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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第1章 2(二)


§2(二)

本 课 时 栏 目 开 关

§2(二)

【学习要求】 加深对综合法、分析法的理解,应用两种方法证明数学问题.
本 课 时 栏 目 开 关

【学法指导】 通过本节课的学习,比较两种证明方法的优点,进而灵活选 择证明方法,规范证明步骤,养成言之有理、论之有据的好 习惯,提高思维能力.

试一试·双基题目、基础更牢固

§2(二)

1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的
本 A.充分条件 B.必要条件 课 时 C.充要条件 D.等价条件 栏 目 开 2.用 P 表示已知,Q 表示要证的结论,则综合法的推理形式为 关

( A )

( A )

A.P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?Q B.P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?Q C.Q?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?P D.Q?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?P

试一试·双基题目、基础更牢固
b a 3.已知p:ab>0;q:a+b≥2,则 A.p是q的充分而不必要条件 B.p是q的必要而不充分条件
本 C.p是q的充要条件 课 时 D.p是q的既不充分也不必要条件 栏 目 4.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明 开 关 A.2ab-1-a2b2≤0

§2(二)

( C )

( D )

a4+b4 B.a2+b2-1- ≤0 2 ?a+b?2 C. -1-a2b2≤0 2 D.(a2-1)(b2-1)≥0

试一试·双基题目、基础更牢固

§2(二)

b - - 5.给出下列命题:①a<b<0?a<1;②a<b<0?a 2<b 2;
本 课 时 栏 目 开 关

|a+b| a b ③a>b,c>d,abcd≠0?c>d;④a· b≠0? <1; |a|+|b| ⑤a>b>0,c>d>0? a d> b c.

①②⑤ 其中,真命题的序号是________.

研一研·题型解法、解题更高效

§2(二)

题型一 例1
本 课 时 栏 目 开 关

选择恰当的方法证明不等式

(1)设a,b,c为任意三角形的三边长,I=a+b+c,S=

ab+bc+ca,试证:3S≤I2<4S. (2)已知:a,b,c都是正实数,且ab+bc+ca=1.求证:a+b +c≥ 3.

证明 (1)I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

=a2+b2+c2+2S. 欲证3S≤I2<4S, 即证ab+bc+ca≤a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca. 先证明ab+bc+ca≤a2+b2+c2,

研一研·题型解法、解题更高效

§2(二)

只需证2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca,
即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2≥0,显然成立; 再证明a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca, 只需证a2-ab-ac+b2-ab-bc+c2-bc-ca<0, 本 课 时 即a(a-b-c)+b(b-c-a)+c(c-b-a)<0,

栏 目 只需证a<b+c,且b<c+a,且c<b+a, 开 关 由于a、b、c为三角形的三边长,上述三式显然成立,

故有3S≤I2<4S. (2)考虑待证的结论“a+b+c≥ 3”,因为a+b+c>0, 所以只需证明(a+b+c)2≥3,
即a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3.

研一研·题型解法、解题更高效
又ab+bc+ca=1,
所以只需证明a2+b2+c2≥1,即a2+b2+c2-1≥0.
本 因为ab+bc+ca=1, 课 时 栏 所以只需证明a2+b2+c2-(ab+bc+ca)≥0, 目 开 关 只需证明2a2+2b2+2c2-2(ab+bc+ca)≥0,

§2(二)

即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0. 由于任意实数的平方都非负,故上式成立.所以a+b+c≥ 3.

研一研·题型解法、解题更高效
小结

§2(二)

本题要证明的结论要先进行转化,可以使用分析法.对

于连续不等式的证明,可以分段来证,使证明过程层次清 晰.证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重
本 要不等式,其中常用的有如下几个: 课 时 (1)a2≥0(a∈R). 栏 目 a+b 2 开 (2)(a-b)2≥0(a、b∈R),其变形有a2+b2≥2ab,( ) ≥ab, 2 关

?a+b?2 a2+b2≥ . 2

a+b b a (3)若a,b∈(0,+∞),则 ≥ ab,特别地a+b≥2. 2 (4)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R).

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§2(二)

跟踪训练1 已知a、b、c为互不相等的正数且abc=1,求证: 1 1 1 a+ b+ c<a+b+c.

证明 要证原不等式成立,即证 a+ b+ c<bc+ac+ab,
本 课 也就是证明2 a+2 b+2 c<2bc+2ac+2ab. 时 栏 目 因为a、b、c为互不相等的正数且abc=1, 开 关 所以bc+ac>2 abc2=2 c;ac+ab>2 a2bc=2 a;

ab+bc>2 ab2c=2 b;
相加得2 a+2 b+2 c<2bc+2ac+2ab. 所以,原不等式成立.

