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2019人教版新高一数学暑期课程 第3讲 二次方程与二次不等式 学案无答案精品教育.doc

适用学科

第三讲 二次方程与二次不等式

数学

适用年级

高一

适用区域

通用

课时时长(分钟)

120

知识点 一元二次方程与一元二次不等式

教学目标

掌握一元二次方程解法,根的判别式,根与系数的关系; 掌握一元二次不等式的一般方法

教学重点 一元二次不等式的一般解法、二次方程与二次不等式的关系 教学难点 初步建立分类讨论思想和等价转换思想.

教学过程

一、一元二次方程

【要点回顾】 1.一元二次方程的根的判断式

一 元 二 次 方 程 a 2x? b? x0 ? c ( ?,0a 用) 配 方 法 将 其 变 形

为:



由于可以用 b2 ? 4ac 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此,把 b2 ? 4ac 叫做

一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根的判别式,表示为: ? ? b2 ? 4ac

对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0),有

[1]当 Δ 0 时,方程有两个不相等的实数根:



[2]当 Δ 0 时,方程有两个相等的实数根:



[3]当 Δ 0 时,方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系

定理:如果一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的两个根为 x1, x2 ,那么:
说明:一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现,所以通常把

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此定理称为”韦达定理”.上述定理成立的前提是 ? ? 0 .

特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其两根,由韦达

定理可知

x1+x2=-p,x1·x2=q,即

p=-(x1+x2),q=x1·x2,

所以,方程 x2+px+q=0 可化为 x2-(x1+x2)x+x1·x2=0,由于 x1,x2 是一元二次方程 x2

+px+q=0 的两根,所以,x1,x2 也是一元二次方程 x2-(x1+x2)x+x1·x2=0.因此有

以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2-(x1+x2)x+x1·x2=0.

【例题选讲】

例 1 已知关于 x 的一元二次方程 3x2 ? 2x ? k ? 0 ,根据下列条件,分别求出 k 的范围:

(1)方程有两个不相等的实数根; (2)方程有两个相等的实数根

(3)方程有实数根;

(4)方程无实数根.

例 2 已知实数 x 、 y 满足 x2 ? y2 ? xy ? 2x ? y ?1 ? 0 ,试求 x 、 y 的值.

例 3 若 x1, x2 是方程 x2 ? 2x ? 2007 ? 0 的两个根,试求下列各式的值:

(1) x12 ? x22 ;

(2) 1 ? 1 ; x1 x2

(3) (x1 ? 5)(x2 ? 5) ;

(4) | x1 ? x2 | .

例 4 已知 x1, x2 是一元二次方程 4kx2 ? 4kx ? k ?1 ? 0 的两个实数根.

(1) 是否存在实数 k ,使 (2 x1 ?x2)( x1 ?2 x2)

??

3 成立?若存在,求出 k 的值;若不存在, 2

请说明理由.

(2) 求使 x1 ? x2 ? 2 的值为整数的实数 k 的整数值. x2 x1
【巩固练习】

1.若

x1 ,

x2 是方程 2x2

?6x ?3 ?

0 的两个根,则

1 x1

?

1 x2

的值为(

A. 2

B. ?2

C. 1 2

)
D. 9 2

2.若 t 是一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根,则判别式 ? ? b2 ? 4ac 和完全平方式

M ? (2at ? b)2 的关系是( )

A. ? ? M

B. ? ? M

C. ? ? M

D.大小关系不能确定

3.设 x1, x2 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的两实根,x1 ?1, x2 ?1 是关于 x 的方程 x2 ? qx ? p ? 0 的 两实根,则 p = ___ __ , q = _ ____ .

4.已知实数 a, b, c 满足 a ? 6 ? b, c2 ? ab ? 9 ,则 a = ___ __ , b = _____ , c = _____ .

