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高中数学选修2-2模块综合检测题含答案


高二数学选修 2-2 综合测试测试题
(时间:120 分钟 满分:150 分)

班级

姓名

得分

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知 i 是虚数单位.在复平面内,复数

1? i 的共轭复数对应的点在 i

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2 2.函数 y=(1-sinx) 的导数是( ) A.y=2sin2x-cosx B.y=sin2x+2cosx C. y=2sin2x-2cosx D.y=sin2x-2cosx 3.曲线

f ( x) ? x3 ? x ? 2 在点 P 处的切线的斜率为 4,则 P 点的坐标为(



A. (1, 0) B. (1, 0) 或 (?1, ?4) C. (1,8) D. (1,8) 或 (?1, ?4) 4.观察按下列顺序排列的等式:9×0+1=1,9×1+2=11,9×2+3=21,9×3+4=31,?, 猜想第 n(n∈N*)个等式应为( ) A.9(n+1)+n=10n+9 B.9(n-1)+n=10n-9 C.9n+(n-1)=10n-9 D.9(n-1)+(n-1)=10n-10 5.如图阴影部分的面积是( ) 1 1 1 1 A.e+ B.e+ -1 C.e+ -2 D.e- e e e e 3 2 6. 若函数 f(x)=x +x +mx+1 是 R 上的单调增函数, 则 m 取值范围是( ) 1 1 A.m>3 B.m≥ C.m< D.m<0 3 3 7. 用数学归纳法证明不等式“

1 1 1 13 ? ??? ? (n ? 2) ”时的过程中,由 n ? k n ?1 n ? 2 2n 24
) B.增加了两项

到 n ? k ? 1 时,不等式的左边( A.增加了一项

1 2(k ? 1)

1 1 ? 2k ? 1 2(k ? 1)

C.增加了两项

1 1 1 ? ,又减少了 ; k ?1 2k ? 1 2(k ? 1) 1 1 ,又减少了一项 ; k ?1 2(k ? 1)

D.增加了一项

8. 已 知 三 角 形 的 三 边 分 别 为 a, b, c , 内 切 圆 的 半 径 为 r , 则 三 角 形 的 面 积 为

s?

1 ( a ? b ? c)r ;四面体的四个面的面积分别为 s1 , s2 , s3 , s4 ,内切球的半径为 R 。类比 2
) B. V ?

三角形的面积可得四面体的体积为(

1 ( s1 ? s 2 ? s3 ? s 4 ) R 2 1 C. V ? ( s1 ? s 2 ? s3 ? s 4 ) R 4
A. V ?

1 ( s1 ? s 2 ? s3 ? s 4 ) R 3

D. V ? (s1 ? s2 ? s3 ? s4 ) R

-1-

9. 函数 f ( x) ? sin x ? ln( x 2 ?1) 的部分图像可能是
y
y y y

O

.

x

O

.

x

O

x

O

x

A
3 2 2 2 则 x1 等于( ? x2

B ) C.

C

D

10. 如图是函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 的大致图象,

A.

2 3

B.

4 3
x

8 3

D.

12 3

11.已知点 P 在曲线 y ? A. ? 0,

4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围是 e ?1
B. ?

? ?? ? ? 4?

?? ? ? , ? ?4 2?

C. ?

? ? 3? ? , ?2 4 ? ?

D. ?

? 3? ? ,? ? ? 4 ?

12 .已知函数 f ( x) ?

x3 mx 2 ? (m ? n) x ? 1 ? 的两个极值点分别为 x1 , x2 ,且 x1 ? (0,1) , 3 2

x2 ? (1, ??) ,点 P(m, n) 表示的平面区域为 D ,若函数 y ? loga ( x ? 4)(a ? 1) 的图像上存
在区域 D 内的点,则实数 a 的取值范围为 A. ?1,3? B. ?1,3? C. ?3, ??? D. ?3, ?? ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上) 13. 函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1 在闭区间 [?3,0] 上的最大值与最小值分别为: 14. 用火柴棒按下图的方法搭三角形:

按 图 示 的规 律 搭下 去 ,则 所 用 火柴 棒 数 an 与 所 搭三 角 形 的个 数 n 之 间 的 关系 式 可 以 是 . 15. 正项等比数列 {an } 中的 a1 , a4031 是函数 f ( x) ?

log 6 a2016 ?

