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北京市石景山区2012-2013学年高二数学上学期期末考试试题 文 北师大版


石景山区 2012—2013 学年第一学期期末考试试卷高二数学(文科)
考生 须知 1. 本试卷为闭卷考试,满分为 100 分,考试时间为 120 分钟. 2. 本试卷共 8 页,各题答案均答在本题规定的位置.

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.把所选 项前的字母填在题后括号内. 1.复数 z ? ?1? 2i 所对应的点在( A.第一象限 2.复数 B.第二象限 ) B. ?1
2

) C.第三象限 D.第四象限

1? i ?( 1? i

A. 1

C. i ) C. (0 , 2)

D. ?i

3.抛物线 y ? 8 x 的焦点坐标为( A. (2 , 0) B. (?2 , 0)

D. (0 , 2) ? ) D.不存在

4.已知直线经过点 A(0 , 和点 B(1 , ,则直线 AB 的斜率为( 4) 2) A. 2 B. ? 2 C. ?

1 2

5. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 是( ) B. 3 ? 2 D. 6

1 1
主视图

1

1 A. 2
C. 2 ? 2

1
左视图

1
1

2

俯视图 6.双曲线 A. y ? ? x

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程为( 4 4
B. y ? ? 2 x

) C. y ? ?2 x D. y ? ?4 x

7.已知命题 q : ?x ? R ,x ? 1 ? 0 ,则 ?q 为(
2


2

x A. ?x ? R , ? 1 ? 0
2

x B. ?x ? R , ? 1 ? 0 x D. ?x ? R , ? 1 ? 0
2

x C. ?x ? R , ? 1 ? 0
2

8.过点 P(?1, 与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直的直线的方程为( 2) A. x ? 2 y ? 3 ? 0 B. x ? 2 y ? 5 ? 0 C. x ? 2 y ? 3 ? 0

) D. 2 x ? y ? 4 ? 0

1

9.已知 ? , 表示两个不同的平面, m 为平面 ? 内的一条直线,则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的( ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件
2 2



B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )

10.过点 (1 , 的直线 l 与圆 x ? y ? 4 交于 A , 两点,若 |AB|=2 2 ,则直线 l 的方程为( 1) B A. x+y ? 2=0 B. x ? 2 y +1=0 C. 2 x ? y ? 1=0 D. x ? y ? 1=0

11.已知三条不同直线 m , ,,两个不同平面 ? , ,有下列命题: n l ? ① m ? ? , n ? ? , m ∥ ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ? ② m ? ? , n ? ? , l ? m , l ? n ,则 l ? ? ③ ? ? ? , ? ? ? =m , n ? ? , n ? m ,则 n ? ? ④ m ∥ n , n ? ? ,则 m ∥ ? 其中正确的命题是( A.①③ 12.若椭圆 C1 : ) B.②④ C.③ D.①②④

x2 a1
2

?

y2 b1
2

? 1 ( a1 ? b1 ? 0 )和椭圆 C 2 :


x2 a2
2

?

y2 b2
2

? 1 ( a 2 ? b2 ? 0 )

的焦点相同,且 a1 ? a2 ,则下面结论正确的是( ① 椭圆 C1 和椭圆 C 2 一定没有公共点 ③

② a1 ? a 2 ? b1 ? b2
2 2 2

2

a1 b1 ? a2 b2
B. ①③④

④ a1 ? a2 ? b1 ? b2 C.①②④ D. ①②③

A.②③④

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.把答案填在题中横线上. 13.如果复数 z ? ?2 ? i ,则 z =________, z ? i =________.
3

14.命题“ ?a , ?R ,如果 a ? b ,则 a ? b ”的逆命题是____________________. b
3 3

15.椭圆

x2 y 2 F ? ? 1 的焦点为 F1 , 2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 ,则 | PF2 |? _________; ?F1 PF2 的小大为 9 2

__________. 16.如图,正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中, E , F 分别为棱 DD1 , AB 上的点.已知下列判断:① A1C ? 平面 B1 EF ; ② D B1 EF 在侧面 BCC1 B1 上的正投影是面积为定值的三角形;③在平面 A1 B1C1 D1 内总存在与平面 B1 EF 平行的直 线.

2

D1
其中正确结论的序号为__________(写出所有正确结论的序号). 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 40 分.解答题应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 5 分)
2 2

C1 B1

A1

E

D
A F B

C

实数 x 取何值时,复数 z ? ( x ? x ? 2) ? ( x ? 3x ? 2)i 是实数?是虚数?是纯虚数?

