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丽水高三数学“一模”质量监控试题分析

丽水高三数学“一模”质量监控试题分析
本次高三数学“一模”质量监控试题基本能做到测试中学数学基础知识,基本

技能、基本思想和方法,考查逻辑思维能力,运算能力、空间想象能力以及运用所 学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。 全市平均分为 76.24, 标准差 25.85 变差数 33.91. 试题的一些具体特点: 坚持对基础知识的考查,在知识网络的交汇 处设计命题, 注重对数学在实际中的应用的考查,
填空题对试题质量及得分情况分析 填空题突出了考察学生运用数学知识解决问题的能力,对能力要求较高,体现了运动 变化的观点,考察了学生的化归等能力。整体难点系数约为 0.4。其中理科:13 题 0.35, 14 题 0.7,15 题 0.2,16 题 0.4。 典型错误分析 理科 13 题的两个主要错误答案是“997 人” , “0.023” 。前者的错误一方面是由于这部 分内容相对生疏,正态分布与标准正态分布的关系没搞清楚;另一方面是缺乏对标准正态 分布和正态分布的理解 (大量学生应分布在 100 分左右) , 所以导致 “977” 的错误。 而 “0.023” 的主要问题在于缺乏对题目的仔细阅读,否则怎会出现“0.023 人”的错误? 15 题的错误答案主要是 “16” 。 显而易见的错误是在于一个周期还是半个周期的选择上。 这说明学生在“当有自变量在任意两个整数间变化时,函数 f(x)至少有一个最大值和一 个最小值”的理解上出现了偏差。而 15 题对于文科学习来说,就更不容易正确理解了。 16 题,错误对理科学生来说主要是不知道图形的翻折。而文科学生的错误答案,主要 是“2 3 ”或“2 3 、2 5 ”或“20” 。从中可见学生犯的错误主要是“异面直线上两 点间距离公式和二面角上两个平面上两点间距离公式”混为一起,导致了错误。 “20”的 错误是没有开方。 教学建议: 1、 加强学生的阅读能力的培养。培养学生仔细阅读,认真审题的习惯。 2、 注意学生“数形结合”思维的培养,提高学生的“化归”能力。 3、 在“至多” 、 “至少”等数学用语上有待进一步下功夫。 4、 这次填空题四个题目却显示了动态的特征,二学生的得分率不高。这说明在这方面 还要继续下功夫。 17 题.对试题质量及得分情况分析 本题是平面向量和三角函数的一个综合题。试题综合程度较高,特别是理科题要使用 “角的变换” 的解题技巧, 学生在使用过程中还存在较大的问题。 理科: (1) 得分率为 70%, (2)得分率为 50%。文科(1)得分率为 50%, (2)约为 30%左右。 典型错误分析 文理科: → → → → → → → → 1.︱ a - b ︱的解决存在问题:有︱ a - b ︱=( a - b ) · (a-b) , → → 2 →2 → → →2 → → ︱ a - b ︱ = a +2 a · b + b 等错误。还有许多学生不会使用 a · b 不会使用坐标形

