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浙江省金华市磐安县第二中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题_图文

2015 学年上学期高二数学期中试卷
时间:120 分钟 总分:150 分

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. 直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 的倾斜角是( D. ) A . ?

?
6

5 6

B.

2? 3

C .

?
3

2. 直线 x ? ay ? 1 ? 0 与直线 (a ? 1) x ? 2 y ? 3 ? 0 互相垂直,则 a 的值为( A. ?2 B. ?1
2 2



C. 1

D. 2 )

3.设实数 x, y 满足 ( x ? 2) ? y ? 3 ,那么

y 的最大值是 ( x

A.

1 2

B.

3 3

C.

3 2

D.

3
)

4.动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍,则动点 P 的轨迹方程为(

A.x ? y ? 32
2 2

B.x ? y ? 16
2 2

C.( x ? 1) ? y ? 16
2 2

D.x ? ( y ? 1) ? 16
2 2

5.用斜二测画法画水平放置的边长为 2 的正三角形的直观图,所得直观图的面积为( A.



6 2

B.

6 4

C.

2 4

D.

3 2
).

6. 已知两条相交直线 a,b,a//平面??,则 b 与 ??的位置关系是( A.b ? 平面? 平面? C.b∥平面? D.b⊥平面? )

????????????????????????B.b 与平面?相交,或 b∥

7.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ?

B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? D.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ? )

8.四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不正确 的是( ... (A) AB∥平面 SCD (B) AC⊥SB

(C) SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角

(D)AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角

1

二、填空题(本大题共 7 小题,前 3 题每空 3 分,后 4 题 4 分,共 37 分) 9.圆 点的个数是 . ;体积 . 的圆心坐标 , 半径 , 该圆上到直线 的距离为 的

10.一个几何体的三视图如图所示:则该几何体的表面积

11.在空间直角坐标系中,点 A(1,0,2) 关于平面 标 为

xoy 的对称点坐

; 在 z 轴上一点 C ,使得点 C 到点 A(1,0,2) 与点 B (1,1,1) 的距离相等,则点 C 的坐标 .
2 2 2 2

12.若圆 C1:x +y =1 与圆 C2:x +y -6x-8y+m=0 外切,则 m=

. . .

13.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,异面直线 BC1 与 CD1 所成角的余弦值为

14.长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB=AD=2 3 ,CC1= 2 ,则二面角 C1—BD—C 的大小 为 .
2 2

15.已知圆 M:x +(y-2) =1,Q 是 x 轴上的动点,QA、QB 分别切圆 M 于 A、B 两点.动弦|AB|的最小值

三、解答题(本大题共 5 小题,共 73 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 14 分)已知直线 l : x ? y ? 1 ? 0 , (1)若直线 l1 过点(3,2)且 l1 // l ,求直线 l1 的方程; (2)若直线 l 2 过 l 与直线 2 x ? y ? 7 ? 0 的交点,且 l 2 ? l ,求直线 l 2 的方程.

17. (本小题满分 14 分)已知关于 x,y 的方程 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 .
2 2

2

(1)当 m 为何值时,方程 C 表示圆. (2)若圆 C 与直线 l1 :

x+2y-4=0 相交于 M,N 两点,且|MN|=

4 ,求 m 的值. 5

18. (本小题共 15 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB / / CD , AB ? AD , CD ? 2 AB ,平面 PAD ? 底面 ABCD ,

PA ? AD , E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,
求证:(1) BE / / 平面 PAD ;(2) PA ? 底面 ABCD ;(3)平面 BEF ? 平面 PCD

P F B D E A

C

19. (本小题共 15 分)如图,四棱锥 P - ABCD 的底面是平行四边形, BA = BD =

2 , AD = 2 ,
3

PA = PD =
(Ⅱ)若 PB

5 , E , F 分别是棱 AD , PC 的中点.(Ⅰ)证明: EF // 平面 PAB ;

? 3,
? 平面 ABCD ;

(ⅰ)证明: 平面 PBC

(ⅱ)求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.

20. (本小题共 15 分)设 O 点为坐标原点,曲线 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 上有两点 P、Q 关于直线
2 2

x ? m y ? 4 ? 0 对称,且以线段 PQ 为直径的圆过坐标原点 O 。(1)求 m 的值;
(2)求直线 PQ 的方程. (3)M 为 x 轴上的一点,当 ?MPQ 为钝角三角形时,求 M 的横坐标的取值范围。

4

2015 学年上学期高二数学期中试卷 时间:120 分钟 总分:150 分

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. 直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 的倾斜角是( D. ) A . ?

?
6

5 6

B.

2? 3

C .

