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河北工业控制工程 (3)


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控制工程基础
魏 智
地址:教I-107/209 电话:60201496/4224,13920466201

电邮:weiwhizz@hebut.edu.cn

《控制工程基础》

主要内容(教材)
? ? ? ?

? ? ? ?

第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章

绪论 > 控制系统的数学模型 > 频率特性 > 控制系统的稳定性分析 > 控制系统的时间响应及稳态误差分析 > 控制系统的根轨迹分析 > 控制系统的综合与校正 > 离散控制系统分析与校正 >

第五章 控制系统的时间响应及 稳态误差分析
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 概述 < 一阶系统的时间响应 < 二阶系统的时间响应 < 二阶系统的性能指标分析 < 高阶系统的时间响应 < 稳态误差 < 循序渐进学习示例:直流电动机调速系统 < 利用MATLAB分析控制系统的特点及性能 <

第五章习题
P.137:2、3、4(1,2)、6

第一节 概述
? 一、时域分析法 ? 二、时间响应

>

> ? 三、典型输入信号 >
1.选择典型输入信号的原则 2.常用的典型输入信号

一、时域分析法
?

时域分析法是研究控制系统在输入信号 作用下,输出响应随时间变化的过程以 及与输入信号相互关系的一种系统性能 分析方法。由于整个分析过程是在时域 中进行,因此比频率响应法更具有直观 明了的特点,也便于与机械、力学、电 学等学科的相关概念衔接。

二、时间响应(1)
? 控制系统的时间响应由瞬态响应和稳 态响应两部分组成。 ? 瞬态响应是指在输入信号作用下,系 统的输出量从初始状态到达一个新的 稳定状态的响应过程,又叫作过渡过 程。 ? 稳态响应则是指时间趋于无穷大时系 统的输出响应。

二、时间响应(2)
? 系统产生瞬态响应的原因是由于实际物 理系统总包含一些储能元件,所以当输 入信号作用于系统时,系统的输出量不 能立即跟随输入信号变化,而是在系统 达到稳态响应之前表现为逐渐趋向稳态 响应的变化过程。 ? 例如,二阶系统对单位阶跃输入的瞬态 响应过程可具有图5-1所示的形式。

图5-1 二阶系统的单位阶跃响应

三、典型输入信号
?

由于系统的输入信号往往具有一定随机 性,无法预先用确定的解析方法表示, 在分析系统输出与输入量之间的变化 (依赖)关系时,采用一些典型的输入 信号对系统进行分析或系统设计。 1. 选择典型输入信号的原则 2. 常用的典型输入信号 > >

1. 选择典型输入信号的原则
?

在分析系统的输出量随输入量的变化过程时,遇到的实 际问题是系统的输入信号具有随机的性质,预先无法知道 并且不能以解析的方法表示。所以,经常采用一些典型的 输入信号来分析和设计系统。典型信号的选取原则为:
?1)

反映最恶劣的工作情况。如果在所选择的信号作用下系 统能正常工作的话,那么系统在所有可能输入信号作用下都 能正常工作。 ?2) 反映实际情况。例如,突然作用于系统的一个扰动量用 阶跃输入信号描述较为合适,而如果系统的输入量是随时间 而逐渐变化的,用斜坡输入信号比较合适.同样,当系统的 输入量是一个冲击量时,采用脉冲输入信号最为合适。 ?3) 在数学上和实验中比较容易处理和获得。

2. 常用的典型输入信号
在时域分析中,常用的典型输入信号有脉冲信号、 阶跃信号、斜坡信号、抛物线信号。它们都是简单 的时间函数,进行数学分析和实验工作都比较容 易.但究竟采用哪种典型输入信号则取决于系统最 常见的工作状态。
? ? ?

脉冲信号 阶跃信号 斜坡信号

? ? ?

抛物线信号 正弦信号 余弦信号

脉冲信号
?

脉冲信号如图5-2所示, 常表示为:
xi (t) = 并且

?

0 ?

t ?0 t ?0

(5-1)

?

?

??

xi (t ) dt = A

式中,A 为脉冲信号的强度,当 A=1 时的脉 冲信号称作单位脉冲信号,并用δ (t) 表示。

阶跃信号
?

阶跃信号如图5-3所示, 常表示为:

xi (t) =

?

0 K

t ?0 t ?0

(5-2)

式中, K 表示阶跃信号幅度, 当 K=1 时的阶跃 信号称作单位阶跃信号,常表示为 u(t)=1(t)。

斜坡信号
?

斜坡信号如图5-4所示, 表示为:

xi (t) = {

0 Kt

t ?0 t ?0

(5-3)

式中,K 表示斜坡信号的位置梯度—速度,当 K=1 时的 斜坡信号称作单位斜坡信号,常表示为 v(t)=1。

抛物线信号
?

抛物线信号如图5-5所示, 表示为:

xi (t) ={

0 Kt 2

t ?0 t ?0

(5-4)

1 式中, K 表示信号的加速度能力, 当 K= 时的抛物线 2 1 2 信号称作单位加速度信号, 常表示为 a(t)= t 。 2

第二节 一阶系统的时间响应
?

一阶系统有时也叫一阶惯性系统,它的传递函 数为:

X o (s) 1 G(s) = = Ts ? 1 X i (s)

(5-5)

? 一阶系统的单位阶跃响应

> ? 一阶系统的单位斜坡响应 > ? 一阶系统的单位脉冲响应 >

一阶系统的单位阶跃响应(1)
1 xi (t)=1(t),Xi(s) = s 代入式(5-5)得

1 1 Xo(s)= Ts ? 1 s 1 T = (5-6) s Ts ? 1

取上式的拉氏反变换得输出 -t/T xo (t)= 1 – e (t ≥ 0)

(5-7)

一阶系统的单位阶跃响应(2)
从图 5-6 可以看出,输出量 xo (t)的初始值为零,而稳 态值为 1。 这一指数曲线 xo (t)的重要特性之一是当 t = T 时, xo (t) = 0.632,或者说响应 xo (t)达到稳态值的 63.2%。关 于这点,将 t = T 代入式(5-7)可以很容易看出来,即 xo (t) = 1 – e-1 = 0.632 而 T 是时间常数,T 越小,响应速度越快。
1 这一指数曲线的另一个重要特点是在 t=0 那一点的斜率等于 , T dxo (t ) 1 -t/T 1 即 │t=0 = e │t=0 = T T dt

一阶系统的单位阶跃响应(3)
定义一阶系统的响应曲线达到稳态值的 63.2%所需要 的时间为时间常数 T 。也可以说,如果响应曲线以 t=0 时的初始速度变化,达到稳态值所需的时间为 T 。

由式(5-7)可知 xo(T)= 0.632;xo (2T)=0.865;xo(3T)= 0.95; xo (4T)=0.982;xo (5T)=0.993。
在实际工作中,根据不同要求,当输出量达到稳态 值的 95%或 98%,即响应时间经过 3 到 4 倍的时 间常数时,就认为瞬态过程结束从而达到稳态值了。

一阶系统的单位斜坡响应(1)
1 xi (t) = t,Xi(s) = 2 s
根据式(5-5),输出量的拉氏变换为 1 1 1/ T Xo(s) = = 2 2 Ts ? 1 s s (s ? 1 / T )

1 T T 写为:Xo(s) = 2 - + s s s ? 1/ T

(5-8)

对上式取拉氏反变换,得 -t∕T xo (t) = t – T +Te (t≥0)

(5-9)

当 t→∞ 时,xo (t) = t – T = xi (t) – T = xo(∞) 即 xi (t) - xo(∞) = T

一阶系统的单位斜坡响应(2)
由图 5-7 可 见,一阶系统 能跟踪一个斜 坡输入信号, 但有一定的误 差。以后,我 们会讲到, 当t →∞ 时,这个 误差叫 稳态误 差。

一阶系统的单位脉冲响应(1)
x i (t) = ?(t),Xi(s) = 1
据式(5-5)得 1 Xo (s) = Ts ? 1 (5-10)

式(5-10)的拉氏反变换为 1 -t/T xo (t) = e (t≥0) T
?

