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5-1不定积分的概念与性质_图文

第一节

不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、基本积分表 四、不定积分的性质 五、小结 思考题

一、原函数与不定积分的概念
I 内, 定义: 可导函数F ( x ) 的 定义 如果在区间 导函数为 f ( x ) , 即?x ? I ,都有 F ?( x ) ? f ( x )
或 dF ( x ) ? f ( x )dx , 那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x )

或 f ( x )dx 在区间 I 内一个原函数. ? ? ? 例 sin x ? cos x sin x 是cos x 的一个原函数.

1 ?ln x ? ? ( x ? 0) x 1 ln x 是 在区间(0,?? )内的一个原函数. x

?

定理 原函数存在定理: I 内连续, 如果函数 f ( x ) 在区间 那么在区间I 内存在可导函数 F ( x ) , 使?x ? I ,都有F ?( x ) ? f ( x ) .

简言之:连续函数一定有原函数.
问题: (1) 原函数是否唯一? (2) 若不唯一它们之间有什么联系? ? ? 例 ?sin x ? ? cos x ?sin x ? C ? ? cos x ( C为任意常数)

关于原函数的说明:
(1)若 F ?( x ) ? f ( x ) ,则对于任意常数 C ,

F ( x ) ? C 都是 f ( x ) 的原函数. (2)若 F ( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数,
则 F ( x ) ? G( x ) ? C ( C 为任意常数)
证 ?

? F ?( x ) ? G ?( x ) ? f ( x) ? f ( x) ? 0 ? F ( x ) ? G ( x ) ? C ( C为任意常数)

?F ( x ) ? G ( x )?

?

说明F ? x ? ? c是f ? x ?的全部原函数 .

定义 不定积分(indefinite integral)的定义:

在区间I 内, 函数 f ( x ) 的带有任意

I 内的 常数项的原函数 称为 f ( x ) 在区间
不定积分,记为? f ( x )dx .

积 被 分 积 号 函 数

x ? F ( x) ? C ? f ( x )d被
积 表 达 式 积 原 分 函 变 数 量

任 意 常 数

例1 求 ? x d x .
5

6 ?x ? x 5 5 解 ? ? ? ? x , ? ? x dx ? ? C. 6 ? 6?
6

?

1 例2 求 ? dx . 2 1? x ? 解 ? ?arctan x ? ?

1 , 2 1? x

1 ? ? dx ? arctan x ? C . 2 1? x

二、不定积分的几何意义
函数 f ( x ) 的原函数的图形称为 f ( x ) 的积分曲线.

显然,求不定积分得到一积分曲线族, 在同一 横坐标

x ? x0 处,任一曲线的切线有相同的斜率.
y

0

x0

x

三、 基本积分表
? ?1 ?x ? x 实例 ? ? ? x ? ? ? x ? dx ? ? C. ? ?1 ? ? ? 1? ( ? ? ?1)

? ?1

?

启示 能否根据求导公式得出积分公式? 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的, 因此可以根据求导公式得出积分公式.

基 本 ( 2) 积 分 (3) 表

(1)

C ( k 是常数); ? kdx ? kx ? ? x ? ? x dx ? ? ? 1 ? C ( ? ? ?1);
?1

dx ? x ? ln x ? C; dx ? ln x ? C , 说明: x ? 0, ? ? ? x 1 1 ? x ? 0, [ln(? x )] ? ( ? x )? ? , ?x x dx ?? ? ln( ? x ) ? C , ? dx ? ln | x | ?C , ?x x

1 arctan x ? C ; ( 4) ? d x ? 1? x2 1 (5) ? dx ? arcsin x ? C ; 1? x2 (6) ? cos xdx ? sin x ? C ;
(7)

(8)

? sin xdx ?? cos x ? C ; dx ? cos x ? ? sec xdx ? tan x ? C ;
2

2

dx (9) ? 2 ? ? csc 2 xdx ?? cot x ? C ; sin x

(10) (11)

sec x ? C ; sec x tan x d x ? ?

(12) (13)

? csc x cot xdx ? ? csc x ? C ; ? e dx ? e ? C ; a ? a dx ? ln a ? C ;
x
x
x

x

2 x x dx . 例4 求积分 ?



2 x ? xdx ? ? x dx
7 x 2 2 ? ? C ? x ? C. 5 7 ?1 2

5 2

5 ?1 2

? ?1 x 根据积分公式 ( 2)? x ? dx ? ?C ? ?1

四、 不定积分的性质
(1)


? [ f ( x ) ? g( x )]dx ? ? f ( x )dx ? ? g( x )dx;
? f ( x )dx ? g( x )dx ? ? ?? ? ? ? ? ? ? f ( x )dx ? ? ? ? g( x )dx ?? f ( x ) ? g( x ). ? ? ? ? ? 等式成立. ?

(此性质可推广到有限多个函数之和的情况)

( 2)

? kf ( x )dx ? k ? f ( x )dx.