18.(本小题满分 6 分) 已知直线 l 与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 的倾斜角相等,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 24 ,求直线 l 的方程.

19.(本小题满分 6 分) 已知直线 l1 : 2 x ? y ? 0 ,直线 l2 : x ? y ? 2 ? 0 和直线 l3 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 . (Ⅰ)求直线 l1 和直线 l 2 交点 C 的坐标; (Ⅱ)求以 C 点为圆心,且与直线 l3 相切的圆 C 的标准方程.

3

20.(本小题满分 7 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,O 是正方形 ABCD 的中心,PO ? 底面 ABCD ,E 是 PC 的中点. 求证: (Ⅰ) PA ∥平面 BDE ; (Ⅱ)平面 PAC ? 平面 BDE .

P

E

D
O

C

A

B

21.(本小题满分 8 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, ABC ? 60? , ? 平面 ABCD , M , 分别为 BC , 点 N PA ? PA 的中点,且 PA ? AB ? 2 . (Ⅰ)证明: BC ⊥平面 AMN ; (Ⅱ)求三棱锥 N ? AMC 的体积; (Ⅲ)在线段 PD 上是否存在一点 E ,使得 NM // 平面 ACE ;若存在,求出 PE 的长;若不存在,说明理由.

P

N

A

D

B
22.(本小题满分 8 分)

M

C

0) 0) 已知椭圆的两个焦点 F1 (? 3 , , F2 ( 3 , ,过 F1 且与坐标轴不平行的直线 m 与椭圆相交于 M , N 两点,
如果 ?MNF2 的周长等于 8 . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若过点 (1, 的直线 l 与椭圆交于不同两点 P ,Q ,试问在 x 轴上是否存在定点 E (m, ,使 PE ? QE 恒 0) 0) 为定值?若存在,求出 E 的坐标及定值;若不存在,请说明理由.

??? ??? ? ?

4

石景山区 2012—2013 学年第一学期期末考试试卷 高二数学(文科) 参考答案与评分标准 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分. 题号 答案 题号 答案 1 2 3 4 5 6

B
7

D
8

A
9

B
10

B
11

A
12

C

D

B

A

C

C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分. (一题两空的题目第一问 1 分,第二问 2 分.第 16 题答对一个给 1 分,但有多答或答错不给分.) 题号 答案 13 14
3 3 ?a , ?R ,如果 a ? b ,则 a ? b b

15

16 ②③

?2 ? i , 2 ?

2, ? 120

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 40 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 5 分) 解: 令 x ? x ? 2 ? 0 ,解得 x ? ?2 , ? 1 ; x
2

令 x ? 3x ? 2 ? 0 ,解得 x ? ?2 , ? ?1 . x
2

?????2 分 ?????3 分 ?????4 分 ?????5 分

所以 当 x ? ?2 或 x ? ?1 时,复数 z 是实数; 当 x ? ?2 且 x ? ?1时,复数 z 是虚数; 当 x ? 1时,复数 z 是纯虚数. 18.(本小题满分 6 分) 解:直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 的斜率为 ?

3 . 4

因为直线 l 与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 的倾斜角相等, 所以 kl = ?

3 . 4

?????1 分

设直线 l 的方程为 y = ? 令 y =0 ,则 x =

3 x +b , 4
?????2 分

4 b. 3

因为直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 24 ,

1 4 2 3 所以 b= ? 6 .

所以 S = |b|?| b|=24 , ?????4 分

所以直线 l 的方程为 y = ?

3 x?6, 4
?????6 分

即 3x+4 y +24=0 或 3x+4 y ? 24=0 .

5

19.(本小题满分 6 分) 解: (Ⅰ)由 ?

? 2 x ? y ? 0 , ? x ? ?2 , 得? ?x ? y ? 2 ? 0 , ? y ? 4 ,
?????3 分

4 所以直线 l1 和直线 l 2 交点 C 的坐标为 ? ?2 , ? .
(Ⅱ)因为圆 C 与直线 l3 相切, 所以圆的半径 r ?

