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宁夏银川一中2015届高三上学期第五次月考试题 数学(文) Word版


银川一中 2015 届高三年级第五次月考

数 学 试 卷(文)
命题人:张德萍

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 P ? {x | x2 ? 1}, M ? {a} ,若 P A. (??, ?1] B. [1, ??)

M ? P ,则 a 的取值范围是(
C. [?1,1]



D. (??, ?1] [1, ??) ) D. ?1 或 1

2.若复数 z ? ( x2 ?1) ? ( x ?1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为( A. ?1 3.已知 sin ? ? A. ? B. 0 C. 1 )

2 ,则 cos(? ? 2? ) =( 3
B. ?

5 3

1 9

C.

1 9

D.

5 3


4.“ m ? ?1 ”是“直线 mx? (2m ? 1) y ? 2 ? 0 与直线 3x ? my ? 3 ? 0 垂直”的( A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 5. 已知双曲线 为( ) B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点在圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 5 ? 0 上, 则双曲线的渐近线方程 9 m

A. y ? ?

3 x 4

B. y ? ?

4 x 3

C. y ? ?

5 x 3

D. y ? ?

3 2 x 4

?0 ? x ? 2 ? ? 6.已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ? 2 给定.若 M(x,y)为 D 上动点, ? ?x ? 2 y ?

点 A 的坐标为( 2 ,1).则 z ? OM ? OA 的最大值为( A.3 B.4
2 2

) D.4 2 )

C.3 2

7. 过点 P(- 3, -1)的直线 l 与圆 x +y =1 有公共点, 则直线 l 的倾斜角的取值范围是( A.?0,

? ?

π? ? 6?

B.?0,

? ?

π? ? 3?

C.?0,

? ?

π? ? 6?

D.?0,

? ?

π? ? 3?

8.已知直线 m、l ,平面 ?、? ,且 m ? ? , l ? ? ,给出下列命题: ①若 ? ∥ ? ,则 m⊥ l ; ②若 ? ⊥ ? ,则 m∥ l ;

③若 m⊥ l ,则 ? ∥ ? ; ④若 m∥ l ,则 ? ⊥ ?
-1-

其中正确命题的个数是 ( A.1 9.过椭圆 B.2

) C.3 D.4

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦点, a 2 b2


若 ?F 1PF 2 ? 60 ,则椭圆的离心率为( A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

10. ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,若 B ? 2 A , a ? 1 , b ? 3 , 则c ? ( A.1 ) B.2 C. 2 D.2 或 1

11.已知函数 f(x)= 3sin ω x+cos ω x(ω >0),x∈R.在曲线 y=f(x)与直线 y=1 的交 π 点中,若相邻交点距离的最小值为 ,则 f(x)的最小正周期为( 3 A. π 2 B. 2π 3 C.π D.2π )

? x ? 1 (0 ? x ? 1) ? 12. 已知函数 f ( x) ? ? x 1 ,设 a ? b ? 0 ,若 f (a) ? f (b) ,则 b ? f (a) 的取 ( x ? 1) 2 ? ? ? 2
值范围是( A. ?1,2? ) B. ? ,2?

?3 ? ?4 ?

C. ? ,2 ?

?1 ? ?2 ?

D. ? ,2 ? ?4 ?

?3 ?

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知向量 a, b 满足 (a ? 2b) ? (a ? b) ? ?6 ,且 a ? 1, b ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为 _____________________. 14.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体内切球的体积为 . 15.已知点 P(0,1)是圆 x +y -4 y=0 内一点,AB 为过 点 P 的弦,且弦长为 14 ,则直线 AB 的方程为______________________.
2 2

4 x2 y2 ? ? 1 所截线段的中点坐标为 16. 过点(3,0)且斜率为 的直线被椭圆 5 25 16
三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤
-2-

.

