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【苏教版】2015年秋新版高中数学必修四:1.2.1《任意角的三角函数的定义及应用》ppt课件_图文

1.2.1 任意角的三角函数的定义及应用 栏 目 链 接 1.理解任意角的三角函数的定义,理解单位圆中的 三角函数线. 2.掌握求特殊角的三角函数值的方法. 3.理解并掌握诱导公式一,会判断各种三角函数值 在各象限的符号. 典 例 剖 析 栏 目 链 接 求值 已知角 α 终边在直线 y= 3x 上,求 α 的三角函数值. 分析: 本题首先要确定终边上的点, 再利用三角函数的定义即可求出. 解析:设 P(a, 3a)(a≠0)是终边上任一点,则 tan α= 3. r= a2+( 3a)2=2|a|. 3 1 当 a>0 时,sin α= ,cos α= ; 2 2 当 a<0 时,sin α=- 3 1 ,cos α=- . 2 2 3 1 3 ∴sin α= , cos α= , tan α= 3或 sin α=- , cos α 2 2 2 1 =- ,tan α= 3. 2 变式训练 m 1.若角 α 终边上有一点 P(m,5)(m≠0),且 cos α = ,求 sin 13 α +cos α 的值. m m 解析:∵cos α= = 2 2, 13 m +5 ∴m=12 或 m=-12. 17 当 m=12 时,sin α+cos α= ; 13 7 当 m=-12 时,sin α+cos α=- . 13 判断符号 判断下列各式的符号: (1)sin 3·cos 4·tan 5; (2)α 是第二象限角,sin α ·cos α . 分析:根据角所在的象限,结合三角函数定义即可得出. 栏 目 链 接 π 3π 3π 解析:(1) <3<π,π<4< , <5<2π, 2 2 2 ∴sin 3>0,cos 4<0,tan 5<0. ∴sin 3·cos 4·tan 5>0. (2)α 是第二象限角,∴sin α>0,cos α<0. ∴sin αcos α<0. 栏 目 链 接 变式训练 2.确定下列各式的符号: (1)sin 105°·cos 230°; (2)cos 6·tan 6; (3)tan 191°-cos 191°. 栏 目 链 接 分析:角度确定了,所在象限就确定了,三角函数值的符号也就 确定了,因此,由角所在的象限分别判断两个三角函数的符号,进一 步确定各式的符号. 解析:(1)∵105°,230°分别是第二、第三象限角, ∴sin 105°>0,cos 230°<0. ∴sin 105°·cos 230°<0. 3 (2)∵ π<6<2π,∴6 是第四象限角. 2 ∴cos 6>0,tan 6<0.∴cos 6·tan 6<0. (3)∵191°是第三象限角, ∴tan 191°>0,cos 191°<0. ∴tan 191°-cos 191°>0. 栏 目 链 接 解三角不等式 在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边或终边所在的范围, 并由此写出角 α 的集合: 1 (1)sin α = ; 2 1 (2)sin α ≥ . 2 栏 目 链 接 分析: 对于(1), 可设角 α 的终边与单位圆交于 A(x, y), 则 sin α 1 =y,所以要作出满足 sin α= 的终边,只要在单位圆上找出纵坐标 2 1 为 的点 A,则 OA 即为角 α 的终边;对于(2),可先作出满足 sin α 2 1 = 的角的终边,然后根据已知条件确定角 α 的范围. 2 栏 目 链 接 1 解析:(1)作直线 y= 交单位圆于 A 与 B 两点,连接 OA,OB, 2 则 OA 与 OB 为角 α 的终边,如下图所示. 故满足上述条件的角 α 的集合为: ? ? π 5 ?α|α=2kπ+ 或α=2kπ+ π,k∈Z?. 6 6 ? ? 栏 目 链 接 1 (2)作直线 y= 交单位圆于 A 与 B 两点,连接 OA、OB,则 OA 2 与 OB 围成的区域(图中的阴影部分)即为角 α 的终边所在的范围. 故满足条件的角 α 的集合为: ? ? π 5 ?α|2kπ+ ≤α≤2kπ+ π,k∈Z?. 6 6 ? ? 栏 目 链 接 ? 1 2 ? ◎规律总结:求解一些简单的特殊值?如± , 等? 2 2 ? ? 的三角等式或三角不等式时, 应首先在单位圆内找到对应的终边 (作纵坐标为特殊值的直线与单位圆相交,连接交点与坐标原点作射 线),一般情况下,用(0,2π)内的角表示它,然后画出满足原等式或 不等式的区域,用集合表示出来. 本题把正弦改为余弦,你能利用单位圆求出角 α 的范围吗?进 一步,你能求函数 y= 1+2cos x的定义域吗? 栏 目 链 接 变式训练 3.求函数 y= -sin x-tan x 的定义域. 分析:建立不等式组求交集. 解析:要使函数有意义,必须有: -sin x≥0, sin x≤0, ? ? ? ? ?? ? ? π π ? ?x≠kπ+ 2 ,k∈Z ? ?x≠kπ+ 2 ,k∈Z 2kπ+π≤x≤2kπ+2π, ? ? ? π ?x≠kπ+ 2 ,k∈Z. ? 故函数的定义域为: ? 3π 3π ? {x 2kπ+π≤x<2kπ+ 或 2kπ+ <x≤2kπ+2π,k∈Z}. 2 2 ? 栏 目 链 接