→ → → → → → 式。只知 a · b =︱ a ︱︱ b ︱·cosθ 。有个别学生把 a · b 看作实数运算的乘法运算。 2.三角公式的识记存在问题。三角处理中最常用的技巧――“角的变换”学生不能理解 使用。在题中能把 sinα 化为 sin〔 (α -β )+β 〕为数不多(理) 。文科学生许多同学 不能实现“二化一”即把 asinα +bcosα 化为一个函数。 3.文科题中已知 f(x)=Asin(ω x+φ )+b 求单调区间,许多学生还没有落实,没 有能给出正确的区间。 4.求最值的问题,特别是在某闭区间上的最值问题。许多学生认为最值只在端点取得。 π 文科(2)题中 f(x)的最大值为 2,许多同学认为只有 x=0 或 取得最值。 2 → o 5.书写的格式错误:比如向量 a 许多同学写成了 a,再如 kπ +30 等错误。 教学建议: 1、 向量和其它学科的综合,这是近几年高考的热点问题。教师在平时教学过程中要注 意题型的选择和知识的落实。 2、 三角函数题也是难度在中下的一类题。高考要出现也是前三题,平时要重现公式的 落实,基本方法的落实,基本技巧的落实。选题时要以基础为主,要强化公式的记 忆。 3、 向量和三角题要放手上学生去做。 20 题.对试题质量及得分情况分析 本题四棱锥 P-ABCD 可以看成由一个长方体中分割出来的图形,考查了猜想——证明 的思想方法。考查了异面直线垂直关系与二面角的大小的求法,对用常规方法和空间向量 法求解都非常适用,但考查的都是角度,对知识考查比较窄。本题得分比较低,对文科考 生区分度不高。 典型错误分析 1 论证的不严密是立体几何的通病 2.不知道去找或作平面的垂线(如何利用面面垂直去作或找到面的垂直直线) 3.不知道如何去证明 PA 在面上的射影与 BD 垂直 4.找或作二面角的平面角时,也不知道利用面的垂线、三垂线定理来解决 5.利用空间向量解题时,建系的不正确导致错误,建系写的不清楚,建系不是右手系, 法向量求错比较多。 6.运算能力比较差 7.建系中三条直线的垂直不说明(或不证明) 8.课本以外的公式要不要证明 教学建议 1. 学过程中培养学生论证的严密是学生学好立体几何的关键。 如学生在过 P 作 PO⊥BC 时, 都不交待交 BC 于 O。因为过一点作直线的垂线有无数条等等小问题。 2. 学过程对二面角的教学时,培养学生的面的垂线意识,很多学生在作二面角的平面角 时,不去证明或找到面的垂线,盲目去作或自认为某条直线是垂线等等错误 18 题.对试题质量及得分情况分析:

根据抽样分析,理科 18 题难度系数为 0.41,文科难度系数为 0.81。理科较难,排 在第 18 题不适,但该题解题思路广,切入易,尤其对数形结合思想、换元思想、根的分 布的考查很全面,是考查综合分析能力的好题,且自闭函数是新的概念,可考查学生的创 新能力。文科题较易。 典型解法及错误 3 1. y=-x 的自闭区间有以下两种解法:

方法 1、? y=-x 单调递减

3

? a?b ? ? 有 ? ? a 3=b ?? b 3 ? a ?

解得 ?

?a ? ?1 ? b ?1

? 〔a,b〕=〔-1,1〕 3 方法 2、? 函数 y=-x 与 y=-x 均是单调递减函数
? y ? ? x3 ? x ? 0 ? x ? ?1 ? x ? 1 得? (舍去) ? ? 解方程组 ? ? ? y ? ?x ?y ? 0 ? y ? 1 ? y ? ?1

? 〔a,b〕=〔-1,1〕
2. 学生中存在的主要错误有:

?? a 3 ? a 1 、由 y=-x 单调递减得 ? 3 ?? b ? b
0 3 0

?a ? ?1 (对单调性概念的理解) ?? ? b ?1

2 、只写一个区间〔-1,1〕 ,没有解题过程 3 、不会解方程组 ?
0

?? a 3 ? b 3 ?? b ? a

a) 求闭函数 y=k+ x ? 2 中 k 的取值范围的方法有以下几种 方法 1、由 y=k+ x ? 2 的单调性得 ?

?k ? a ? 2 ? a ?k ? b ? 2 ? b

有解。即

方程 x=k+ x ? 2 至少有两个不同的解,等价于方程 x -(2k+1)x+k -2=0 有两个大于等于 k 的不同解
2 2

? ??0 ? ? 2 ? ? k ? (2k ? 1)k ? k 2 ? 2 ? 0 ? 2k ? 1 ?k ? 2 ?