(5-11)

可以看出,系统 单位脉冲响应的 象函数相当于系 统的传递函数。 实际上不仅一阶 系统是这样,任 何线性系统都是 如此。

上式所代表的响应曲线如图5-8所示。

一阶系统的单位脉冲响应(2)
xo (t)
1 -t/T = e T

(t≥0)

(5-11)

上面对一阶系统的分析结果表明:
当系统的输入量为单位斜坡函数时, 系统的输 出量为 -t∕T xo (t) = t – T +Te (t≥0) 当系统的输入量为单位阶跃函数时,即为 单位斜坡函数的导数时,系统的输出量为 -t/T xo (t) = 1 – e ( t≥0 ) 当系统的输入量为单位脉冲函数时,即为 单位阶跃函数的导数时,系统的输出量为 1 -t/T xo (t) = e (t≥0) T

小 结
?

?

比较一下系统对上述三种输入信号的响应, 可以清楚地看出: 系统对输入信号导数的响应等于对原输入 信号响应的导数,而系统对输入信号积分 的响应等于对原输入信号响应的积分,积 分常数则由零初始条件确定。这是线性定 常系统的一个重要特性.线性时变系统和 非线性系统都不具备这一特性。

第三节 二阶系统的时间响应
?

评价二阶系统的性能,可对系统输入不同信号进 行分析。最常用的输入信号是单位阶跃信号。
(5-12)

2 X o (s) ?n 1 G B (s) = = 2 2 = 2 2 X i ( s ) T s ? 2?Ts ? 1 s ? 2?? n s ? ? n

式中,T—时间常数,ω n—无阻尼自然频率(1/秒), ζ —阻尼比,?=ζ ω n — 衰减系数。

式(5-12)所表示的二阶系统的特性,完全可用ζ 和ω 这两个特征量加以描述.下面分别讨论ζ 为不同值 时的单位阶跃响应和脉冲响应。

n

二阶系统的单位阶跃响应
当 = =
1 x i (t) = 1(t) 时,Xi(s) = ,则 s
2 ?n

2 ?n Xo(s)= 2 s(s 2 ? 2?? n s ? ? n )

s ( s ? ?? n ? ? n ? 2 ? 1)( s ? ?? n ? ? n ? 2 ? 1)
2 ?n

s(s ? ?? n ? j? d )(s ? ?? n ? j? d )
n

(5-13)

式中,ω d = ω

1?? 2

ζ =1:临界阻尼; ζ >1;过阻尼; ζ <1:欠阻尼; ζ =0:无阻尼。

单位脉冲响应

临界阻尼(ζ =1)的情况(1)
2 ?n 这时式(5-13)变成:Xo(s) = s( s ? ? n ) 2

(5-14)

展开成为 Xo(s)= 1 ? ? 1 ? ? ?n
s s ? ?n

( s ? ?n )

2

(5-16)

所以 xo(t)=1- ? n t e ?? nt - e ?? nt =1- e ?? nt (1+ ? n t) (t ? 0 ) (5-17) 图 5-9 表示了二阶系统在ζ =1 时的单位阶跃响应曲线。

过阻尼(ζ >1)的情况(1)
将式(5-13)展成部分分式为
a3 a1 a2 Xo(s)= ? ? 2 s s ? ?? n ? ? n ? ? 1 s ? ?? n ? ? n ? 2 ? 1
(5-18)

其 中 , a1=1 , a2=[2( ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ? 1)] ?1 , a3=[2( ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ? 1)] ?1

所以 xo(t)=1+

1

2(? 2 ? ? ? 2 ? 1 ? 1) 1 ?(? ? ? 2 ?1 )? nt + e 2(? 2 ? ? ? 2 ? 1 ? 1)

e

?(? ? ? 2 ?1 )? nt

(5-20)

过阻尼(ζ >1)的情况(2)
图5-10 表示了 二阶系统在ζ >1时的单位阶 跃响应曲线。

欠阻尼(0 <ζ <1)的情况(1)
将式(5-13)展成部分分式 s ? ?? n ?? n 1 分解成: Xo(s)= ? (5-22) ? 2 2 2 2 s (s ? ?? n ) ? ? d (s ? ?? n ) ? ? d
s ? ?? n 1 ??? nt 拉氏反变换:L-1[ ]=1,L-1[ ]= e cos?d t 2 2 s ( s ? ?? n ) ? ? d

L-1[

?? n ? ??? t e sin ? d t ]= 2 2 2 ( s ? ?? n ) ? ? d 1??
n

xo(t)=1-

e

??? n t

1?? 2

sin(? d t ? tg

?1

1??

2

?

)

(5-23)

欠阻尼(0 <ζ <1)的情况(2)
xo(t)=1e ??? nt 1??
2

sin(? d t ? tg ?1

1?? 2

?

) (5-23)

二阶系统在欠阻 尼时,单位阶跃 响应以阻尼自然 频率ω d 振荡。 ? 图5-11为ζ = 0.3的 二阶系统单位阶 跃响应曲线。
?

无阻尼(ζ =0)的情况
将 ζ = 0 代入式 (5-23) 便可得到零阻尼情况下 的单位阶跃响应 。

xo(t) = 1 – cosω nt

(5-24)

因 ω n是系统无阻尼自然频率,所以,在无 阻尼情况下,系统的单位阶跃响应为自 然频率的等幅振荡—— 谐振动。

单位阶跃响应曲线
?

图 5-12 画出了一族二阶系统随 ζ 变化的单 位阶跃响应曲线。可以看出随着ζ 值的增 加,振荡周期增大,即ω d 减小。当ζ ≥ 1 时,系统将不再振荡。

二阶系统单位脉冲响应(1)
?

二阶系统的性能也常用它的单位脉冲响应 来评价。可由拉氏(反)变换或单位阶跃响应 的微分求得其事件响应:
?n
1??
2

0<ζ <1 时,xo(t)=

e ??? nt sin( ω n 1 - ? 2 )t

(5-25) (5-26)

ζ =1 时,xo(t)= ?n 2te??nt ?n ζ >1 时,xo(t)= [e ?(? ? 2 ? 2 ?1 ζ =0 时,xo(t) = 1+ω nsinω nt

? 2 ?1)? nt

?e

?(? ? ? 2 ?1)? nt

]

(5-27)

二阶系统单位脉冲响应(2)
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 2 4 6 8 10 12 14

衰减振荡曲线及包络线

二阶系统单位脉冲响应(3)
1 0.8 0.6 0.4 0.2

Xo(t)

0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 2 4 6 t 8 10 12

不同 阻尼下的二阶系统脉冲响应

第四节 二阶系统的性能指标分析
?

?

一、瞬态响应指标分析 1、瞬态响应指标 > 2、二阶系统瞬态响应指标分析 > 二 、二阶 系统时 域指标 与频域指标的 关系 >

1. 瞬态响应指标
?