17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S3 ? 0 , S5 ? ?5 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)求数列 {

1 } 的前 n 项和. a2 n ?1a2 n ?1

18. (本小题满分 12 分) 如 图 , 已 知 函 数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? (0,1),它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低 点的坐标分别为 ( x0 ,2) 和 ( x0 ? 2? ,?2) . (1)求函数 f ( x) 的解析式及 x0 的值; (2) 在 ?ABC 中,角A,B,C成等差数列 ,求 f ( x ) 在 ?B, x0 ? 上的值域 19. (本小题满分 12 分) 如图在直棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC= 2 , AA1=3,D 是 BC 的中点,点 E 在棱 BB1 上运动. (1)证明:AD⊥C1E; (2)当异面直线 AC,C1E 所成的角为 60°时,求三棱锥 C1-A1B1E 的体积.

?
2

) 的图象与 y 轴的交点为

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x y 6 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 短轴一个端点到右焦点的距离为 a b 3
2 2 2 2

3.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 积的最大值. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e (ax ? b) ? x ? 4 x ,曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处切线方程为
x 2

3 ,求 ?AOB 面 2

y ? 4x ? 4 .
(1)求 a, b 的值; (2)讨论 f ( x) 的单调性,并求 f ( x) 的极大值.
-3-

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, ⊙ O 是△ ABC 的外接圆,D 是⌒ AC 的中点,BD 交 AC 于 E. (Ⅰ)求证: DC 2 ? DE ? DB ; (Ⅱ)若 CD ? 2 3 ,O 到 AC 的距离为 1,求⊙O 的半径 r . 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 O. C A E D B

? ?x ? t 平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) , ? ? y ? 3t
以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线
C 的极坐标方程为 ? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin2 ? ? 2? sin? ? 3 ? 0 .

(Ⅰ)求直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,求 | AB | . 24.(本小题满分 l0 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ?| x ? 2 | ? | x ? 1 | . (Ⅰ)求证: ? 3 ? f ( x ) ? 3 ; (Ⅱ)解不等式 f ( x ) ? x 2 ? 2 x .

银川一中 2015 届高三年级第五次月考数学(文科)试卷答案
一、选择题: (每题 5 分共 60 分) 1、C 2、A. 3、B 4、A. 5、B.6、B .7、 D. 8、B.9、B. 10、B.11、C. 12. D. 二、填空题: (每题 5 分共 20 分) 13、 60
?

14、

4 3? 27

15、x+y-1=0 或 x-y+1=0

16、 ( ,? )

3 2

6 5

三、解答题: 17、 【答案】(1)设{a n }的公差为 d,则 S n = na1 ?

n(n ? 1) d. 2

?3a1 ? 3d ? 0, 解得a1 ? 1, d ? ?1. ? 由已知可得 ?5a1 ? 10d ? ?5, ————4 分

故?an ?的通项公式为an =2-n. ————6 分 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), ————8 分 (2)由(I)知 a2 n?1a2 n?1 (3 ? 2n)(1 ? 2n) 2 2n ? 3 2n ? 1
? 1 1 1 1 1 1 1 n 1 ? )? .12 分 ?的前n项和为 ( - + - + + 2 -1 1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 1 ? 2n ? a2 n ?1a2 n ?1 ? 1 T 2? ? 4? ∴ ? ? . 2分 18、解(1)∵由题 A ? 2, ? 2? 即 T ? 4? ∴ T ? 2 2 ? 1 ∴ f ( x) ? 2 sin( x ? ? ) ,由图象经过点(0,1)得 f (0) ? 2 sin ? ? 1 , 2
从而数列 ?
-4-

?