1 3 x ? 4 x 2 ? 6 x ? 3 的极值点,则 3

16..对于定义在区间 [ a, b] 上的函数 f ( x) ,给出下列命题: (1)若 f ( x) 在多处取得极大值, 那么 f ( x) 的最大值一定是所有极大值中最大的一个值; (2)若函数 f ( x) 的极大值为 m , 极小值为 n ,那么 m ? n ; (3)若 x0 ? (a, b) ,在 x 0 左侧附近 f ' ( x) ? 0 ,且 f ' ( x0 ) ? 0 , 则 x 0 是 f ( x) 的极大值点; (4)若 f ' ( x) 在 [ a, b] 上恒为正,则 f ( x) 在 [ a, b] 上为增函数, 其中正确命题的序号是 .

-2-

三、解答题(本解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17(10 分). 用总长 14.8m 的钢条做一个长方体容器的框架.如果所做容器的低面的一边长比另 以一边长多 0.5m 那么高是多少时容器的容积最大,并求出它的最大容积.

18.当 n ? N 时,S n ? 1 ?
*

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ,Tn ? ? ? ??? . 2 3 4 2n ? 1 2n n ?1 n ? 2 n ? 3 2n

(1)求S1, S2 , T1, T2 .

(2)猜想Sn 与Tn 的关系, 并用数学归纳法证明 .

19. 已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx 2 , a, b ? R .若 f ( x) 在 x ? 1 处与直线 y ? ?

1 相切. 2

(1)求 a, b 的值;

(2)求 f ( x) 在 [ , e] 上的最大值.

1 e

20. 如图所示几何体是正方体 ABCD ? A1B1C1D1 截去三棱锥

D1
M

C1

B1 ? A1BC1 后所得,点 M 为 AC 1 1 的中点. MBD ; (1) 求证:平面 AC 1 1D ? 平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值. (2) 求平面 A 1BC1 与平面
-3-

A1

D A
B

C

21. 已知数 {an } 的前 n 项和为 Sn ,首项为 a1 ,且

1 , an , S n 成等差数列. 2

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)数列 {bn } 满足: bn ? (log2 a2n?1 ) ? (log2 a2n?3 ) ,求 证:

1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? b1 b2 b3 bn 2

22. 已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 (a ? R ) .

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x) ? g ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 x ? 1 时, f ( x) ? g ( x) ? ln x ,求实数 a 的取值范围.

-4-

选修 2-2 综合测试答案与解析
1-6 ADBBCB 14. 2n ? 1 7-12 CBBCDB

13. 3,-17

15. 1

16. (4)

17. 解 : 设 该 容 器 低 面 矩 形 边 长 为 xm , 则 另 一 边 长 为 ( x ? 0.5)m , 此 容 器 的 高 为

h?

14.8 ? x ? ( x ? 0.5) ? 3.2 ? 2 x , 4
于是,此容器的容积为: V ( x) ? x( x ? 0.5)(3.2 ? 2 x) ? ? 2 x ? 2.2 x ? 1.6 x ,其中
3 2

0 ? x ? 1.6

(x) ? ?6 x 2 ? 4.4 x ? 1.6 ? 0 ,得 x1 ? 1 , x 2 ? ? 由V ?

