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备考2014高考数学--高考总复习课标版数学:71 数列的概念与简单表示法(限时作业)详细解析

限时作业 34 数列的概念与简单表示法 一、选择题 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k 等于( A.9 B.8 C.7 解析:由 Sn=n2-9n,可根据 a n ? ?

) D.6

?S1 , n ? 1, ?S n ? S n ?1 , n ? 2.

解得 an=2n-10. 再根据 5<2k-10<8, 解得 7.5<k<9, ∴ k=8. 答案:B 2.数列{an}中,a1=1,对所有 n≥2,都有 a1a2·…·an=n2,则 a3+a5 等于( A.

) D.

25 9
?a1 a 2 a 3 ? 9, ?a1 a 2 ? 4,

B.

25 16

C.

61 16

31 15

解析:由 ? 得 a3 ? 由?

9 . 4

?a1a 2 a3 a 4 a5 ? 25, ?a1a 2 a3 a 4 ? 16,
25 , 16
9 25 61 ? ? . 4 16 16 1 ),则 an 等于( n


得 a5 ?

∴a3 ? a5 ? 答案:C

3.(2008 江西高考,5)在数列{an}中,a1=2,a n+1=an+ln( 1 ? A.2+lnn 解析:∵ a n+1=an+ln( 1 ? ∴ a n+1-an=ln( 1 ? = ln B.2+(n-1)lnn

C.2+nlnn

D.1+n+lnn

1 ), n

n ?1 =ln(n+1)-lnn. n

1 ) n

又 a1=2, ∴ 当 n≥2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-a n-1)=2+lnn, 当 n=1 时,a1=2 适合上式. ∴ an=2+lnn. 答案:A 4.已知数列{an}的通项 a n ?

na (a、b、c 都是正实数),则 an 与 a n+1 的大小关系是( nb ? c

)

A.an>a n+1 解法一:a n+1-an=

B.an<a n+1

C.an=a n+1

D.不能确定

(n ? 1)a na ? (n ? 1)b ? c nb ? c



ac (nb ? c)(nb ? b ? c)

∵ a,b,c 都是正实数, ∴ ac>0,nb+c>0,nb+b+c>0. ∴ a n+1-an>0. ∴ a n+1>an.

a ac (nb ? c) ? ac b ?a? 解法二: a n ? b . nb ? c b b(bn ? c)
∵ a,b,c 是正实数, ∴ 函数 f ( x) ?

a ac ? 在(0,+∞)上单调递增. b b(bx ? c)

∴ 数列{an}是递增数列,即 a n+1>an. 答案:B 5.已知数列{an}的通项 a n ? 是……( A.a10,a9 解析: a n ? ) B.a1,a9 C.a1,a30 D.a9,a30 ,记函数 f ( x) ? 1 ?

n ? 98 n ? 99

(n∈ N*),则数列{an}的前 30 项中,最大项和最小项分别

n ? 99 ? 99 ? 98 n ? 99

? 1?

99 ? 98 n ? 99

99 ? 98 x ? 99

,

函数 f(x)的大致图象如右图所示, ∴ 当 n=10 时,a10 最大, 当 n=9 时,a9 最小. 答案:A

1 (n∈ N*),a2=1,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S21 为( 2 9 11 A. B. C.6 D.10 2 2 1 解析:当 n=1 时,a1+a2= , 2
6.数列{an}满足 an+a n+1=



1 1 ?1 ? ? ; 2 2 1 当 n=2 时,a2+a3= , 2 1 1 ∴a 3 ? ? 1 ? ? ; 2 2 1 当 n=3 时,a3+a4= , 2 1 1 ∴a 4 ? ? ( ? ) ? 1. 2 2
∴a1 ? ∴ 数列{an}为周期数列,2 为一个周期. ∴S 21 ?

9 . 2

答案:A 二、填空题 7.已知数列{an}满足 a1=2, an ?1 ?

1 ? an (n∈ N*),则 a3 的值为________,a1· a2· a3·…·a 2 007 的值为 1 ? an

__________. 解析:根据已知数列{an}的递推公式得

1 ? a1 1? 3 1 ? ? , a4 ? a2 ? ? ?3 , a 3 ? 1? 3 2 1 ? a1
以 4 为周期的周期数列,

1 1 1? 1 3 ? 2 ,…, 故可知数列 {a } 为 2 ? ,a ? n 1 3 5 1 1? 1? 2 3
1?

(a1a2 a3 a4 ) 502 (a1a2 a3 a4 ) 502 故 a1· a2·…·a2 007= ? ?3. a2008 a4
答案: ?