1 ? x? ) ————4 分 6 2 2 6 2? 1 ? ? (k ? Z ) ∴ x0 ? ? 2k? ? (k ? Z ) ,即 x0 ? 4k? ? 3 2 6 2 2? 根据图象可得 x0 是最小的正数,则 x0 ? ————6 分 3 ? 2? ? x ? ? ? (2)由 B ? — 8分 ∵ B ? x ? x0 ,即 ? x ? ,则 ? ? ? 3 3 3 2 6 2 3 3 1 ? ∴ ————12 分 ? sin( x ? ) ? 1 ,故 f ( x) ?[ 3,2) 2 2 6 19、 【答案】解: (Ⅰ ) 因为E为动点,所以需证AD ? 面CBB1C1 . ? ABC ? A1 B1C1是直棱柱 ? BB1 ? 面ABC , 且AD ? 面ABC ? BB1 ? AD ——2 分 又 ? RT?ABC是等腰直角且D为BC的中点, ? BC ? AD . ————4 分 由上两点,且BC ? BB1 ? B ? AD ? 面CBB1C1且C1 E ? 面CBB1C1 ? AD ? C1 E. ( 证
又? ?

?

,∴ ? ?

?

.

∴ f ( x ) ? 2 sin(

毕) ————6 分

6 . ————8 分 ? 在RT?A1 B1 E中,EB1 ? 2. ? ABC ? A1 B1C1是直棱柱 ? EB1是三棱锥E ? A1 B1C1的高 .
———10 分

(Ⅱ)? CA // C1 A1 ,? ?A1C1 E ? 60? ? 在RT?A1C1 E中,AE ?

VC1 ? A1B1E ? V E ? A1B1C1 ?
————12 分

1 1 2 2 ? S ? A1B1C ? EB1 ? ? 1 ? 2 ? ? 所以三棱锥C1 ? A1 B1 E的体积为 . 3 3 3 3

?c 6 , ? ? 20、解: (1)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ∴ b ? 1, ? a ? 3, ?

x2 ? y 2 ? 1.————6 分 ∴ 所求椭圆方程为 3 (2)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) .①当 AB ⊥ x 轴时, AB ? 3 .————7 分
②当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m .由已知
2 得m ?

m 1? k
2

?

3 , 2

3 2 (k ? 1) .——8 分把 y ? kx ? m 代入椭圆方程, 4 3(m 2 ? 1) ?6km 2 2 2 整理得 (3k ? 1) x ? 6kmx ? 3m ? 3 ? 0 ,? x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? .9 分 3k ? 1 3k 2 ? 1 2 ? AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2

? 36k 2m2 12(m2 ?1) ? 12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? ? ? (1 ? k 2 ) ? 2 ? 2 (3k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)2 3k 2 ? 1 ? ? (3k ? 1) ? 12k 2 12 12 ? 3? 4 ? 3? (k ? 0) ? 3 ? ? 4. 2 1 9k ? 6k ? 1 2 ? 3 ? 6 2 9k ? 2 ? 6 k 1 3 2 当且仅当 9 k ? 2 ,即 k ? ? 时等号成立.————10 分 k 3

-5-

当 k ? 0 时, AB ? 3 ,综上所述 AB max ? 2 . 所以,当 AB 最大时, △ AOB 面积取最大值 S ? 21、 【答案】

1 3 3 .——12 分 ? AB max ? ? 2 2 2
6分

(I)f 1 ( x) ? e2 (ax ? a ? b) ? 2 x ? 4.由已知得f (0) ? 4, f 1 (0) ? 4, 故b ? 4, a ? b ? 8, 从而a ? b ? 4;
(II) 由(I)知, ( f x) ? 4ex ( x ? 1) ? x2 ? 4x,

1 f 1 ( x) ? 4e x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 ? 4( x ? 2)(e x ? ). 令 f 1 ( x) ? 0得,x=-1n2或x=-2. —10 分 2 1 1 从而当 x ? (??, ?2) (?1n2, ??)时,f ( x) ? 0;当x ? (?2, ?1n2)时,f( x) <0. 故 f ( x)在(-?,),( -2 -1n2, +?)单调递增,在(-2, -1n2)单调递减 .
当 x=-2时,函数( f x)取得极大值,极大值为( f -2)( =4 1-e?2 ) . ————12 分

-6-

银川一中 2015 届高三年级第五次月考数学(文科)试卷答案
一、选择题: (每题 5 分共 60 分) 1、C 2、A. 3、B 4、A. 5、B.6、B .7、 D. 8、B.9、B. 10、B.11、C. 12. D. 二、填空题: (每题 5 分共 20 分) 13、 60
?