?

?

评价控制系统动态特性常以时间域的 几个特征量来表示,这些特征量叫瞬 态响应指标或动态性能指标。 通常,控制系统的动态性能指标是以 系统对单位阶跃输入量的瞬态响应形 式给出的。 下面,结合图5-13给出这些性能指标的 定义。

tr

(1)延迟时间td
响应曲线第一次达到稳态值的一半所需要的时间,叫 延迟时间。

(2)上升时间tr
响应曲线从0上升到稳态值的100%所需要的 时间, 叫上升时间。 ? 对于过阻尼 系统,通常 采用从10%上 升到90%所需 的时间。
?

(3)峰值时间 tp
?响应曲线达到第一个峰值所需要的时 间,叫峰值时间。

(4)最大超调量Mp或 σ %
输出量的最大峰值与稳态值之差叫 最大超调量。 Mp = xo(tp) – xo(∞) (5-28) ? 若用百分数表示 最大超调量, 它的定义是:
?
σ % =
xo (t p ) - xo (?) xo (?)
×100%

(5)调整时间 ts
?

在响应曲线的稳态值上下作一个允许误差范围 (通常取稳态值的±5%或土2%), 响应曲线达到 并永远保持在 这一允许误差 范围内所需要 的时间,叫

调整时间。

(6)振荡次数N
?

在0 ≦ t ≦ ts时间内,响应曲线穿越稳态 值线次数的一半定义为振荡次数 。

2、二阶系统瞬态响应指标分析
下面分析欠阻尼( 0<ζ <1) 二阶系统单位 阶跃输入时的响应指标。 ? (1)上升时间tr ? (2)峰值时间tp ? (3)最大超调量Mp和σ % ? (4)调整时间 ts ? (5)振荡次数N

(1)上升时间tr 的(1)
根据式(5-23),令 xo(tr) = 1,则:
1=1- e
??? ntr

(cos? d t r ?

?
1?? 2
e ??? nt

sin ?d tr ) (5-30)

因为 e

??? nt r

≠0,所以由上式可得:
? xo(t)=1sin ? 1? ?d t r = 0
2

cos ? d t r ?

sin(? d t ? tg ?1

1?? 2

1?? 2

? 整理得

) (5-23)

衰减系数

tg ? d t r =-

1?? 2

?

? n 1 ? ? 2 ?d ==? n? ?

xo(t)=1-

e ??? nt 1??
2

sin(? d t ? tg

?1

1?? 2

?

) (5-23)

(1)上升时间tr (2)
由图 5-13 知,0< ? d t r <π , 故取

?d ),求出: ? d t r =π -tg ( ?
-1

?d tr= [π - tg ( )] ? ? ?d
1
-1

? ? tg ?1

1? ? 2

? ?n 1 ? ? 2

分析上式可知,当阻尼比固定,固有频率增加时, 上升时间减小,响应速度快。当固有频率固定,阻 尼比增加时,上升时间增加,响应速度变慢。

(1)上升时间tr (3)

(2)峰值时间tp (1)
式(5-23)对时间求导数,令其等于零,得:
sin ? d t p ?

?n
1??
2

e

??? nt p

=0

只有 sin ? d t p =0,即 ? d t p =0, ? ,2? ,3? ??n? 上式才成立。

由于峰值时间对应于第一个峰值,所以取
e ??? nt
?1

? ? sin(? t ? tg xo(t )=1) (5-23) ? 于是 tp = = (5-32) 1?? ? d ?n 1 ? ? 2 分析式(5-32)可 知,当阻尼比固定,固有频率增加时,峰值时间减小 ,响应速度快。当固有频率固定,阻尼比增加时,峰 值时间增加,响应速度变慢。
2
d

1?? 2

?d t p ? ?

(2)峰值时间tp (2)

(3)最大超调量Mp(σ %)(1)
? 最大超调量发生在峰值时间 tp = , 所以根据式(5-23) ,可求得 ?d

Mp=xo(tp)-1= e

?(? / 1?? 2 )?

(5-33)
?
nt

?% =e ×100% (5-35) 式( 5-33 )是在输入信号为单位阶跃输入,且振 1?? e ?? sin(? t ? tg xo(t)=1) (5-23) ? 荡环节的放大系数K=1的情况下推导出来的 Mp 的 1?? 计算公式。若输入信号为非单位阶跃输入 xi (t ) ? A
?1 2

?(? / 1?? 2 )?

2

d

振荡环节的放大系数为K,则最大超调量为:

M p ? KAe

?(? / 1?? 2 )?

(是? 的函数)

(3)最大超调量Mp(σ %)(2)

如果 ζ 在 0.4~0.8之间,则最大超调 量(σ %)在 25%~2.5%之间。

(4)调整时间 ts (1)
采用 2 %的允许稳态误差时,调整时间 计算式为 :
4 ? ln ts ? 1 1??
2

(5-36a)

?? n 在阻尼比较小的情况下,调整时间的近似计算式为:

4 4 44 ′ ts = 4Tts = = 4T = = = (5-35) (5-35) (5-36b) ? ?? n ??? n


(4)调整时间 ts (2)
采用 5 %的允许稳态误差时,调整时间 计算式为 : 1 3 ? ln 1?? 2 (5-37a) ts ? ?? n
在阻尼比较小的情况下,调整时间的近似计算式为:
ts ? 3 ? 3

?? n

?

(5-37b)

ζ=0.3
?

ωn=1

ωn=4 ωn=7 ωn=10

(4)调整时间 ts (3)
? 因为ζ 通常是根据对最大超调量的要求来确 定的,所以ts主要根据ω n确定。这就说明, 在不改变最大超调量的情况下,通过调整无 阻尼自然频率,可以改变瞬态响应时间。 ? ω n 越大,系统的响应越快,即ts、tr越小。 ? 为了限制最大超调量,并使调整时间较短, 阻尼比不应该太小。 ? 最佳阻尼比ζ =0.707。

ζ=0.3
?

ωn=1

ωn=4 ωn=7 ωn=10

(5)振荡次数N
ts 定义:N = Td 2? 式中,Td = 为系统的有阻尼振荡周期。 ?d

当采用 2%允许误差时 ts =
当采用 5%允许误差时 ts =

4

?? n

,N =

2 1??

2

??
??

3

?? n

,N=

1 .5 1 ? ? 2

例 5-1:设一个具有速度反馈的随动系统,方框图 5-15。 若使系统的最大超调量等于 0.2,峰值时间等于 1 秒; 试确定 K 和 Kh 的数值,并且确定此时系统的上升时间 tr 和调整时间 ts。
2 X o (s) ?n K G B (s) = = 2 = 2 (标准格式) 2 X i ( s ) s ? (1 ? KK h ) s ? K s ? 2?? n s ? ? n

由 Mp= e

?(? / 1?? 2 )?

??

