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高中数学 2-2-1 椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修2-3


2.2

椭圆

2.2.1 椭圆及其标准方程
【课标要求】
了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆的过 1. 程,椭圆标准方程的推导与化简过程. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形. 【核心扫描】

1.利用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程.(重点) 2.会求简单的与椭圆相关的轨迹问题.(难点)

自学导引
椭圆的定义 1. 距离之和等于常数(大于|F1F2|) 平面内与两个定点F1、F2的__________________________
焦点 的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的_____, 两焦点间的距离 _______________叫做椭圆的焦距. 想一想:在椭圆定义中,将“大于|F1F2|”改为“等于

|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数,其他条件不变,点的轨
迹是什么? 提示 当距离之和等于|F1F2|时,动点的轨迹就是线段

F1F2;当距离之和小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.

2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上

标准方程

_________ (a>b>0) ________ (-c,0),(c,0) _______________

__________ (a>b>0) ________ (0,-c),(0,c) ______________

焦点坐标

a、b、c 的关系

a2-b2 c2=______

试一试:已知椭圆的标准方程中a=5,b=4,则椭圆的标
准方程是什么?
x2 y2 提示 当焦点在 x 轴上时,其标准方程为 + =1,当焦点 25 16 y2 x2 在 y 轴上时,其标准方程为 + =1. 25 16

名师点睛
椭圆的定义的应用 1.

(1)应用椭圆的定义和方程,把几何问题转化为代数问
题,再结合代数知识解题.而椭圆的定义与三角形的两边 之和联系紧密,因此,涉及线段的问题常利用三角形两边 之和大于第三边这一结论处理. (2)椭圆的定义式:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|),在解题中

经常将|PF1|· 2|看成一个整体或者配方等灵活运用. |PF

2. 椭圆标准方程的特点 (1)a、b、c三个基本量满足a2=b2+c2且 a>b>0,其中2a表示椭圆上的点到两焦点

的距离之和,可借助如图所示的几何特征
理解并记忆. (2)利用标准方程判断焦点的位置的方法是 看大小,即看x2,y2的分母的大小,哪个 分母大,焦点就在哪个坐标轴上.较大的

分母是a2,较小的分母是b2.

3. 求椭圆标准方程的方法 (1)定义法,即根据椭圆的定义,判断出轨迹是椭圆,然后

写出其方程.
(2)待定系数法,即设出椭圆的标准方程,再依据条件确定 a2、b2的值,可归纳为“先定型,再定量”,其一般步骤是: ①定类型:根据条件判断焦点在x轴上还是在y轴上,还是两 种情况都有可能,并设椭圆方程为
x2 y2 y2 x2 + =1(a>b>0)或 2+ 2=1(a>b>0); a2 b2 a b

②确定未知量:根据已知条件列出关于a、b、c的方程组, 解方程组,可得a、b的值,然后代入所设方程即可.

题型一

用待定系数法求椭圆的标准方程

【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P

到两焦点距离的和是10;
(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);
(3)经过点( 6 2 2 , 3)和点( ,1). 3 3

[思路探索] 对于(1)、(2)可直接用待定系数法设出方程求
解,但要注意焦点位置.对于(3)由于题中条件不能确定椭圆 焦点在哪个坐标轴上,所以应分类讨论求解,为了避免讨 论,还可以设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B) 然后代入已知点求出A、B.
解 (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上, x2 x2 ∴设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b ∵2a=10,∴a=5, 又∵c=4,∴b2=a2-c2=52-42=9. x2 x2 ∴所求椭圆的标准方程为 + =1. 25 9

(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上, y2 x2 ∴设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b ∵椭圆经过点(0,2)和(1,0), ?4 0 ?a2+b2=1 ?a2=4, ? ∴? ?? 2 ? ? 02+ 12=1 ?b =1, ?a b y2 故所求椭圆的标准方程为 +x2=1. 4
(3)法一 ①当椭圆的焦点在 x 轴上时,设椭圆的方程为 x2 y2 + =1(a>b>0). a2 b2 6 2 2 ∵点( , 3)和点( ,1)在椭圆上, 3 3

? ?( 6)2 ( 3)2 3 ? ? a2 + b2 =1, ∴? ? 2 2 2 ?( 3 ) 12 + 2=1. ? a2 ? b
?a2=1, ? ∴? 2 而 ?b =9. ?

a>b>0.

∴a2=1,b2=9 不合题意, 即焦点在 x 轴上的椭圆的方程不存在.

②当椭圆的焦点在 y 轴上时,设椭圆的标准方程为 y2 x2 + =1(a>b>0). a2 b2 6 2 2 ∵点( , 3)和点( ,1)在椭圆上, 3 3

? 6 2 ? ( 3)2 ( 3 ) ? ? a2 + b2 =1, ?a2=9, ? ∴? ∴? 2 ?b =1. 2 2 2 ? ? ?12 ( 3 ) =1. ?a2+ ? b2 y2 ∴所求椭圆的方程为 +x2=1. 9 法二 设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). 6 2 2 ∵点( , 3)和点( ,1)都在椭圆上, 3 3 ? 6 2 ?2m 2 ( ?m·( 3 ) +n· 3) =1, ? 3 +3n=1, ∴? 即? ?8m+n=1. ?m· 2 2)2+n·2=1, 1 ? 9 ? ( 3

?m=1, ? y2 2 ∴? 1 ∴所求椭圆的标准方程为 x + 9 =1. ?n=9. ?