14、

4 3? 27

15、x+y-1=0 或 x-y+1=0

16、 ( ,? )

3 2

6 5

三、解答题: 17、 【答案】(1)设{a n }的公差为 d,则 S n = na1 ?

n(n ? 1) d. 2

?3a1 ? 3d ? 0, 解得a1 ? 1, d ? ?1. ? 由已知可得 ?5a1 ? 10d ? ?5, ————4 分

故?an ?的通项公式为an =2-n. ————6 分 1 1 1 1 1 (2)由(I)知 ? ? ( ? ), ————8 分 a2 n?1a2 n?1 (3 ? 2n)(1 ? 2n) 2 2n ? 3 2n ? 1
? 1 1 1 1 1 1 1 n 1 ? )? .12 分 ?的前n项和为 ( - + - + + 2 -1 1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 1 ? 2n ? a2 n ?1a2 n ?1 ? 1 T 2? ? 4? ∴ ? ? . 2分 18、解(1)∵由题 A ? 2, ? 2? 即 T ? 4? ∴ T ? 2 2 ? 1 ∴ f ( x) ? 2 sin( x ? ? ) ,由图象经过点(0,1)得 f (0) ? 2 sin ? ? 1 , 2 ? ? 1 ? 又 ? ? ,∴ ? ? . ∴ f ( x ) ? 2 sin( x ? ) ————4 分 6 2 2 6 2? 1 ? ? (k ? Z ) ∴ x0 ? ? 2k? ? (k ? Z ) ,即 x0 ? 4k? ? 3 2 6 2 2? 根据图象可得 x0 是最小的正数,则 x0 ? ————6 分 3 ? 2? ? x ? ? ? (2)由 B ? — 8分 ∵ B ? x ? x0 ,即 ? x ? ,则 ? ? ? 3 3 3 2 6 2 3 3 1 ? ∴ ————12 分 ? sin( x ? ) ? 1 ,故 f ( x) ?[ 3,2) 2 2 6 19、 【答案】解: (Ⅰ ) 因为E为动点,所以需证AD ? 面CBB1C1 . ? ABC ? A1 B1C1是直棱柱 ? BB1 ? 面ABC , 且AD ? 面ABC ? BB1 ? AD ——2 分 又 ? RT?ABC是等腰直角且D为BC的中点, ? BC ? AD . ————4 分 由上两点,且BC ? BB1 ? B ? AD ? 面CBB1C1且C1 E ? 面CBB1C1 ? AD ? C1 E.
从而数列 ? (证毕) ————6 分

?

6 . ————8 分 ? 在RT?A1 B1 E中,EB1 ? 2. ? ABC ? A1 B1C1是直棱柱 ? EB1是三棱锥E ? A1 B1C1的高 .
———10 分

(Ⅱ)? CA // C1 A1 ,? ?A1C1 E ? 60? ? 在RT?A1C1 E中,AE ?

VC1 ? A1B1E ? V E ? A1B1C1 ?
————12 分

1 1 2 2 ? S ? A1B1C ? EB1 ? ? 1 ? 2 ? ? 所以三棱锥C1 ? A1 B1 E的体积为 . 3 3 3 3

-7-

?c 6 , ? ? 20、解: (1)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ∴ b ? 1, ? a ? 3, ?

x2 ? y 2 ? 1.————6 分 3 (2)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) .①当 AB ⊥ x 轴时, AB ? 3 .————7 分
∴ 所求椭圆方程为 ②当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m .由已知

m 1? k
2

?