1 2

3

8.(2009 山东威海一模)数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-4n+2,则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________. 解析:据公式法得 n≥2 时,an=Sn-S n-1=(n2-4n+2)-[(n-1)2-4(n-1)+2]=2n-5, 当 n=1 时,S1=a1=-1,故 a n ? ?

?? 1, n ? 1, ?2n ? 5, n ? 2,

据通项公式得|a1|+|a2|+…+|a10|=-(a1+a2)+(a3+a4+…+a10)=S10-2S2=66. 答案:66 9.已知数列{an}是递增数列,且 an=n2+λn,则实数 λ 的范围是__________. 解法一:a n+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ, ∵ 数列{an}是单调递增的, ∴ a n+1-an=2n+1+λ>0 恒成立. 只要 2n+1+λ 的最小值大于 0 即可, ∴ 3+λ>0.∴ λ>-3. 解法二:an=n2+λn 且{an}是单调递增的,

∴?

?
2

?

3 . 2

∴ λ>-3. 答案:λ>-3 10.在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正 三棱锥”形的展品,其中第 1 堆只有一层,就一个球,第 2、3、4、…堆最底层(第一层) 分别按下图所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第 n 堆 第 n 层就放一个乒乓球,以 f(n)表示第 n 堆的乒乓球总数,则 f(3)=_________________;f(n) =_____________________(答案用 n 表示).

解析:易知 f(3)=10. 由题意知 f(2)比 f(1)多最底层:1+2(个), f(3)比 f(2)多最底层:1+2+3(个), f(4)比 f(3)多最底层:1+2+3+4(个), … f(n)比 f(n-1)多最底层:1+2+3+…+n(个),

n( n ? 1) . 2 n(n ? 1)( n ? 2) ∴ 由累加法可得 f (n) ? . 6 n(n ? 1)( n ? 2) 答案:10 6
∴ f(n)-f(n-1)=1+2+3+…+n= 三、解答题 11.已知数列{an}中, a1 ?

1 3 ? 2n ,a n+1-an= n ?1 (n∈ N*). 2 2

(1)求数列{an}中的最大项; (2)求数列{an}的通项公式.

3?2 >0. 4 3 ? 2n ∴ a2>a1,当 n≥2 时,a n+1-an= n ?1 <0, 2
解:(1)当 n=1 时,a2-a1= ∴ a n+1<an. 故当 n≥2 时,数列{an}是递减数列. 综上所述,对一切 n∈ N*都有 a2≥an. ∴ 数列{an}中最大项为 a2. (2)由 a1 ?

1 3 ? 2n ,a n+1-an= n ?1 (n∈ N*), 2 2

当 n≥2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-1-an-2)+(an-a n-1)=

1 3 ? 2 ?1 3 ? 2 ? 2 3 ? 2 ? 3 3 ? 2 ? (n ? 1) ? ? ? ??? ,① 2 3 4 2 2 2 2 2n 1 1 3 ? 2 ?1 3 ? 2 ? 2 3 ? 2 ? 3 3 ? 2 ? (n ? 2) 3 ? 2 ? (n ? 1) an ? 2 ? ? ? ??? ? ,② 3 4 5 2 2 2 2 2 2n 2 n ?1

1 1 1 1 1 5 ? 2n a n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 5 ? 2n 2n ? 1 ? ∴a n ? 1 ? ( ? 2 ? ? ? n ? 2 ) ? . 2 2 2 2n 2n 1 又 n=1 时,a1= 适合上式, 2 2n ? 1 ∴an ? (n∈ N*). n 2
① -② ,得 12.在数列{an}中,a1=2,a n+1=4an-3n+1,n∈ N*. (1)证明数列{an-n}是等比数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (3)证明不等式 S n+1≤4Sn 对任意 n∈ N*皆成立. (1)证明:由题设 a n+1=4an-3n+1,得 a n+1-(n+1)=4(an-n),n∈ N*. 又 a1-1=1,所以数列{an-n}是首项为 1,且公比为 4 的等比数列. (2)解:由(1)可知 an-n=4 n-1,于是数列{an}的通项公式为 an=4 n-1+n, 所以数列{an}的前 n 项和 S n ? (3)证明:对任意的 n∈ N*,

4 n ? 1 n(n ? 1) ? . 3 2

4 n?1 ? 1 (n ? 1)(n ? 2) 4 n ? 1 n(n ? 1) 1 ? ? 4[ ? ] ? ? (3n 2 ? n ? 4) ? 0 , S n+1-4Sn= 3 2 3 2 2
所以不等式 S n+1≤4Sn 对任意 n∈ N*皆成立.


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