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北京市西城区某重点中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学(理)试题(无答案)


高二年级第一学期数学试卷
一、选择题:本大题共 14 小题,每小题 4 分,共 56 分 1. 抛物线 y 2 ? 8x 的焦点坐标为_____ A. (1,0)B. (0,1)C. (2,0)D. (0,2) 2. 若 a, b 为异面直线,直线 c ∥ a ,则 c 与 b 的位置关系是______ A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 异面或相交 3. 设条件甲为“ 0 ? x ? 5 ” ,条件乙为“ | x ? 2 |? 3 ” ,则甲是乙的_____ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 4. 若双曲线 A. 2 B. D. 既不充分也不必要条件

x2 y2 ? ? 1?a ? 0? 的离心率为 2,则 a 等于_____ 3 a2

3

C.

3 2

D. 1

5. 若某空间几何体的三视图如图所示,则该几 何体的体积是_____

A. 2

B. 1

C.

2 3

D.

1 3

[来源:学|科|网]

6. 已知△ABC 的顶点 B,C 均在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点 3

在 BC 边上,则△ABC 的周长是______ A. 2 3 B. 6 C. 4 3 D. 12

7. 过点(2,4) ,与抛物线 y 2 ? 8x 有且仅有一个公共点的直线有_____ A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条

8. 双曲线 8kx 2 ? ky 2 ? 8 的一个焦点是(0,3) ,那么 k 的值是_____ A. -1 B. 1 C. ?

65 3

D.

65 3

9. 已知直线 l , m, n 和平面 ? , ? ,在下列命题中真命题是_____ A. 若 ? 内有无数多条直线垂直于 ? 内的一条直线,则 ? ? ? B. 若 ? 内有不共线的三点到 ? 的距离相等,则 ? ∥ ?

1

C. 若 l, m 是两条相交直线, l ∥? , m ∥? , 且n ? l , n ? m ,则 n ? ? D. 若 l ∥? , m ∥ ? , ? ∥ ? , 则l ∥ m 10. 过抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线交抛物线于 A、 两点, B 若线段 AB 的长 为 8,则 p 的值是______ A. 2 B. 4 C.
8 5

D.

16 9

11. 在正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若点 P 到直线 BC 的距离与点 P 到直 线 C1 D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是___ A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线

12. 直线 y ? kx ? 2k ? 1 与曲线 y ?

1 4 ? x 2 有公共点,则 k 的取值范围是___ 2

1 1 1 ? 1 ? A. (?? ,? ] ? ?0,?? ? B. ( ?? ,? ] C. [? ,?? ) D. ? ? , ? ? ? 4 4 4 ? 2 ?

13. 若两直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0与6 x ? my ? 2 ? 0 平行,则它们之间的距离为____
A. 1
2 2

B.

1 2
2 2

C.

2 5

D.

4 5

14. 圆 x ? y ? 2x ? 3 ? 0 与圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的位置关系是____ A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内含

二、填空题:本大 题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分 15. 一个圆柱的侧面展开图是一个边长为 1 的正 方形,则该圆柱的体 积是__ ______。 命题“ ?x ? R ,
x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:__________________.

16. 已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F( ? 2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准 方程是________。 17. 已知 OA 为球 O 的半径,过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圆 M,若圆 M 的面积为
3? ,则球 O 的表面积等于___________。

18. 已知椭圆 C :

x2 x2 2 ? y 2 ? 1 的两焦点为 F1 , F2 ,点 P?x0 , y0 ? 满足 0 ? 0 ? y 0 ? 1 ,则 | PF1 | ? | PF2 | 的 2 2
x0 x ? y 0 y ? 1 与椭圆 C 的公共点个数是 ________。 2

取值范围为________,直 线

2 2 19.已知圆 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 与直线 l : y ? x ? 2 相切,且圆 D 与圆 C 关于直线 l 对称, 则圆 D 的方程

是___________。

三、解答题:共 24 分

2

17.(8 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AP=AB,BP=BC =2,E,F 分别是 PB,PC 的中点。 (1)证明: EF∥平面 PAD; (2)求三棱锥 E-ABC 的体积 V。

18.(8 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的右焦点为 F2 (3,0) , a2 b2

离心率为 e ?

3 。 (1)求椭圆的方程。 (2)设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A,B 两点,M,N 2

分别为线段 AF2 , BF2 的中点,若坐标原点 O 在以 MN 为直径的圆上,求 k 的值。

19. 已知 Rt△ABC 的顶点坐标 A(-3,0) ,直角顶点 B(-1,- 2 2 ) ,顶点 C 在 x 轴上。 (1)求 BC 边所在直线的方程; (2)圆 M 为 Rt△ABC 外接圆,其中 M 为 圆心,求圆 M 的方程; (3)直线 l 与 Rt△ABC 外接圆相切于第一象限,求切线与两坐标轴所围成的三角形面积最小时的 切线方程。
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

3

卷(II) 一、选择题:本大题共 3 小题,每小题 4 分,共 12 分 1. 已知点 P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的 距离之和的最小值为______ 3 A.

17 2

B. 3

C.

5

D.

9 2

2. 长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 的 8 个顶点在同一球面上,且 AB=2,AD= 3 , AA1 ? 1 ,则顶点 A, B 间的球面距离是______ A. 2 2? B.

2?

C.

2? 2

D.

2? 4

3. 若点 O 和点 F 分别为椭圆 最大值为_____ A. 2

x2 y2 ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 OP? FP 的 4 3

B. 3

C. 6

D. 8

二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 4 分,共 12 分
x2 y 2 4. 若正四面体的棱长为 a ,则其体积是__________。已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为 a b
2 ,焦点与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为 25 9

;渐近线方程为

___________. 5. 已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D,且 BF ? 2FD , 则 C 的离心率为_________。 6. 自半径为 R 的球面上一点 P 引球的两两垂直的弦 PA、PB、PC,则 PA2 ? PB2 ? PC 2 ? ___________。 过点(1,2)总可作两条直线与圆 x 2 ? y 2 ? kx ? 2 y ? k 2 ? 15 ? 0 相切,则实数 k 的取值范围是_______ 三、解答题:本大题共 3 小题,共 26 分

8.(8 分) 已知直三棱柱 ABC? A1 B1C1 中,AB⊥AC,AB=AC= AA1 , D,E,F 分别为 AB1 , CC1 , BC 的中点。 (1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求证: B1 F ⊥平面 AEF。

4

[来源:学§科§网]

9(8 分).动圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 2ax ? 4ay ? 5 ? 0 。 (1)若 a ? 2 ,且直线 y ? 3x 与圆 C 交于 A,B 两点,求弦长 | AB | ; (2)求动圆圆心 C 的轨迹方程; (3)若直线 y ? kx ? 2k 与动圆圆心 C 的轨迹有公共点,求 k 的取值范围。

10.(10 分) 设 b ? 0 ,椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ? 1 ,抛物线方程为 x 2 ? 8? y ? b? ,如图所示,过点 F(0, 2b 2 b

b ? 2 )作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G,已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦

点 F1 。 (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A,B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在 抛物线上是否存在点 P ,使得△ABP 为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由 (不必具体求出这些点的坐标) 。

5


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