3 , 2

3 2 2 得 m ? (k ? 1) .——8 分 4 把 y ? kx ? m 代入椭圆方程,
整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 ,? x1 ? x2 ?

3(m 2 ? 1) ?6km x x ? , .9 分 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

? AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2

2

? 36k 2m2 12(m2 ?1) ? 12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? ? ? (1 ? k 2 ) ? 2 ? 2 (3k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)2 3k 2 ? 1 ? ? (3k ? 1) ? 12k 2 12 12 ? 3? 4 ? 3? (k ? 0) ? 3 ? ? 4. 2 1 9k ? 6k ? 1 2 ? 3 ? 6 2 9k ? 2 ? 6 k 1 3 2 当且仅当 9 k ? 2 ,即 k ? ? 时等号成立.————10 分 k 3 当 k ? 0 时, AB ? 3 ,综上所述 AB max ? 2 .
所以,当 AB 最大时, △ AOB 面积取最大值 S ? 21、 【答案】 x 6分 (II) 由(I)知, ( f x) ? 4e ( x ? 1) ? x ? 4x,
x 2

1 3 3 .——12 分 ? AB max ? ? 2 2 2

1 f 1 ( x) ? 4e x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 ? 4( x ? 2)(e x ? ). 令 f 1 ( x) ? 0得,x=-1n2或x=-2. —10 分 2 1 1 从而当 x ? (??, ?2) (?1n2, ??)时,f ( x) ? 0;当x ? (?2, ?1n2)时,f( x) <0. -2 -1n2, +?)单调递增,在(-2, -1n2)单调递减 . 故 f ( x)在(-?,),(
当 x=-2时,函数( f x)取得极大值,极大值为( f -2)( =4 1-e ) . ————12 分 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 解: (I)证明:∵ ?ABD ? ?CBD , ?ABD ? ?ECD ∴ ?CBD ? ?ECD ,又 ?CDB ? ?EDC , ∴△ BCD ~△ CED ,∴ ∴CD 2 =DE·DB;
?2

DE DC , ? DC DB

??????(5 分)

-8-

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)消去参数得直线 l 的直角坐标方程: y ? 3 x ---------2 分

? x ? ? cos ? ? 由? 代入得 ? sin? ? 3? cos? ? ? ? ( ? ? R) . y ? ? sin ? 3 ?
( 也可以是: ? ?

4? ( ? ? 0) )---------------------5 分 3 3 ? ? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin2 ? ? 2? sin? ? 3 ? 0 ? (Ⅱ) ? 得 ? ? ? ? 3 ?

?

或? ?

? 2 ? 3? ? 3 ? 0 -----------------------------7 分 ? ? 设 A( ? 1 , ) , B( ? 2 , ) , 3 3
则 | AB |?| ?1 ? ? 2 |? ( ?1 ? ? 2 ) 2 ? 4?1 ? 2 ? 15 .---------10 分 (若学生化成直角坐标方程求解,按步骤对应给分)

24.(本小题满分 l0 分)选修 4—5:不等式选讲 ( x ? ?1) ? 3 ? 解: (1) f ( x ) ? ?? 2 x ? 1 ( ?1 ? x ? 2) ,------------------3 分 ? ?3 ( x ? 2) ? 又当 ? 1 ? x ? 2 时, ? 3 ? ?2 x ? 1 ? 3 , ∴ ? 3 ? f ( x ) ? 3 -----------------------------------------------5 分 (2)当 x ? ? 1 时, x 2 ? 2 x ? 3 ? ?1 ? x ? 2 ? x ? 1 ; 当 ? 1 ? x ? 2 时, x 2 ? 2 x ? ?2 x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 ; 当 x ? 2 时, x 2 ? 2 x ? ?3 ? x ? ? ;-------------------------8 分

综合上述,不等式的解集为: ?? 1,1? .-------------------------10 分

-9-


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