=0.2 得

Xi(s) -

E(s)

K s( s ? 1)

Xo(s)

1?? 2

=1.61, ? ? 0.456

1 ? Kh s

由 tp=1,得: ?d ? ? (弧度/秒), ? n =
2 2

?d
1??
2
2

=3.54(弧度/秒)
2

所以:K= ? n =3.54 =12.5(弧度 /秒 )

2?? n ? 1 2?? n ? 1 ? K h K , 得:K h ? ? 0.178 K 1 -1 ? d 上升时间为:tr= [ ? - tg ()]=0.66(秒) ? ?d

对于 2%的允许误差范围调整时间为 4 ts = =2.48(秒)

?? n

对于 5%的允许误差范围调整时间为 3 ts = =1.86(秒)

?? n

例 5-2:一机械振动系统,当有 300N 的力(阶跃输入)作用于 系统时,系统中的质量块作如图 5-16(b)所示运动。试根据这 个响应曲线,确定质量 m、粘性阻尼系数 c 和弹簧刚度 k。

dx d 2x 解:系统的微分方程为:m + c + kx = p dt dt 1 X ( s) 传递函数 G(s)= = 2 P( s) ms ? cs ? k

300 终值定理 p=300N,P(s)= ,X(s) = s

1 300 2 ms ? cs ? k s

300 x(?) ? lim sX ( s ) ? ? 1(cm ) ,k=300(N/cm) s ?0 k
?% ?e
? ?? ? ? 1?? 2 ? ? ?? ? ?

? 100 %

根据图 5-16,σ % = 9.5%,则ζ = 0.6,所以 ? ? ? tp = = = ? d ? 1 ? ? 2 0.8? n
n

由图知 tp=2 秒,所以

? ω n= =1.96(r/s) 0.8t p

ωn2 =k/m, m= 78.09(kg), 根据系统的传递函数 2ζωn=c/m,所以, c=2ζωnm = 183.7(Ns/cm)

二阶系统时域指标与频域指标的关系(1)
二阶系统的闭环传递函数为
2 ?n G B (s) = 2 2 s ? 2?? n s ? ? n

闭环频率特性为 G B (j ? ) =

1

? ? (1 ? 2 ) ? j 2? ?n ?n
2

=M e j?

(5-40)

式中 M=

1

2?

? ?n ?2
2 ?n

?2 2 ? 2 (1 ? 2 ) ? (2? ) ?n ?n

, ? ? ?tg ?1
1?

二阶系统时域指标与频域指标的关系(2)
dM 令 =0,可求得谐振频率 ? r ? ? n 1 ? 2? d? 1 而谐振峰值 Mr= (0 ? ? ? 0.707) 2 2? 1 ? ?
2

(5-40) (5-41)

当 0 <ζ < 0.707 时,谐振频率 ? r ? ? n 1 ? 2? 2 小于有阻尼
1 ? ? 2 ;当 ζ = 0 时,ω r=ω d=ω n;而 当ζ >0.707 时,不产生谐振峰值。

自然频率ω d =ω

n

另外,在分析二阶系统的瞬态响应时,可得超调量 Mp= e 。为了便于比较,把 Mr 与ζ 的关系和 Mp 与ζ 的关系曲线画在同一张图上(见图 5-17) 。
?(? / 1?? 2 )?

二阶系统时域指标与频域指标的关系(3)

二阶系统时域指标与频域指标的关系(4)
下面讨论频率域动态性能指标中相位裕量γ 与ζ 的关系。

二阶系统可看成一个如图所示 的前向通路传递函数为 G(s)的 单位反馈系统,其中:
2 ?n G(s) = ,∣G(jω )∣= s( s ? 2?? n )
2 ?n

(?? 2 ) 2 ? (2?? n? ) 2

令∣G(jω )∣= 1,求得波德图上幅值交界频率为

ω c= ω

n

1 ? 4? 4 ? 2? 2

二阶系统时域指标与频域指标的关系(5)

上式所表示的 ζ

和 γ 的关系可用图 5-18 5-19 表示。

二阶系统的时域指标和频域指标的关系(6)
(1)时域指标 tr、tp、t s 、Mp(或б %)等和频域指标

γ 、Mr、ω r 等都与ζ 有关。
(2)相位裕量 γ 和阻尼比 ζ 直接相关。 由图 5-19 可知, 当相位裕量要求γ 为 30o~60o 时,相当于 ζ 为 0.28~0.6 。

(3)由ω d =ω n 1 ? ? 2 和ω r=ω n 1 ? 2? 2 可以看出,对于 小的阻尼比ζ , ω r 和ω d 的值几乎相等。所以,对于小 ζ 值,ω r 的值表征系统的ω n。 1 ?(? / 1?? 2 )? (4)由 Mp= e 和 Mr= 可知,ζ 越小, 2 2? 1 ? ? Mr 和 Mp 越大。Mp 和 Mr 与ζ 之间的函数关系,如图 5-17 所示。可以看出当ζ >0.4 时,Mr 和 Mp 之间存在着相似关系。

二阶系统的时域指标和频域指标的关系(7)
(5)峰值时间 t p 和调整时间 ts 分别为 t p=

? ? = ? d ?n 1 ? ? 2 4 3 ts = 或 ?? n ?? n
n

可见ω n 越大,响应越快。而ω n 越大,ω r =ω 所以ω r 的值也表征了响应速度。

1 ? 2? 2 越大,

固有频率与响应速度的关系

第五节 高阶系统的时间响应
?
? ?

在这一节中,将对高阶系统的瞬态响应 作一简单分析。 首先讨论一个具有特定形式的三阶系统 的单位阶跃响应。> 然后介绍具有一般形式的高阶系统的瞬 态响应分析。>

三阶系统的单位阶跃响应(1)
?

在研究电液伺服系统时,常遇到一个典 型的开环传递函数,其形式为
G(s) =
s( Kv s
2 2 n

? ?n 式中, Kv—开环系统总的放大倍数,在这里 Kv 也就是速度放大 系数(1/秒) ;ω n —无阻尼自然频率(弧度/秒) ;ζ n—阻尼比。 具有单位反馈的闭环传递函数为: 2 X o (s) K v? n G (s) G B (s) = = = 3 (5-45) 2 2 2 X i ( s ) 1 ? G ( s ) s ? 2? n? n s ? ? n s ? ? n K v

? 2? n

s

(5-44)
? 1)

三阶系统的单位阶跃响应(2)
设上式经因式分解后的形式为 2 2 K v? n K v? n GB(s)= = (5-46) ' 2 2 2 2 ( s ? K v )(s ? 2? nc? nc s ? ? nc ) (s ? ? )[(s ? ? ) ? ? ] 式中, ?= K?v,α =ζ ncω nc,α 2 + β 2 =ω 2nc 则此系统在单位阶跃输入信号的作用下,输出量的拉氏变换为 2 1 K v?n ? Xo (s) = ,则经过 Laplace 反变换得: 2 2 (s ? ? )[(s ? ? ) ? ? ] s 2 e ??t sin( ?t ? ? ) e ??t K v?n xo (t)= + 2 2 2 2 ? [(? ? ? ) ? ? ] ? (? ? ? ) ? (? 2 ? ? 2 )[(? ? ? ) 2 ? ? 2 ] 其中

? ? tg

?1

??

?

+ tg ?1

? ? ??

三阶系统的单位阶跃响应(4)
2 2 K v? n K v? n 若令 A0 = ? (? 2 ? ? 2 ) ,A1 = ? [(? ? ? ) 2 ? ? 2 )] , 2 K v? n A2 = ? (? 2 ? ? 2 )[(? ? ? ) 2 ? ? 2 )]

则有 xo(t)= A0-A1 e + A2 e
?

? ?t

??t

sin( ? t+ ? ) (5-47)

从上式可以看出,该三阶系统的单位阶跃响应由三项 分量组成:常数项、衰减指数项及衰减振荡项。

一般高阶系统的时间响应分析
? ?