?
3

2. 直线 x ? ay ? 1 ? 0 与直线 (a ? 1) x ? 2 y ? 3 ? 0 互相垂直,则 a 的值为( A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2 )



3.设实数 x, y 满足 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ,那么

y 的最大值是 ( x

A.

1 2

B.

3 3

C.

3 2

D.

3
B )

4.动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍,则动点 P 的轨迹方程为(

A.x ? y ? 32
2 2

B.x ? y ? 16
2 2

C.( x ? 1) ? y ? 16
2 2

D.x ? ( y ? 1) ? 16
2 2

5.用斜二测画法画水平放置的边长为 2 的正三角形的直观图,所得直观图的面积为( A.



6 2

B.

6 4

C.

2 4

D.

3 2
).

6. 已知两条相交直线 a,b,a//平面??,则 b 与 ??的位置关系是( A.b ? 平面? ? C.b∥平面? D.b⊥平面? )

????????????????????????B.b 与平面?相交,或 b∥平面

7.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ?

B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? D.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ? ) 与 平 面

8.四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不正确 的是( ... (A) AB∥平面 SCD (B) AC⊥SB SBD 所成的角 (C) SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC

(D)AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角

5

二、填空题(本大题共 7 小题,前 3 题每空 3 分,后 4 题 4 分,共 37 分) 9.圆 的距离为 的圆心坐标 (1,2) 的点的个数是 3 . ,半径

2 5

,该圆上到直线

10.一个几何体的三视图如图所示: 则该几何体的表面积 (3+

3 )?

; 体积

7? 2

.

11.在空间直角坐标系中,点 A(1,0,2) 关于平面 标 (1,0,-2)

xoy 的对称点坐


;在 z 轴上一点 C,使得点 C 到点 A(1,0,2) 与 . . 9

B (1,1,1) 的距离相等,则点 C 的坐标为 (0,0,1)
2 2 2 2

12.若圆 C1:x +y =1 与圆 C2:x +y -6x-8y+m=0 外切,则 m= 13.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,异面直线 BC1 与 CD1 所成角的余弦值为

.

60

0

.

14.长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB=AD=2 3 ,CC1= 2 ,则二面角 C1—BD—C 的大小 为

30
3

0

.
2 2

15.已知圆 M:x +(y-2) =1,Q 是 x 轴上的动点,QA、QB 分别切圆 M 于 A、B 两点.动弦|AB|的最小值

三、解答题(本大题共 5 小题,共 73 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 14 分)已知直线 l : x ? y ? 1 ? 0 , (1)若直线 l1 过点(3,2)且 l1 // l ,求直线 l1 的方程; (2)若直线 l 2 过 l 与直线 2 x ? y ? 7 ? 0 的交点,且 l 2 ? l ,求直线 l 2 的方程.

17. (本小题满分 14 分)已知关于 x,y 的方程 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 .
2 2

(1)当 m 为何值时,方程 C 表示圆. (2)若圆 C 与直线 l1 :

x+2y-4=0 相交于 M,N 两点,且|MN|=

4 ,求 m 的值. 5

6

AB / / CD ,AB ? AD , CD ? 2 AB , 18. (本小题共 15 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,
PAD ? 底面 ABCD , PA ? AD , E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,
求证: (1)BE / / 平面 PAD ; (2)PA ? 底面 ABCD ; (3) 平面 BEF ? 平面 PCD

P 平面

F B D E A
7

C

18.解析: (I)因为平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA 垂直于这个平面的交线 AD 所以 PA 垂直底面 ABCD. (II)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点 所以 AB∥DE,且 AB=DE 所以 ABED 为平行四边形, 所以 BE∥AD,又因为 BE ? 平面 PAD,AD ? 平面 PAD 所以 BE∥平面 PAD. (III)因为 AB⊥AD,而且 ABED 为平行四边形 所以 BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知 PA⊥底面 ABCD, 所以 PA⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD 所以 CD⊥PD,因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点 所以 PD∥EF,所以 CD⊥EF,所以 CD⊥平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PCD.

19. (本小题共 15 分)如图,四棱锥 P - ABCD 的底面是平行四边形, BA = BD =

2 , AD = 2 ,

PA = PD =

5 , E , F 分别是棱 AD , PC 的中点.

(Ⅰ)证明: EF // 平面 PAB ; (Ⅱ)若 PB

? 3,
? 平面 ABCD ;

(ⅰ)证明: 平面 PBC

(ⅱ)求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.