5.已知关于 x 的方程 x2 ? 3x ? m ? 0的两个实数根的平方和等于 11,求证:关于 x 的方程

(k ? 3)x2 ? kmx ? m2 ? 6m ? 4 ? 0 有实数根.
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6.若 x1, x2 是关于 x 的方程 x2 ? (2k ?1)x ? k 2 ?1 ? 0 的两个实数根,且 x1, x2 都大于 1. (1) 求实数 k 的取值范围;(2) 若 x1 ? 1 ,求 k 的值. x2 2

二、一元二次不等式

【要点回顾】 1.一元二次不等式及其解法
[1]定义:形如

为关于 x 的一元二次不等式.

[2]一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) 与二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 及一元

二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的关系(简称:三个二次).
(ⅰ)一般地,一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解,步骤如下: (1) 将二次项系数先化为正数; (2) 观测相应的二次函数图象.
①如果图象与 x 轴有两个交点 (x1, 0), (x2, 0) ,此时对应的一元二次方程有两个不相等的实

数根 x1, x2 (也可由根的判别式 ? ? 0 来判断) .则

②如果图象与 x 轴只有一个交点 (? b , 0) ,此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根 2a

xx

?

x2

?? b 2a

(也可由根的判别式 ? ? 0 来判断)

.则:

③如果图象与 x 轴没有交点,此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式

? ? 0 来判断) .则:

(ⅱ)解一元二次不等式的步骤是:

(1) 化二次项系数为正;

(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积,则求出两根 x1, x2 .那么“ ? 0 ”型的解为

x ? x1或x ? x2 (俗称两根之外);“ ? 0 ”型的解为 x1 ? x ? x2 (俗称两根之间);

(3) 否则,对二次三项式进行配方,变成 ax2 ? bx ? c ? a(x ? b )2 ? 4ac ? b2 ,结合完全

2a

4a

平方式为非负数的性质求解. 2.简单分式不等式的解法
解简单的分式不等式的方法:对简单分式不等式进行等价转化,转化为整式不等式,应 当注意分母不为零. 3.含有字母系数的一元一次不等式

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一元一次不等式最终可以化为 ax ? b 的形式. [1]当 a ? 0 时,不等式的解为: x ? b ;
a [2]当 a ? 0 时,不等式的解为: x ? b ;
a [3]当 a ? 0 时,不等式化为: 0? x ? b ; ① 若 b ? 0 ,则不等式的解是全体实数;② 若 b ? 0 ,则不等式无解.
【例题选讲】 例 1 解下列不等式:
(1) x2 ? x ? 6 ? 0

(2) (x ?1)(x ? 2) ? (x ? 2)(2x ?1)

例 2 解下列不等式:

(1) x2 ? 2x ? 8 ? 0

(2) x2 ? 4x ? 4 ? 0

(3) x2 ? x ? 2 ? 0

例 3 已知对于任意实数 x , kx2 ? 2x ? k 恒为正数,求实数 k 的取值范围.

例 4 解下列不等式: (1) 2x ? 3 ? 0 x ?1
例 5 求关于 x 的不等式 m2x ? 2 ? 2mx ? m 的解.
【巩固练习】 1.解下列不等式:

(2) 1 ? 3 x? 2

(1) 2x2 ? x ? 0

(2) x2 ? 3x ?18 ? 0

(3) ?x2 ? x ? 3x ?1

(4) x(x ? 9) ? 3(x ? 3)

2.解下列不等式:

(1) x ?1 ? 0 x ?1

(2) 3x ?1 ? 2 2x ?1

3.解下列不等式:

(1) x2 ? 2x ? 2x2 ? 2

4.解关于 x 的不等式 (m ? 2)x ? 1? m .

(3) 2 ? ?1 (4) 2x2 ? x ?1 ? 0

x

2x ?1

(2) 1 x2 ? 1 x ? 1 ? 0 2 35

5.已知关于 x 的不等式 mx2 ? x ? m ? 0 的解是一切实数,求 m 的取值范围.

6.若不等式

x

? k

2

?

1?

x?3 k2

的解是

x

?

3

,求

k

的值.

7. a 取何值时,代数式 (a ?1)2 ? 2(a ? 2) ? 2 的值不小于 0?

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