(k 是常数,k ? 0 )

3 2 ? )dx . 例5 求积分 ? ( 2 2 1? x 1? x 3 2 ? )dx 解 ?( 2 2 1? x 1? x 1 1 ? 3? dx ? 2? dx 2 1? x 1? x2
? 3 arctan x ? 2 arcsin x ? C

1? x ? x dx . 例6 求积分 ? 2 x(1 ? x )
2



1? x ? x2 x ? (1 ? x 2 ) ? x(1 ? x 2 ) dx ? ? x(1 ? x 2 ) dx
1? ? 1 1 1 ? ?? ? ?dx ? ? dx ? ? dx 2 2 x? x 1? x ? 1? x

? arctanx ? ln x ? C.

1? 2x dx . 例7 求积分 ? 2 2 x (1 ? x )
2



1? 2x 1? x2 ? x2 ? x 2 (1 ? x 2 )dx ? ? x 2 (1 ? x 2 ) dx
2

1 1 ? ? 2 dx ? ? dx 2 x 1? x 1 ? ? ? arctan x ? C . x

1 dx . 例8 求积分 ? 1 ? cos 2 x


1 1 ? 1 ? cos 2 x dx ? ? 1 ? 2 cos2 x ? 1 dx 1 1 1 ? ? dx? tan x ? C . 2 2 cos x 2

说明: 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形,才能使用基本积分表.

化积分为代数和的积分

例 9

已知一曲线 y ? f ( x ) 在点 ( x , f ( x )) 处的
2

切线斜率为 sec x ? sin x ,且此曲线与 y 轴的交 点为(0,5),求此曲线的方程.


dy ? sec2 x ? sin x , dx ? y ? ? ? sec2 x ? sin x ? dx
? tan x ? cos x ? C ,

? y(0) ? 5,

? C ? 6,

所求曲线方程为 y ? tan x ? cos x ? 6.

五、 小结
F ?( x ) ? f ( x ) 原函数的概念:

不定积分的概念: ? f ( x )dx ? F ( x ) ? C

基本积分表(1)~(13)
求微分与求积分的互逆关系

不定积分的性质

思考题
?1, x ? 0 ? 符号函数 f ( x ) ? sgn x ? ?0, x ? 0 ? ? 1, x ? 0 ?
在 ( ?? , ? ? ) 内是否存在原函数?为什么?

思考题解答
不存在.

?x ? C, x ? 0 假设有原函数 F ( x ) F ( x ) ? ? x?0 ?C , ?? x ? C , x ? 0 ?
但 F ( x ) 在x ? 0 处不可微,

故假设错误

所以 f ( x ) 在 ( ?? , ? ? ) 内不存在原函数. 结论 每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.

练习题
一、 填空题: 1. 一个已知的连续函数,有______个原函数,其中 任意两个的差是一个______; 2. f ( x )的________称为 f ( x )的不定积分; 3. 把 f ( x ) 的一个原函数 F ( x ) 的图形叫做函数 f ( x ) 的________,它的方程是 y ? F ( x ),这样不定积 ? f ( x )dx 在几何上就表示________,它的方程是

y ? F ( x) ? C ; 4. 由 F ' ( x ) ? f ( x )可知, 在积分曲线族 y ? F ( x ) ? C ( C是任意常数 ) 上横坐标相同的点处作切线,这 些切线彼此是______的; 5. 若 f ( x )在某区间上______, 则在该区间上 f ( x )的 原函数一定存在;

6. ? x x dx ? ______________________; dx 7. ? 2 ? _______________________; x x 8. ? ( x 2 ? 3 x ? 2)dx ? _________________; 9. 10.
3 ( x ? 1 )( x ? 1)dx ? _____________; ?

?

(1 ? x )2 x

dx ? ____________________ .

二、 求下列不定积分:

x2 1. ? dx 2 1? x

2 ? 3x ? 5 ? 2 x 2. ? dx 3x

x 3. ? cos dx 4. 2 1 5. ? (1 ? 2 ) x x dx x x 2 ? sin 2 x 2 6. ? sec xdx 2 x ?1
2

cos 2 x ? cos2 x sin2 x dx

三、一曲线通过点( e 2 , 3 ) ,且在任一点处的切线的斜 率等于该点横坐标的倒数,求该曲线的方程 .

练习题答案
一、1. 无穷多,常数; 2. 全体原函数; 3. 积分曲线,积分曲线族; 4. 平行; 5. 连续; 3 5 2 2 2 ?2 6. x ? C ; 7. ? x ? C ; 3 5 x3 3 2 8. ? x ? 2x ? C ; 3 2 5 3 x3 2 2 2 2 9. ? x ? x ? x ? C; 3 5 3 3 5 4 2 10. 2 x ? x 2 ? x 2 ? C . 3 5

二、1.

x ? arctan x ? C ;

x ? sin x ?C; 3. 2 4( x 2 ? 7) 5. ? C; 4 7 x

2 x 5( ) 3 2. 2 x ? ?C; ln 2 ? ln 3

4. ? (cot x ? tan x ) ? C ;
6. tan x ? arc cot x ? C .

三、 y ? ln x ? C .


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