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§2(二)

题型二

选择恰当的方法证明等式

例2 已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,对应的三 1 1 3 边为a,b,c,求证: + = . a+b b+c a+b+c
本 课 时 栏 目 开 关

a+b+c a+b+c 证明 要证原式,只需证 + =3, a+b b+c
bc+c2+a2+ab c a 即证 + =1,即只需证 =1, a+b b+c ab+b2+ac+bc π 而由题意知A+C=2B,∴B=3, ∴b2=a2+c2-ac, bc+c2+a2+ab bc+c2+a2+ab ∴ = ab+b2+ac+bc ab+a2+c2-ac+ac+bc

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§2(二)

bc+c2+a2+ab = =1, 2 2 ab+a +c +bc
1 1 3 ∴原等式成立,即 + = . a+b b+c a+b+c 本

课 时 小结 综合法推理清晰,易于书写,分析法从结论入手易于寻 栏 目 开 找解题思路.在实际证明命题时,常把分析法与综合法结合起 关

来使用,称为分析综合法,其结构特点是:根据条件的结构特 点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化 条件,得到中间结论P;若由P可推出Q,即可得证.

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§2(二)

跟踪训练2 设实数a,b,c成等比数列,非零实数x,y分别为 a c a与b,b与c的等差中项,试证:x+y=2. 证明 由已知条件得b2=ac, ①
本 2x=a+b,2y=b+c. 课 a c 时 栏 要证 x +y=2, 目 开 关 只要证ay+cx=2xy,



只要证2ay+2cx=4xy. 由①②得2ay+2cx=a(b+c)+c(a+b)=ab+2ac+bc, 4xy=(a+b)(b+c) =ab+b2+ac+bc=ab+2ac+bc, 所以2ay+2cx=4xy.命题得证.

研一研·题型解法、解题更高效 题型三 选择恰当的方法证明空间图形的位置关系 例3 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底

§2(二)

面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC= 60° ,PA=AB=BC,E是PC的中点.
本 课 时 栏 目 开 关

(1)证明:CD⊥AE; (2)证明:PD⊥平面ABE.
证明 (1)在四棱锥P-ABCD中,

∵PA⊥底面ABCD,CD?底面ABCD, ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面PAC, 而AE?平面PAC, ∴CD⊥AE.

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§2(二)

(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60° ,
可得AC=PA, ∵E是PC的中点, ∴AE⊥PC.
本 课 时 栏 目 开 关

由(1)知,AE⊥CD, 且PC∩CD=C, 所以AE⊥平面PCD. 而PD?平面PCD, ∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD, ∴PA⊥AB, 又AB⊥AD,

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§2(二)

∴AB⊥平面PAD,
∴AB⊥PD, 又AB∩AE=A,
本 综上得PD⊥平面ABE. 课 时 栏 小结 综合法证明线面之间的垂直关系是高考考查的重点,利 目 开 用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之 关

间垂直关系的转化.另外,利用一些常见的结论还常常 可以将线面间的垂直与平行进行转化.比如:两条平行线中一 条垂直于平面α,则另外一条也垂直于平面α;垂直于同一条直 线的两个平面相互平行等.

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§2(二)

跟踪训练3

如图,正方形ABCD和四边形

ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB = 2,CE=EF=1. (1)求证:AF∥平面BDE;
本 课 (2)求证:CF⊥平面BDE. 时 栏 证明 (1)如图,设AC与BD交于点G. 目 1 开 因为EF∥AG,且EF=1,AG= AC=1, 2 关

所以四边形AGEF为平行四边形. 所以AF∥EG. 因为EG?平面BDE,AF?平面BDE, 所以AF∥平面BDE.

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§2(二)

(2)连接FG.
因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1, 所以四边形CEFG为菱形.
本 课 时 栏 目 开 关

所以CF⊥EG. 因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC.
又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD= AC,所以BD⊥平面ACEF. 所以CF⊥BD. 又BD∩EG=G, 所以CF⊥平面BDE.

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§2(二)

1.综合法的特点是:从已知看可知,逐步推出未知.
本 课 时 栏 目 开 关

2.分析法的特点是:从未知看需知,逐步靠拢已知. 3.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自 然,容易寻找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行, 叙述较繁;综合法从条件推出结论,较简捷地解决问 题,但不便于思考.实际证题时常常两法兼用,先用分 析法探索证明途径,然后再用综合法叙述出来.


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