解得-

9 <k ? -2 4

方法 2、同方法 1 得出方程 x=k+ x ? 2 至少有两个不同的解

令 t= x ? 2 则 e ? 0,t -t-k-2=0 有两个不相等的大于等于 0 实根
2

? t1 ? t 2 ? 1 ? 0 ? ? ?t1t 2 ? ? k ? 2 ? 0 ? ? ? 4k ? 9 ? 0 ?
2

9 ? - <t ? -2。 4
2

方法 3、同方法 1 得出 x -(2k+1)x+k -2=0 有两个大于等于 k 的不同解 首先必须⊿=4k+9>0, ? k>-

9 但 x ? k 恒成立,而 x ? -2 4

9 ? k ? -2 因此- <k ? -2。 4
方法 4、同方法 1 得出方程 x=k+ x ? 2 有两个不同的解 令 y=x-k 和 y= x ? 2 用图象法得-

9 <k ? -2 4

该题的主要错误: 2 2 1,用上述方法 1 的解法时,大部分同学只解到方程 x -(2k+1)x+k -2=0 有两个解, 没考虑 x>k 这个条件,故得出的答案是 k>-

9 ; 4

2.不会求 y=k+ x ? 2 在 ?a, b? 上的最值,也就是没看出 y=k+ 3.少数优秀的同学,解题思路清晰,方法也对,但得出的答案是- 或- 教学建议

x ? 2 的单调递增性
9 ? k ? -2 4

9 <k<-2,即对等号能否取到疏忽了。 4

?? a 3 ? b 1.重视基础知识和基本方法的落实。比如解方程组 ? 3 ?? b ? a
判断函数 y=-x 和 y=k+
3

x ? 2 的单调性等都是基础知识;再比如换元法和图像法这

些常用的解题方法,学生也要熟练掌握。 2 2 2.突破难点:根的分布是学生的难点。在上述方法 1 中,方程 x -(2k+1)x+k -2=0

? ? ??0 ? 有两个大于等于 k 的不同解,学生无法转化为等价不等式组 ? f ( k ) ? 0 ? b ?k ?? ? 2a
3.注重解题格式的书写,只写一个答案,没过程的同学很多 4.该题有一定难度,估计平均分 5 分也达不到,建议要放在第 20 题。

文科第 18 题分析 1. 求 m,n 的值方法有 方法 1、? f(x)为奇函数 ? f(-x)+f(x)=0 恒成立 ? (m-4)x2+n=0 恒成立 ? m=4,n=0 方法 2、? f(x)为奇函数 x∈R ? f(0)=0 得 n=0 则 f(-1)=-f(1) ? m=4 主要错误有 1. 代点(0,0)得 n=0,而求不出 m=4 对奇函数的概念没掌握。 2.? f ( x ) =3x +2(m-4)x-3m
2

'

? x=-

2(m ? 4) ?0 2?3

m=4

再代(0,0)点得 n=0

3.函数在 ?? ?,?2 ? 和 ?2,??? 上为增函数,很多同学写成当 x∈ ?? ?,?2 ? ∪ ?2,??? 时函 数为增函数。 4.该题学生得分较高,比较容易,有很多同学满分。 19 题.对试题质量及得分情况分析 本题是概率题,文理不同,分两小题,分值各 6 分,难度适中,考查考生的逻辑思维 能力和应用能力,以及计算能力,得分文、理大致在 7-8 分左右。 典型错误分析 理:第 1 小题 1.分不清事件类型,导致公式用错 2.审题不清,没注意关键词“至少”
( 0) 3.运用间接法时少算了一类一次也不成功的 P=1-( P ? P5(1) ? P5( 2) ) 5

4.计算错误。 第 2 小题 1。概念不清,公式乱用 2.审题不清,关键词“最多”没注意 3.计算错误 文科:第 1 小题 1。同理 2.审题不清,没注意关键词“恰好” 3.计算错误 第 2 小题 1. 分析不出事件类型,关键词“首次”没注意 2. 计算错误 教学建议 1. 通性通法的训练,比如一题多变,一解多题。概率题关键是分清是何种事件,即加强 逻辑思维能力的培养。 2。审题,在概率题尤其注意关键词,比如“至少” 、 “至多” “恰好”等等

3.解题的规范性,要有解答过程。 4.加强考前的心理辅导 21 题.对试题质量及得分情况分析 本题主要考查了函数的概念,函数单调性的定义及应用、数列前 n 项 Sn 的定义。较好 地考查了学生的分析、解决问题及综合运用知识的能力,同时也考查了在解决问题中从一 般到特殊、特殊到一般、分类讨论及等价转化的思想方法。其中第1小题的区分度较高, 第2小题平均得分较低。 典型错误分析 1.未能准确的利用单调性的定义讨论函数的单调性,部分同学利用特殊值进行验证,从而 判断单调递增或递减. 2.在判断 f(x1)?f(x2)的符号时, 遇到与已知难以联系的障碍, 在 x1>x2>0 时, 可以 x1= x1 x2