上面分析三阶系统的方法,同样适用于 高阶系统。 用类似的方法可以证明,高阶系统的瞬 态响应是由一些简单的函数项组成,而 这些简单函数就是一阶系统和二阶系统 的响应函数。所以,一阶系统和二阶系 统的瞬态响应分析具有特别重要的意义。

一般高阶系统的近似分析说明(1)
?

?
?

(1) 如果系统的所有闭环极点都位于左半 [s] 平面内,那么随着时间的推移,各指数项和 振荡项将趋近于零,系统的响应只剩下常数 项,即xo(∞) = A0 。 (2) 瞬态响应的类型取决于闭环极点,而零 点、极点共同决定了瞬态响应曲线的形状。 (3) 位于左半 [s] 平面远离虚轴的极点以及靠 近零点的极点对瞬态响应影响较小,其作用 常可忽略。

一般高阶系统的近似分析说明(2)
(4) 如果距虚轴最近的极点(位于左半s平面), 其实数部分为其他极点的1/5或更小,并且附近 又没有零点,则可认为系统的响应主要由该极 点 ( 或共轭复数极点 ) 所决定,这一分量衰减最 慢。这种对系统瞬态响应起主要作用的极点, 称为系统的主导极点。 ? (5) 一般情况下,高阶系统具有振荡性,所以主 导极点常是共轭复数极点。找到了一对共轭复 数主导极点,高阶系统就可以近似的当作二阶 系统来分析,相应的性能指标都可以按二阶系 统得到估计。
?

左半s平面距虚轴最近的极点的实数部分等于或小于其 他极点的1/5,并且附近又没有零点,则可认为系统的 响应主要由该极点(或共轭复数极点)所决定。

To be continued (Nov. 22JC)

第六节 稳态误差
?

?

?

控制系统除了应当满足一定的稳定性和 快速性要求之外,还应当满足相应的控制准 确性要求。稳态误差是在时域定义的控制准 确程度指标,是系统分析、设计与校正的重 要内容。 稳态误差的大小与系统所用的元件精度、 系统的结构与参数以及输入信号的大小和性 质等因素都有密切的关系。 本节主要研究系统的结构、参数及输入信 号引起的稳态误差问题。

第六节 稳态误差
? 一、稳态误差与稳态偏差

> ? 二、偏差传递函数和稳态偏差 计算式 > ? 三、稳态偏差系数 >

一、稳态误差与稳态偏差(1)
1. 稳态误差(1)
稳态误差是控制系统在输入信号作用下稳态输 出的希望值与实际值之差,如图 5 —19 所示, 5-20 图中 ε ss 表示稳态误差。

1. 稳态误差(2)
设 xor (t)是控制系统希望的输出值,xo (t)是 设 xor (t)是控制系统希望的输出值, xo (t)是其实际 其实际的输出值,则误差函数ε (t)定义为 的输出值,则误差函数ε (t)定义为 ε (t)= xor (t)- xo (t) (5-48) ε (t)= xor (t)- xo (t) (5-47) 稳态误差定义为 稳态误差定义为 lim lim ()= t)=lim (tx )-(x (t)(5-49) 〕(5-49) lim ε εss ss== ε ε(t 〔〔 x x(or t)t)o〕 由上式可见,稳态误差直接表示了控制系 由上式可见,稳态误差直接表示了控制系统的稳 统的稳态控制准确程度。 态控制准确程度。
t?? t?? t?? t??

or

o

2. 稳态偏差
稳态偏差由反馈控制 系统的偏差函数确定。控 制 系 统 的 偏 差 函 数 E(s) 是系统输入信号 Xi(S) 与 反馈信号 X b (s) 之差。
E?s ? ? X i ?s ? ? X b ?s ? ? X i ?s ? ? H ?s ?X o ?s ?

(5-50)

稳态偏差为

ess ? lim e?t ? ? lim sE ( s )
t ?? s ?0

(5-51)

稳态偏差可以间接表示控制系统的稳态准确程度。

3. 误差信号与偏差信号的关系(1)
将式(5-48)等式两边求拉氏变换, 得误差信号的拉氏变换函数为 ? ?s ? ? X or ?s ? ? X o ?s ? 对于单位负反馈控制系统, 即 H ( s) ? 1 ,其输入量 直接反映了输出量期望值的大小, 即
X or ?s ? ? X i ?s ? ,由此得偏差函数:

E(s) ? X i (s) ? X o (s) ? X or (s) ? X o (s) ? ? (s)
由上式可见,对于单位反馈控制系统偏差函数和 误差函数是相等的。

3. 误差信号与偏差信号的关系(2)
对于非单位负反馈控制系统如图5-21所示(输入 量间接地反映输出量的期望值)。

根据表2-1可以将其等效地转变成单位负反馈控 制系统,如图5-22所示。 在图5-22中, 输出量的期望值即为单位负反馈环节 部分的输入信号,即 X or ?s ? ? X i??s ? (5-54)

3.误差信号与偏差信号的关系(3)
新的偏差信号为
E ??s ? ? X i? ?s ? ? X o ?s ? ? 1 1 ?X i ?s ? ? X o ?s ?H ?s ?? X i ?s ? ? X o ?s ? ? H ?s ? H ?s ?

(5-55) 将式(5-50)代入式(5-55),得 E ?s ? E ??s ? ? X i? ?s ? ? X o ?s ? ? (5-56) H ?s ? 根据式(5-54)、式(5-56)及稳态误差定义,得 E ( s) (5-57) E ??s ? ? X or ?s ? ? X o ?s ? ? ? ( s) ? H ( s) E ?s ? ? ?s ? ? (5-58) H ?s ?

E?s ? ? ? ?s ?H ?s ?

(5-59)

3. 误差信号与偏差信号的关系(4)
E ?s ? ? ? ?s ?H ?s ?
可以看出,对于非单位反馈控制系统,偏差函数 和误差函数相差一个因子,因此偏差函数间接地 反映了误差函数的大小。在确知反馈环节传递函 数H(s)时,求出偏差函数即可求出误差函数,反 之亦然。 应用拉氏变换终值定理,很容易求出稳态偏差与 稳态误差:
e ss ? lim e?t ? ? lim sE ( s )
t ??
t ??

? ss ? lim ? ?t ? ? lim s? ( s )
s ?0

s ?0

(5-59) (5-60)

3.误差信号与偏差信号的关系(5)
由上述分析可知,稳态误差直接表示了控 制系统的稳态控制准确程度,稳态偏差则间接 地表示了控制系统的稳态准确程度。由于实际 控制系统的偏差信号易于测量,通常用稳态偏 差分析和研究控制系统的稳态控制准确程度问 题,只是在需要实际计算稳态误差时才应用式 (5-60)求取稳态误差的数值。
?

图5-23表示了误差函数、偏差函数与控 制系统的关系。

3.误差信号与偏差信号的关系(6)

图中虚线部分表示了与误差函数有关的虚 设的通路。

二、偏差传递函数和稳态偏差计算式
图5-21所示的系统对控制量 的偏差传递函数为(2-54)
E ( s) 1 ? X i ( s) 1 ? G( s) H ( s)

1 E (s) ? X i ( s) (5-61) 1 ? G( s) H ( s) 根据终值定理, 系统的稳态偏差为
ess= lim e(t) = lim sE(s) = lim s
t?? s?0 s?0

1 Xi(s) 1 ? G(s) H ( s)

(5-62)

此即系统对控制(输入)量的稳态偏差计算式。

二、偏差传递函数和稳态偏差计算式(ctd.)
?