4 (舍去) 15

因为, V / ( x) 在 (0,1.6) 内只有一个极值点,且 x ? (0,1) 时, V / ( x) ? 0 ,函数 V ( x) 递 增; x ? (1,1.6) 时, V / ( x) ? 0 ,函数 V ( x) 递减; 所以,当 x ? 1 时,函数 V ( x) 有最大值 V (1) ? 1? (1 ? 0.5) ? (3.2 ? 2 ?1) ? 1.8m3 即当高为 1.2 m 时, 长方体容器的容积最大,最大容积为 1.8米 . 18 解: (1) S1 ? 1 ?
3

1 1 1 1 1 7 ? , S2 ? 1 ? ? ? ? 2 2 2 3 4 12 1 1 1 1 7 T1 ? ? , T2 ? ? ? 1?1 2 2 ? 1 2 ? 2 12
即:

???????????2 分

(2)猜想: Sn ? Tn (n ? N * )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? . (n∈N*)??5 分 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 n ? 3 2n
下面用数学归纳法证明 ① n=1 时,已证 S1=T1 ?????????????????????6 分 ② 假设 n=k 时,Sk=Tk(k≥1,k∈N*) ,即:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? . ??????8 分 2 3 4 2k ? 1 2k k ? 1 k ? 2 k ? 3 2k 1 1 ? 则 Sk ?1 ? Sk ? 2k ? 1 2(k ? 1)

? Tk ? ?

1 1 ? 2k ? 1 2(k ? 1)

?????????????????10 分

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ????11 分 k ?1 k ? 2 k ? 3 2k 2k ? 1 2(k ? 1)
-5-

?
?

? 1 1 1 1 1 ? ? ??? ?? ? ? k ?2 k ?3 2k ? 1 ? k ? 1 2(k ? 1) ?
1 1 1 1 1 ? ??? ? ? (k ? 1) ? 1 (k ? 1) ? 2 2k 2k ? 1 2(k ? 1)
????????????12 分

? Tk ?1
由①,②可知,对任意 n∈N*,Sn=Tn 都成立.

19. 试题解析: (1) f ' ( x) ?

a ? 2bx . x

? f ' (1) ? 0 ?a ? 2b ? 0 1 ? ? 由函数 f ( x) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 相切,得 ? 1 ,解得: 1 ,即 ? 2 ? b ? ? f (1) ? ? ? ? ? 2 ? 2

? a ?1 ? ? 1. b? ? ? 2
(2)由(1)得: f ( x) ? ln x ? 此时, f ' ( x) ?

1 2 x ,定义域为 (0, ??) . 2

1 1 ? x2 ,令 f ' ( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 1 . ?x? x x

1 e 1 1 所以 f ( x) 在 [ , e] 上的最大值为 f (1) ? ? . e 2
20. 【答案解析】(1)见解析 (2)

所以 f ( x) 在 ( ,1) 上单调递增,在 (1, e) 上单调递减,

3 3 解析:(1) 证明:因为几何体是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 截取三棱锥 B1 ? A1BC1 后所得,

? ? DA1 ? DC1 ? ? ? ? DM ? A1C1 ? A1M ? C1M ? ? ? ? ? BA1 ? BC1 ? ? ? ? A C ? 平面 MBD ? BM ? A C ? 1 1 ? 1 1 ? A1M ? C1M ? ? ? 平面A1C1D ? 平面MBD .(6 分) ? ? ? ? ? ? ? ????????????????????DM ? BM ? M ? ? ???????????????????????????????????????????????????? A1C1 ? 平面A1C1D ? ? z (2) 以 D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 设 DA ? 1 , C1 D1 依题意知, A1 (1,0,1), B(1,1,0), C1 (0,1,1) , M ???? ????? A1 有 A1B ? (0,1, ?1), AC 1 1 ? (?1,1,0) ? 设平面 A1 BC1 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ,
D C y A B

x

-6-

? ???? ? ? y?z?0 ? n ? A1 B ? 0 有 ? ? ????? 代入得 ? , ?? x ? y ? 0 ? ?n ? A1C1 ? 0 ? ?? 设 x ? 1 ,有 n ? (1,1,1) ,平面 ABCD 的一个法向量 m ? (0,0,1) ,

? ?? n?m 3 设平面 A1 BC1 与平面 ABCD 所成锐二面角大小为 ? ,有 cos? ? ? ?? ? , 3 | n || m |
所以平面 A1 BC1 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为
3 . 3

(12 分)

21. 解(1) ∵ ,an,S n 成等差数列,∴ 2an ? S n ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? S1 ?

