1-3x 即 x= ,y 有最大值 . 6 12 [例 5] 小值为 A.2 C.4 1+cos 2x+8sin2x π 当 0<x< 时,函数 f(x)= 的最 2 sin 2x ( B. 2 D.4 3 3 ) [解析] 利用二倍角公式和同角三角函数关系, 将函数式转 化变形,再用基本不等式求解. 2cos2x+8sin2x 1 f(x)= = +4tan x. 2sin xcos x tan x ? π? ∵x∈?0,2 ?,∴tan ? ? x>0. 1 · 4tan x=4,故选 C. tan x 1 故 f(x)= +4tan x≥2 tan x [答案] C 3.解决实际问题 由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限 制,在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形.对于一些 分式结构的函数,当分子中变量的次数不小于分母中变量的次 数时,通常采用分离变量(或常数)的方法,拼凑出类似函数 y= a x+x的结构, 然后用基本不等式(符合条件)或单调性求最值. 这 种变形的技巧经过适当的强化训练,是可以较容易掌握的. [例 6] 某游泳馆出售冬游泳卡, 每张 240 元, 其使用规定: 不记名,每卡每次只限一人,每天只限一次.某班有 48 名同 学,老师打算组织同学们集体去游泳,除需购买若干张游泳卡 外,每次游泳还需包一辆汽车,无论乘坐多少名同学,每次的 包车费均为 40 元. (1)若使每个同学游 8 次,每人最少应交多少元钱? (2)若使每个同学游 4 次,每人最少应交多少元钱? [解] 设买 x 张游泳卡,总开支为 y 元,则 48×8 (1)每批去 x 名同学,共需去 x 批, 总开支又分为:①买卡所需费用 240x, 48×8 ②包车所需费用 x ×40. 48×8 ∴y=240x+ x ×40(0<x≤48,x∈Z). 64 64 ∴y=240(x+ x )≥240×2 x× x =3 840, 64 当且仅当 x= x ,即 x=8 时取等号. 3 840 故每人最少应交 =80(元). 48 48×4 (2)每批去 x 名同学,共需去 x 批, 总开支又分为: ①买卡所需费用 240x, ②包车所需费用 48×4 x ×40. 48×4 ∴y=240x+ x ×40(0<x≤48,x∈Z). 32 ∴y=240(x+ x )≥240×2 32 x× x =1 920 2, 32 当且仅当 x= x ,即 x=4 2时取等号. 但 0<x≤48,x∈Z, 32 又当 x1=5 时,y1=240×(5+ )=2 736; 5 32 当 x2=6 时,y2=240×(6+ )=2 720. 6 ∵y1>y2,∴当