当H(s)=1时,式(5-62)变为
s ess = lim Xi(s) s ? 0 1 ? G ( s)

(5-63)

?

应用式(5-63)可求出各种典型控制信号作 用于不同类型系统的稳态偏差。

例5-3 设一单位反馈系统的开环传递函数为 20 G(s) = (0.5s ? 1)(0.04s ? 1) 求:控制信号为 xi (t)=1 和 xi(t)= t 时的稳态偏差。

s 解:ess = lim Xi(s) s ? 0 1 ? G ( s)
1 1 当 xi =1 时, Xi(s) = , ess = ≈0.05 s 21 1 当 xi= t 时, Xi(s) = 2 , ess = ∞ s

可见,稳态偏差不仅与系统的结构有 关,而且与输入信号及参数有关。

稳态偏差系数(1)
?

稳态偏差可用偏差传递函数和终值定理求出, 也可以用稳态偏差系数求取。一般说来,后者 较为简便。

?

一个线性系统的开环传递函数一般可写 成 K (1 ? T1 s)(1 ? T2 s)?(1 ? Tm s)
G(s)H(s) =

s (1 ? T s)(1 ? T s)?(1 ? T s)
' 1 ' 2 ' n

?

(5-64)

?

式中ν 为系统中包含有积分环节的个数,按照 ν = 0、1、 2、3……n,系统分为0型、I型、Ⅱ型、……、N型系统。 ν 增大可以降低稳态偏差,但对稳定性不利。实际系统一 般 ν ≤2 ,即0型、I型、Ⅱ型系统最为常见。

稳态偏差系数(2)
? 1.单位阶跃输入情况

> ? 2. 单位斜坡输入情况 > ? 3.单位抛物线输入情况 >

1.单位阶跃输入(1)
1 根据 ess= lim s Xi(s) s ? 0 1 ? G(s) H ( s)

(5-62)

1 x(t)=1(t) (t≥0) Xi(s) = s s 1 1 ? = ess = lim s ? 0 1 ? G(s) H ( s) s 1 ? G (0) H (0)
s? 0

(5-65)

定义 Kp= lim G(s)H(s) =G(0)H(0) 为位置偏差系数。 因此

1 ess = 1? K p

(5-66)

1.单位阶跃输入(2)
对于 0 型系统 (ν =0) , K (1 ? T1 s)(1 ? T2 s)?(1 ? Tm s) Kp = lim =K ' ' ' s?0 (1 ? T1 s)(1 ? T2 s)?(1 ? Tn s) 1 1 ess = = 1? K p 1? K

对于Ⅰ型或高于Ⅰ型的系统 (ν ? 1) , K (1 ? T1 s)(1 ? T2 s)?(1 ? Tm s) Kp = lim ? = ∞ ' ' s ? 0 s (1 ? T ' s)( 1 ? T2 s)?(1 ? Tn s) 1 1 ess = =0 1? K p

1.单位阶跃输入(3)
可以看出,由于 0 型系统不含有积分环节, 系统的稳态偏差为一定值。K 愈大,ess 愈小, 但总有偏差。为了降低偏差,常在稳定条件 许可的情况下,增大 K 值。 若要 ess = 0,其前向通路中必须有积分环节。

2. 单位斜坡输入(1)
1 x(t)=t (t ≥0) Xi(s) = 2 s 1 1 s ? 2 = lim ess= lim (5-67) s ? 0 1 ? G( s) H ( s) s s ? 0 sG ( s ) H ( s ) 定义 Kv = lim sG(s)H(s)为速度偏差系数。
s? 0

于是

1 ess= Kv

(5-68)

2. 单位斜坡输入(2)
对于 0 型系统 (ν = 0), K (1 ? T1 s)(1 ? T2 s)?(1 ? Tm s) Kv = lim s =0 ' ' ' s?0 (1 ? T1 s)(1 ? T2 s)?(1 ? Tn s) 1 对于Ⅱ型系统或高于Ⅱ型的系统 (ν ? 2) , ess = = ∞ Kv K (1 ? T1 s)(1 ? T2 s)?(1 ? Tm s)

Kv = lim s
s?0

对于Ⅰ型系统 (ν = 1), K (1 ? T1 s)(1 ? T2 s)?(1 ? Tm s) Kv = lim s =K ' ' ' s?0 s(1 ? T1 s)(1 ? T2 s)?(1 ? Tn s) 1 1 ess = = Kv K

s (1 ? T s)(1 ? T s)?(1 ? T s) 1 ess = =0 Kv
' 1 ' 2 ' n

?

=?

2. 单位斜坡输入(3)
上述分析表明: 0 型系统不能跟踪斜坡输入, 稳态偏差为无 穷大; I 型系统能跟踪斜坡输入, 但总有一定偏差, 为使稳态偏差不超过规定值,系统的 Kv 即 K 值必须足够大; Ⅱ型或高于Ⅱ型的系统能准确地跟踪斜坡 输入,稳态偏差为零。

3.单位抛物线输入(1)
1 2 xi = t 2

ess =

1 (t ? 0 ) Xi(s) = 3 s 1 s 1 lim ? 3 = lim 2 (5-69) s ? 0 1 ? G(s) H ( s) s ? 0 s G(s) H (s) s

定义 于是

Ka = lim s2G(s)H(s)为加速度偏差系数。
s? 0

1 ess = Ka

(5-70)

3.单位抛物线输入(2)
对于 0 型系统 (ν = 0), K (1 ? T1 s)(1 ? T2 s)?(1 ? Tm s) 1 2 Ka = lim s =0, ess = = ∞ ' ' ' s?0 Ka (1 ? T1 s)(1 ? T2 s)?(1 ? Tn s) 对于 I 型系统 (ν = 1), K (1 ? T1 s)(1 ? T2 s)?(1 ? Tm s) 1 2 Ka= lim s =0, ess = = ∞ ' ' ' s?0 Ka s(1 ? T1 s)(1 ? T2 s)?(1 ? Tn s) 对于Ⅱ型系统 (ν = 2), K (1 ? T1 s)(1 ? T2 s)?(1 ? Tm s) 1 1 2 Ka= lim s 2 = K , e = = ss ' ' ' s?0 Ka K s (1 ? T1 s)(1 ? T2 s)?(1 ? Tn s)

当输入为抛物线函数时,0型和Ⅰ型系统都不能实现跟踪 的要求,Ⅱ型系统能实现跟踪,但要有足够大的K值。

表 5-1 概括了系统开环为 0 型、 I 型和Ⅱ型时几种输 入信号作用下的稳态偏差。 ? 在对角线上,稳态偏差为有限值; ? 在对角线右上方,稳态偏差为无穷大; ? 在对角线左下方,稳态偏差为零。
?

关于偏差的说明(1):
? ?