1 19、解析: (I))证明:如图取 PB 中点 M,连接 MF,AM.因为 F 为 PC 中点,故 MF//BC 且 MF= 2 BC.由已知有
BC//AD,BC=AD.又由于 E 为 AD 中点,因而 MF//AE 且 MF=AE,故四边形 AMFE 为平行四边形,所以 EF//AM, 又 AM ? 平面 PAB,而 EF ? 平面 PAB,所以 EF//平面 PAB. (II) (i)证明:连接 PE,BE.因为 PA=PD,BA=BD,而 E 为 AD 中点,故 PE ? AD,BE ? AD,所以 ? PEB 为二面角 P-AD-B 的平面角 . 在三角形 PAD 中,由 ,可解得 PE=2. 在三角形 ABD 中,由

8

? ? ,可解得 BE=1. 在三角形 PEB 中,PE=2, BE=1, ?PEB ? 60 PB= 3 ,从而 ?PBE ? 90 ,即

BE ? PB,又 BC//AD,BE ? AD,从而 BE ? BC, 因此 BE ? 平面 PBC.又 BE ? 平面 ABCD, 所以平面 PBC ? 平面 ABCD, (ii) 连接 BF, 由 (i) 知 BE ? 平面 PBC.所以 ? EFB 为直线 EF 与平面 PBC 所成的角, 由 PB= 3 , PA= 5 ,AB= 2
3 11 11 1 得 ? ABP 为直角,而 MB= 2 PB= 2 , 可得 AM= 2 , 故 EF= 2 , 又 BE=1 ,故在直角三角形 EBF 中, sin ?EFB ? BE 2 11 2 11 ? . EF 11 所以,直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为 11

20 . (本小题共 15 分)设 O 点为坐标原点,曲线 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 上有两点 P 、 Q 关于直线

x ? m y ? 4 ? 0 对称,且以线段 PQ 为直径的圆过坐标原点 O 。
(1)求 m 的值; (2)求直线 PQ 的方程. (3)M 为 x 轴上的一点,当 ?MPQ 为钝角三角形时,求 M 的横坐标的取值范围。 20.解析: :22、 (1)曲线方程为(x+1) +(y-3) =9,表示圆心为(-1,3),半径为 3 的圆. ∵点 P,Q 在圆上且关于直线 x+my+4=0 对称. ∴圆心(-1,3)在直线上,代入直线方程得 m=-1. (2)∵直线 PQ 与直线 y=x+4 垂直, ∴设 P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ 方程为 y=-x+b. 将 y=-x+b 代入圆方程得, 2x +2(4-b)x+b -6b+1=0. Δ =4(4-b) -8×(b -6b+1)>0,∴2-3 2<b<2+3 2, 由韦达定理得,x1+x2=b-4,x1·x2=
2 2 2 2 2 2

b2-6b+1
2



y1·y2=(-x1+b)(-x2+b)
=b -b(x1+x2)+x1·x2=
2

b2+2b+1
2



∵·=0,∴x1x2+y1y2=0, 即

b2-6b+1 b2+2b+1
2 + 2

=0.解得 b=1∈(2-3 2,2+3 2).

∴所求的直线 PQ 方程为 y=-x+1.

9

由?

? y ? ?x ?1
2 2 ?x ? y ? 2 x ? 6 y ? 1 ? 0

得 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , 解 得 x ?

? 3 ? 17 ? 3 ? 17 5 ? 17 , 所 以 P( , ), 2 2 2

Q(

? 3 ? 17 5 ? 17 , ) 2 2
?3 5 , ) ,所以以 PQ 为直径的圆与 x 2 2

1? 、若 ?PMQ 为钝角时,M 点在以 PQ 为直径的圆内。而 PQ 中点为 (
轴交于两点 O(0,0), A(?3,0) ,所以 ? 3 ? x ? 0 。

2? 、当 ?MPQ 为钝角时,过 P 点且垂直于 PQ 的直线方程为 y ?
x ? ?4 ? 17 ,所以 x ? ?4 ? 17
3? 、当 ?MQP 为钝角时,过 Q 点且垂直于 PQ 的直线方程为 y ?

5 ? 17 3 ? 17 ,令 y ? 0 得 ? x? 2 2

5 ? 17 ? 3 ? 17 ,令 y ? 0 得 ? x? 2 2

? y ? ?x ?1 得直线 PQ 与 x 轴的交点为 M (1,0) ,此时 M,P,Q 三点共 x ? 17 ? 4 ,所以 x ? 17 ? 4 ,由 ? y ? 0 ?
线,所以 x ? 17 ? 4 且 综上:当 ?MPQ 为钝角三角形时,M 的横坐标的取值范围为:

(??,?4 ? 17) ? (?3,0) ? ( 17 ? 4,1) ? (1,??)

10