规律方法

求椭圆的标准方程时,要“先定型,再定量”,即要

先判断焦点位置,再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准

方程,最后由条件确定待定系数即可.当所求椭圆的焦点位置
不能确定时,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论, 但要注意a>b>0这一条件.当已知椭圆经过两点,求椭圆的标 准方程时,把椭圆的方程设成mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的 形式有两个优点:①列出的方程组中分母不含字母;②不用讨 论焦点所在的坐标轴,从而简化求解过程.

【变式1】 求适合下列条件的标准方程: (1)两个焦点坐标分别是(-3,0),(3,0),椭圆经过点 (5,0); (2)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到 两焦点的距离之和为26.
解 x2 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为 2 a

y2 + 2=1(a>b>0). b 因为 2a= (5+3)2+02+ (5-3)2+02=10,2c=6, 所以 a=5,c=3, 所以 b2=a2-c2=52-32=16. x2 y2 所以所求椭圆的标准方程为 + =1. 25 16

(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上,所以设它的标准方程为 y2 x2 + =1(a>b>0). a2 b2 因为 2a=26,2c=10, 所以 a=13,c=5. 所以 b2=a2-c2=144. y2 x2 所以所求椭圆标准方程为 + =1. 169 144

题型二

椭圆定义的应用

x2 y2 【例2】 如图所示, P 是椭圆 + =1 上 点 5 4 的一点,F1 和 F2 是焦点,且∠F1PF2= 30°,求△F1PF2 的面积.

[思路探索] 可先利用a,b,c三者关系求出|F1F2|,再利用
定义及余弦定理求出|PF1|· 2|,最后求出S△F1PF2. |PF x2 y2 解 在椭圆 + =1 中,a= 5,b=2, 5 4
∴c= a2-b2=1. 又∵P 在椭圆上, ∴|PF1|+|PF2|=2a=2 5 ①

由余弦定理知:
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· 2|· 30° |PF cos =|F1F2|2=(2c)2=4 ①式两边平方,得 |PF1|2+|PF2|2+2|PF1|· 2|=20 |PF
③-②,得(2+ 3)|PF1|·|PF2|=16, ∴|PF1|·|PF2|=16(2- 3), 1 ∴S△PF1F2= |PF1 |·|PF2|·sin 30°=8-4 3. 2

② ③

规律方法

在椭圆中由椭圆上的点,两个焦点组成的焦点

三角形引出的问题很多,要解决这些题目,我们经常利用 椭圆的定义,正弦定理,余弦定理及三角形面积公式,这

就需要我们在解题时,要充分理解题意,分析条件,利用
椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的 联系建立三角形中的边角之间的关系.在解题中,经常把 |PF1|· 2|看作一个整体来处理. |PF

x2 y2 【变式2】 已知经过椭圆25+16=1 的右焦点 F2 的直线 AB 垂直 于 x 轴,交椭圆于 A、B 两点,F1 是椭圆的左焦点. 求△AF1B 的周长.



如图所示,由已知:

a=5,△AF1B的周长l=|AF1|+|AB|+ |BF1|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF2|+|BF1|)= 4a=20.

题型三

与椭圆有关的轨迹问题与椭圆有关的轨迹问题

【例3】 (12分)已知B、C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的 周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.

[规范解答] 以过B、C两点的直线为x轴,线段BC的垂直 平分线为y轴,建立直角坐标系xOy.如图所示. 2分

由|BC|=8,可知点B(-4,0),C(4,0). 由|AB|+|AC|+|BC|=18,得|AB|+|AC|=10, 点与两焦点的距离之和2a=10; 6分 8分 10分
12 分

因此,点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆,这个椭圆上的

但点A不在x轴上.由a=5,c=4,得
b2=a2-c2=25-16=9.
x2 y2 所以点 A 的轨迹方程为 + =1(y≠0). 25 9

【题后反思】 利用椭圆的定义求轨迹方程,是先由条件找

到动点所满足的条件,看其是否符合椭圆的定义,再确定
椭圆的方程.特别注意点A不在x轴上,因此y≠0.

【变式3】 已知动圆M过定点A(-3,0),并且内切于定圆B: (x-3)2+y2=64.求动圆圆心M的轨迹方程. 解 设动圆M的半径为r,则|MA|=r,|MB|=8-r, ∴|MA|+|MB|=8,且8>|AB|=6, ∴动点M的轨迹是椭圆,且焦点分别是A(-3,0),B(3, 0),且2a=8, ∴a=4,c=3,

∴b2=a2-c2=16-9=7.
x2 y2 ∴所求动圆圆心 M 轨迹方程是 + =1. 16 7

方法技巧

分类讨论思想在椭圆中的应用

在本节内容中,最常见的分类讨论是因焦点的位置不

确定而引起的讨论.
【示例】 椭圆的一个顶点为A(2,0),其长轴长是短轴长的2 倍,求椭圆的标准方程. [思路分析] 题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位 置,进行分类讨论.



①当 A(2,0)为长轴端点时,a=2,b=1,椭圆的标准方 x2 2 程为: +y =1; 4 ②当 A(2,0)为短轴端点时,b=2,a=4, x2 y2 椭圆的标准方程为: + =1. 4 16 x2 2 x2 y2 综上所述,椭圆的标准方程为 +y =1 或 + =1. 4 4 16

方法点评

本题要求根据椭圆上的点和长短轴之间的关系

求标准方程,考查椭圆的标准方程和思考问题的全面性;

椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的
位置,是不能确定椭圆的形状的,因而要考虑两种情况.


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