? 6 ? 16 ? 5 3 ?4
2 2

?
2

15 ? 3, 5
2

?????5 分

所以圆 C 的标准方程为 ?x ? 2? ? ? y ? 4? ? 9 . 20.(本小题满分 7 分) 证明: (Ⅰ)连结 OE . 因为 O 是 AC 的中点, E 是 PC 的中点, 所以 OE ∥ AP . 又因为 OE ? 平面 BDE , PA ? 平面 BDE , 所以 PA ∥平面 BDE . (Ⅱ)因为 PO ? 底面 ABCD , 所以 PO ? BD . 又因为 AC ? BD ,且 AC ? PO = O , 所以 BD ? 平面 PAC . 而 BD ? 平面 BDE , 所以平面 PAC ? 平面 BDE .

?????6 分

?????2 分

?????3 分

?????4 分 ?????5 分 ?????6 分

?????7 分

21.(本小题满分 8 分) 证明: (Ⅰ) 因为 ABCD 为菱形,所以 AB=BC , 又 ?ABC ? 60 ,所以 AB=BC =AC .
?

P E

N

因为点 M 为 BC 的中点,所以 BC ? AM , 而 PA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BC .

A

D

B

M

C
?????2 分

又 PA ? AM ? A ,所以 BC ? 平面 AMN . (Ⅱ)因为 S?AMC ?

1 1 3 AM ? CM ? ? 3 ?1 ? , 2 2 2

又 PA ? 底面 ABCD , PA ? 2 ,所以 AN ? 1 .

6

所以三棱锥 N ? AMC 的体积

V?

1 3 3 1 S?AMC ? AN ? ? . ?1 ? 3 2 6 3

?????4 分 ?????5 分

(Ⅲ)在 PD 上存在一点 E ,使得 NM // 平面 ACE . 取 PD 中点 E ,连结 NE , EC , AE . 因为 N , E 分别为 PA , PD 中点, 所以 NE //

1 AD . 2 1 AD , 2
?????6 分

又在菱形 ABCD 中, CM //

所以 NE//MC ,即 MCEN 是平行四边形, 所以 NM // EC . 又 EC ? 平面 ACE , NM ? 平面 ACE , 所以 MN // 平面 ACE , 即在 PD 上存在一点 E ,使得 NM // 平面 ACE , 此时 PE ?

?????7 分

1 PD ? 2 . 2

?????8 分

22.(本小题满分 8 分) 解: (Ⅰ)由题意知 c = 3 , 4a=8 , 所以 a =2 , b=1 , 所以 椭圆的方程为

x2 2 +y =1 . 4

?????2 分

(Ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 k ,则 l 的方程为 y =k (x ? 1) , 因为点 (1, 0) 在椭圆内,所以直线 l 与椭圆有两个交点, k ?R .

? x2 2 ? +y =1 , 2 2 2 2 由? 4 消去 y 得 (4k +1)x ? 8k x+4k ? 4=0 , ? y =k (x ? 1) , ?
y y 设 P (x1 , 1 ) , Q (x2 , 2 ) ,

?????3 分

8k 2 4k 2 ? 4 则由根与系数关系得 x1 +x2 = 2 , x1 x2 = , 4k +1 4k 2 +1
所以 y1 y2 =k (x1 ? 1)(x2 ? 1) ,
2

?????4 分

? ? 则 PE = (m ? x1 , y1 ) , QE = (m ? x2 , y2 ) ,
所以 PE ? QE = (m ? x1 )(m ? x2 )+y1 y2 = m ? m(x1 +x2 )+x1 x2 +y1 y2
2

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

7

= m ? m(x1 +x2 )+x1 x2 +k (x1 ? 1)(x2 ? 1)
2 2

=m ?
2

8k 2 m 4k 2 ? 4 2 4k 2 ? 4 8k 2 + +k ( ? +1) 4k 2 +1 4k 2 +1 4k 2 +1 4k 2 +1
?????5 分



(4m2 ? 8m+1)k 2 +m2 ? 4 4k 2 +1

4m2 ? 8m+1 4 17 要使上式为定值须 = ,解得 m= , 2 m ?4 1 8 ??? ??? ? ? 33 所以 PE ? QE 为定值 . 64
当直线 l 的斜率不存在时 P (1 ,

?????6 分

3 3 ) , Q (1, ? ), 2 2

??? ? 9 3 ??? ? 9 3 17 ? ) , QE = ( , ) , , 可得 PE = ( , 0) 8 2 8 2 8 ??? ??? 81 3 33 ? ? 所以 PE ? QE = ? = , 64 4 64 ??? ??? ? ? 17 33 综上所述当 E ( , 时, PE ? QE 为定值 . 0) 8 64
由E (

?????7 分

?????8 分

(如有不同解法,请参考评分标准酌情给分)

8


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