?x2、x1=kx2(k>1)、x1=x2+△x(△x>0)的形式进行转化。 但部分学生令 x1=2x2 以其特殊形式进 行证明,导致过程不严密。 3.根据已知,部分学生以构造具体函数,如 f(x)=lg2x,进行计算与证明,也是导致失分 的主要情况之一。 4.未能掌握 Sn 与 an 的关系,也是第3小题失分的主要原因 教学建议 1.在高三数学复习时,仍要充分揭示概念的背景,重视概念之间的联系与区别。 2.高三数学的复习须配备适量的练习,但要重视练习的功能,注重反馈及过程的反思。 3.加强通性通用,在高三后阶段的复习中,着力培养学生选择最佳的方法,以便迅速运用 模式进行解答。 4.培养规范解题,规范书写的习惯 22 题.对试题质量及得分情况分析 本题是压轴题、是文理同题,主要考查解析几何中与抛物有关的三角形面积及其最值 问题,并且第 2.3 小题以向量为载体,考查几何问题。要求考生能综合应用数学中的代数 与几何知识,具有较强的运算能力。 得分情况很差,尤其是文科(文科抽查 2 本,其中一本平均得 1.02 分,一本平均得 0 分;理科抽查 2 本,其中一本平均得 1.56 分,一本平均得 0.07 分) 典型错误分析 → → → 1.运算能力较差:(1)四则运算差 (2)向量运算OF=λ OA+(1-λ ) OB不能运用 1 2.知识不落实:如三角形面积公式 S= abcosθ 2 3.方法不掌握:三角形面积的计算只会用 S=1/2ah 这一思想,对本题而言这一方法运算量 大,不易得分。 → → 4.转化能力差:考生不能对OA?OB=0 进行转化 5.较好方法:

(1)OA,OB 的方程为 y ? k1 x, y ? k2 x ,设 A(

2p 2p 2p 2p , ), B( 2 , ) 2 k1 k1 k2 k2
由 y ? 0得 x ?

∴AB 的方程为 y ?

kk 2p 2p ? 1 2 (x ? 2 ) k2 k1 ? k2 k2

?2 p k1k2

1 2 p 2 p 2 p2 1 1 2p ?S ? x ? ? ? ? k2 ? k1 2 k1 k2 k1k2 k1 k2 (k1k2 )2
(2) S AOB ?

1 1 OA·OB OA OB sin ?AOB ? sin∠AOB 2 cos∠AOB 2

→ →

1 → → = OA·OB· tan∠AOB 2 =

k ?k 1 1 2 p2 ( x1 x2 ? y1 y2 ) 2 1 ? x1 x2 k2 ? k1 ? 2 2 k2 ? k1 2 1 ? k1k2 2 k1 k2

教学建议 1、切实抓好基础知识、基础概念、基本思想、基本方法 2、加强能力运算的培养 3、对压轴题应要求考生能对有关概念进行处理,得到相应的分数

具体建议和反思如下: 1· 对所学知识、技能进行反思,对本课、本单元或本章节涉及到的知识,有没 有达到所要求的程度。 2· 对所蕴涵的数学思想和方法的理解和运用达到要求没有, 这些思想方法是如 何运用的,运用过程中有什么特点。 3· 重视“三基”,要落在实处,要通过解题,注意信息的反馈,及时补救,达到 牢固掌握。 4· 提高学生的思维品质,常规的运算方法,运算能力,逻辑推理能力以及动手 操作能力。 5· 培养学生的探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力。 6· 通过应用型问题的教学,培养学生观察生活,收集资料,分拣归类,处理信 息的能力。提高他们的创新意识和创新能力。

资料提供:郑佩勇 程火豪 戴世生 朱国垣 陈少俊 张娟萍 谢连福 2005 年3月。


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