1 、在使用表 5-1 时应注意,要以闭环系 统的开环传递函数决定放大系数K和类型。 2 、由表 5-1 可以看出,通常可采用增大 开环放大系数 K 和增加积分环节个数 ν 两 种措施来降低稳态偏差,从而提高控制 系统的准确性。

3、如果已知某系统的传递函数,欲求取稳态偏差 时,则可将其看成是单位负反馈系统的闭环传递 函数,根据公式,求出其开环传递函数,确定其 开环放大系数 K和系统类型,然后根据表 5-1求出 系统的稳态偏差。

关于偏差的说明(2):
4、对于单位负反馈控制系统求稳态误差时, 其稳 态误差和稳态偏差相等,可采用上述求稳态偏差的 方法来求取。对于非单位反馈控制系统求稳态误差 时,需要先求取偏差函数,再求取误差函数,最后 利用拉氏变换的终值定理求取稳态误差。
5、当输入信号是上述典型输入信号的组合时,为 使系统满足稳态响应的要求,在确定稳态偏差 时,系统的偏差类型应按其中产生最大偏差的 典型输入信号来选定。

例5-4 已知输入信号 xi (t)= 4 + 6t +3t2 , 试分别求出图 5-24 所示系统的稳态偏差。

10 ( s ? 1) 4 10 ?K ?4 4 ? K ? 1 4 s( s ? 1) 2 1 s ( s ? 1 ) 4 4 可以把输入看成由三项分量组成,即 4,6t,3t2

(a) Ⅰ型系统 Ka= 0,所以不能跟踪 xi (t) 中的 3t2 分量,即 ess=∞ 。

xi (t)= 4 + 6t +3t

2

10 6 (b) Ⅱ型系统 Ka =K= ,ess = = 2.4 4 Ka

而 xi (t)中的 4 和 6t 二项分量所引起的稳态偏差 分量均为零。所以此 II 型系统可以跟踪输入。

第七节 循序渐进学习示例:直流电动 机调速系统 在上一章中,已经讨论了具有速度 负反馈的直流电动机调速系统的稳定 性问题,在本节中将继续讨论该系统 的时间响应问题,主要讨论其在时间 域的动态和稳态性能。

一、直流电动机调速系统的动态响应分析
通常,由于晶闸管整流电路时间常数Ts较小,为 了分析问题简便起见,假设忽略这个次要因素,直流 电动机调速系统的传递函数如式(2-56),即
K0Ks N ( s) G( s ) ? ? U g ( s ) K e (Ta T M s 2 ? T M s ? 1) ? K 0 K s K sf

由上述传递函数看出,当忽略Ts的影响时,直流 电动机调速系统是一个二阶系统。

评价二阶系统的性能,可对系统输入不同信号进行分析。 最常用的输入信号是单位阶跃信号。根据第三章循序渐进 学习示例所选择的本系统的参数,即
、 、 , 、 , 、 , 、 、 ,

Ta ? 0.2 s
K 0 ? 20

T s ? 0.01s

T M ? 0.29s

K s ? 20

K e ? 0.14

K sf ? 0.2 ? 0.029

直流电动机调速系统的传递函数为
N ( s) 162.6 ? U g ( s) 0.0572 s 2 ? 0.0165s ? 1 2 K? n K G( s) ? 2 2 ? 2 T s ? 2?Ts ? 1 s ? 2?? n s ? ? n 2 G( s) ?

该闭环系统的参数为

T ? 0.057s

?n ? 17.54s ?1

? ? 0.145
K ? 162 .6

?d ? ?n 1 ? ? 2 ? 17.36 s ?1

当输入信号为 xi (t ) ? u g (t ) ? 1 系统输出信号为
、 、 , , 、 , 、 , 、 、 , ,

1 X i ( s) ? U g ( s) ? s

xo (t ) ? n(t ) ? K ? K

e ??? nt 1? ?
2

sin(?d t ? tg

?1

1? ? 2

?

)

(t ? 0)

(5 ? 74)

将上述参数代入式(5-74),得直流电动机调速系统 单位阶跃响应曲线如图5-25所示。

M p ? Ke
、 、 , , 、 , 、 , , 、 、 ,

?(? / 1?? 2 )?

% ? 102.6

?% ? e

?(? / 1?? 2 )?

% ? 63.1%

ts ?
? ? tp ? ? ? 0.18s 2 ?d ?n 1 ? ?
tr ? 1 (? ? tg ?1 1?? 2 ) ? 0.082 s

4

?? n
3

? 1.57s
? 1.18s

ts ?

?? n

?d

?

、 、 , , 、 , 、 , , 、 、 ,

由图5-25及上述计算可以看出, 该系统虽然响应速度较快,但是最 大超调量比较大。在实际工程应用 中,过大的超调量将会给系统造成 冲击。因此,应改善系统的最大超 调量,也即改善系统的相对稳定性 ,提高系统的稳定性裕量。

二、直流电动机调速系统的稳态误差分析
直流电动机调速系统是一个恒值控制系统,对于恒值 控制系统来说,由于输入信号不变,因而仅在输入信号作 用下不会产生稳态误差,即系统的输出量的期望值和实际 值之间不会有误差。上述结论的前提是不计由于元件本身 存在的不灵敏区、老化、零点漂移等原因所造成的附加误 差。通常恒值控制系统的稳态误差是由于扰动信号作用引 起的。 根据第二章图2-30,当无控制信号(输入)时,控制系统 在扰动信号作用下的偏差传递函数见式(2-55),即

、 、 , , 、 , 、 , , 、 、 ,

? G2 ( s ) H ( s ) E ( s) GBeN ( s) ? ? N ( s) 1 ? G1 ( s)G2 ( s) H ( s)

根据偏差函数与误差函数的关系式(5-58) 则误差传递函数为 ? ( s)
G B?N ( s) ?
、 , , 、 、 , , 、 、 ,

E?s ? ? ? ?s ?H ?s ?
?

Xi(s)=0

X ( s) ? H ( s) X o ( s) E ( s) ? i N ( s) H ( s) N ( s) H ( s) N ( s) X o ( s) ? G2 ( s ) ?? ? (5-75) N ( s) 1 ? G1 ( s)G2 ( s) H ( s)

式(5-75)说明了在扰动信号作用下的误差函数和输出 函数的关系为: ? (s) ? ? X (s)
o

根据拉氏变换的终值定理,系统在扰动信号作用下的稳态误差为:
? ss ? ? (?) ? lim sGB?N (s) N (s) ? ? lim
s ?0

sG2 (s) N (s) (5-76) s ?0 1 ? G ( s)G ( s ) H ( s ) 1 2

下面分析直流电机调速系统在阶跃扰动力矩作用下引起的 稳态误差,忽略负载阻尼的影响。 在阶跃扰动力矩作用下的直流电机调速系统函数方框图如图 5-26(a)所示, 经过方框图等效变换,可得图5-26(b)、图5-26(c)。
、 、 , , 、 , 、 , , 、 、 ,

、 、 , , 、 , 、 , , 、 、 ,

、 、 , , 、 , 、 , , 、 、 ,

根据第二章式(2-20)所定义的直流电动机的参数,将图526(c) 右边方框中直流电动机传递函数进行转换得图5-26(d) 。

、 、 , , 、 , 、 , , 、 、 ,

将图5-26(d)与图2-30进行比较,有
X i (s) ? U g (s)
G2 ( s ) ?
、 、 , , 、

X o ( s ) ? N ( s)

G1 ( s) ?
N ( s) ? ?

K0 Ks 1 ? Ts s
Ls ? R TL ( s) KM

1/ K e TaTM s 2 ? TM s ? 1

H (s) ? K sf

假设系统受阶跃跃扰动作用,得直流电动机调速系统 在扰动作用下的稳态误差为
1/ K e s (Ta TM s 2 ? TM s ? 1) Ls ? R 1 ? ss ? ? lim ? ? s ?0 K0 Ks 1/ K e KM s 1? ? K sf 1 ? Ts s (Ta TM s 2 ? TM s ? 1







?