1 2

1 ,?????? 1 分 2

1 1 ,? a1 ? ,????????????? 2 分 2 2 1 1 当 n ? 2 时, S n ? 2an ? , S n ?1 ? 2an ?1 ? , 2 2
两式相减得: an ? S n ? S n ?1 ? 2an ? 2an ?1 , ? 所以数列 ?an ? 是首项为

an ? 2 , ???? 4 分 an ?1

1 ,公比为 2 的等比数列, 2

an ? a1 ? 2n ?1 ? 2n ?2 . ???????????????????? 6 分
(2) bn ? log 2
a2 n ?1

? log 2 a2 n ? 3 ? log 2 2

2 n ?1? 2

? log 2 2

2 n ? 3? 2

? (2n ? 1)(2n ? 1)

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) ???????? 10 分 bn 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ( [ 1 ? )( + - ) + ? +( ? )] b1 b2 b3 bn 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

=

1 1 1 (1 ? )? 2 2n ? 1 2 .

?????????

22. 试题分析: (Ⅰ) 当 a ? 0 时, 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ln x ? x ? 1 , 对 h( x) 进行求导. 令

(Ⅱ)由 h ' ( x) ? 0 ,解得函数的减区间;令 h ' ( x) ? 0 ,解得函数的增区间.

f ( x) ? g ( x) ? ln x ,代入化简得 ( x ? 1) ln x ? (ax ? 1)( x ? 1) .先讨论 x ? 1 时是否成立;
而 x ? 1 时,得 ln x ? ax ? 1 ,只需使 H ( x) ? ax ? ln x ? 1 ? 0 ,即 H ( x) min ? 0 即可.对

H ( x) ? ax ? ln x ? 1 进行讨论最小值,令 H ( x) min ? 0 ,求出满足的 a 的范围.

-7-

试题解析: (Ⅰ)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ln x ? x ? 1, ? h '( x) ? ln x. 由 h '( x) ? 0, 得x ? (0,1) ;由 h '( x) ? 0, 得x ? (1, ??)

h( x) 在 (0,1) 单调递减,在 (1, ??) 单调递增.
(Ⅱ)由 f ( x) ? g ( x) ? ln x ,得 ( x ? 1) ln x ? (ax ? 1)( x ? 1) ,因为 x ? 1, 所以:ⅰ)当 x ? 1 时, a ? R. ⅱ)当 x ? 1 时,可得 ln x ? ax ? 1 ,令 h( x) ? ax ? ln x ? 1 ,则只需 h( x) ? ax ? ln x ? 1 ? 0 即可. ⅰ)当 a ? 0 时, h '( x) ? 0 ,得 h( x) 在 (1, ??) 单调递减,且可知 h(e) ? ae ? 2 ? 0 这与

h( x) ? ax ? ln x ? 1 ? 0 矛盾,舍去;
ⅱ)当 a ? 1 时, h '( x) ? 0 得 h( x) ? ax ? ln x ? 1 在 (1, ??) 上是增函数,此时

h( x) ? ax ? ln x ? 1 ? h(1) ? a ? 1 ? 0 .
iii)当 0 ? a ? 1 时,可得 h( x) 在 (1, ) 单调递减,在 ( , ??) 单调递增,

1 a

1 a

1 h( x) min ? h( ) ? ln a ? 0 矛盾.综上:当 a ? 1 时, f ( x) ? g ( x) ? ln x 恒成立. a

-8-


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