1/ K e 1 ? K 0 K s K sf

R 1 KM Ke

(5-77)

1 式(5-77)说明系统的开环放大系数K ? K 0 K s K sf Ke

值越大,系统的稳态误差越小,准确度越高。
、 、 , , 、 , 、 , 、 、 ,

为了使本系统在扰动信号作用下稳态误差为 零, 可将系统中的比例调节器换成积分调节器, 使系统开环传递函数变成? 型系统,这时系统的稳 态误差将为零。

K s ? 20 、 K sf ? 0.2 ? 0.029 、 将已设定的参数 K 0 ? 20 、

K e ? 0.14 ,电机转矩常数 K M ? 1.4 ,电枢回路

电阻 R ? 1.4 ,代入式(5-76)中,得该系统稳态 误差为


? ss
、 、 , 、 , 、 ,

1.4 ? ? ? 0.41 1 1.4 1 ? 20 ? 20 ? 0.2 ? 0.29 ? 0.14

1 / 0.14

上述分析表明, 欲减小系统的转速稳态误差,可 采用增大系统开环增益或者增加积分环节个数的办 法来解决。但是,这样对系统的稳定性不利。为了 使系统的综合性能满足设计要求,可采用第六章介 绍的校正办法来解决。

第八节 利用MATLAB分析控制系统的 特点及性能


本节主要介绍应用MATLAB语言对线性系统 进行时域分析,并举例说明反馈控制的优点,同 时说明如何利用MATLAB来分析控制系统。 一、时域分析 下面以二阶系统阶跃响应为例介绍MATLAB 语言在进行系统时域分析中的应用。

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在MATLAB控制系统工具箱中给出了一个 step( )函数可以直接求取线性系统的阶跃响应,该 函数可以由下面格式调用: y=step(G,t) 其中G为给定系统的LTI对象模型,变量t为由要计 算的点所在时刻的值组成的向量,得出的系统输出 在y向量中返回。还可以由其它的格式来调用step( ) 函数,例如,可以由下面的格式来调用: [y,t]=step(G) 这时,时间变量t由系统模型G的特性自动生成。

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如果想得到系统状态变量在各个时刻的值, 还可以用下面的调用格式: [y,t,x]=step(G)


如果用户在调用此函数时不返回任何变量,则将 自动绘制出阶跃响应输出曲线,同时绘制出稳态 值。 1 例5-5 系统传递函数为 G(s) ? s 2 ? 0.4s ? 1 ,试绘 制该系统的阶跃响应曲线。 解:运行下面的MATLAB程序可以得到该系统的 阶跃响应曲线,如图5-28所示。 num=[1]; den=[1,0.4,1]; G=tf(num,den); step(G);

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5-28 例5-5系统的阶跃响应曲线



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MATLAB除了能对控制系统进行阶跃响应分 析之外,还可以对系统进行脉冲响应分析。线性 系统的脉冲响应可以由控制系统工具箱中提供的 impulse()函数直接求取,该函数可以由下面的 格式调用: y=impulse(G,t); 如果输入既不是阶跃信号也不是脉冲信号, 而是任意的输入信号,MATLAB控制系统工具箱 中同样提供了相应的函数来求取 。

二阶系统不同阻尼比下的单位阶跃响应(P.133):


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clear wn=1; zetas=[0:0.25:1,2,3,5]; yy=[]; t=0:0.1:12; for i=1:length(zetas) z=zetas(i); if z==0,y=1-cos(wn*t); elseif (z>0 & z<1), wd=wn*sqrt(1-z^2); th=atan(sqrt(1-z^2)/z); y=1-exp(-z*wn*t).*sin(wd*t+th)/sqrt(1-z^2); elseif z==1,y=1-(1+wn*t).*exp(-wn*t); elseif z>1, lam1=-z-sqrt(z^2-1); lam2=-z+sqrt(z^2-1); y=1-0.5*wn*(exp(lam1*t)/lam1-exp(lam2*t)/lam2)/sqrt(z^2-1); end yy=[yy;y]; end plot(t,yy); xlabel('t'); ylabel('Xo(t)'); grid

2

1.5

?

1

Xo(t)
0.5 0 -0.5 0

2

4

6 t

8

10

12

二、反馈控制系统的特点分析
以例2-17电机速度控制系统为例,分析反 馈控制系统的特点,并说明如何应用MATLAB 来分析控制系统。


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例5-6 电机速度控制系统。 电机速度控制系统如图2-4所示,其函数方框图如 图2-33所示。

图2—4 他激式直流电动机原理图

首先考虑没有外部反馈的开环系统(见图2-33),应用 MATLAB来计算系统对单位阶跃干扰(即TL (s)=1/s)的稳 态误差,程序及运行结果如下:


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R=1;KM=10;J=2;c=0.5;Ke=0.1; num1=[1];den1=[J,c];num2=[KM*Ke/R];den2=[1]; [num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2); printsys(num,den); [yo,x,t]=step(num,den); plot(t,yo); xlabel('time[sec]'),ylabel('speed'),grid; yo(length(t))
1 2 s ? 1 .5



0.6650



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由运行结果可知,系统的稳态误差近似为

? oK (?) ? 0.665rad / s

同样,对闭环电机速度控制系统(图5-29),应用 MATLAB来计算系统对单位阶跃干扰(即 TL (s)=1/s)的稳态误差,程序及运行结果如下:


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R=1;KM=10;J=2;c=0.5;Ke=0.1;Ka=54;Kt=1; num1=[1];den1=[J,c];num2=[Ka*Kt];den2=[1]; num3=[Ke];den3=[1];num4=[KM/R];den4=[1]; [numa,dena]=parallel(num2,den2,num3,den3); [numb,denb]=series(numa,dena,num4,den4); [num,den]=feedback(num1,den1,numb,denb); printsys(num,den) [yo,x,t]=step(num,den);plot(t,yo) xlabel('Time[sec]'),ylabel('speed[rad/sec]'),grid yo(length(t)) 1 num/den =
2s ? 541 .5

ans =0.0018

闭环系统对阶跃干扰的稳态误差如图5-31所示。



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由此可见,闭环电机速度控制系统在干扰作用下的 稳态误差为:


? oB (?) ? 0.0018 rad / s
闭环系统与开环系统对单位阶跃干扰信号的稳态 误差之比为:
? oB (?) 0.0018 ? ? 0.0027 ? oK (?) 0.665

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可见,引入负反馈可以明显减小干扰对系统输 出的影响,说明闭环反馈控制系统具有噪声抑 制的作用。

三、MATLAB软件中的工具箱


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demo 在左列菜单中依次点击 Toolboxes Control System Interactive Demos RLC Circuit Response



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四、MATLAB软件中的Simulink


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在命令窗口输入simulink 新建模型文件:File-new-model 建立一个仿真模型: 点击Sources,选择信号源(如step),拖入新建的模 型文件窗口; 点击Continuous,选择系统数学模型; 点击Sinks,选择输出装置——示波器(Scope); 连接信号源、系统及输出装置; 点击simulation,start,运行仿真 双击示波器(Scope),观察仿真结果。



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本章习题
P.137:2、3、4(1,2)、6

第三次实验(实验四、五、六)
1、请提前预习并携带实验指导书。
2、地点:一教207。 3、时间:非控工上课时间(各班与刘力松老师 商定(13207517158))。 4、实验报告:在实验完成后一周内提交。

To be continued ()


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