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高中数学 2.3.1《平面向量的基本定理》导学案 新人教A版必修4


2.3.1《平面向量的基本定理》导学案
【学习目标】 1、知道平面向量基本定理; 2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步应用向量解决实际问题; 3、能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表示. 【重点难点】 1. 教学重点:平面向量基本定理 2. 教学难点:平面向量基本定理的理解与应用 【学法指导 】:通过回顾复习向量的线性运算,提出新的疑惑.为新授内容做好铺垫. 【知识链接】 (一)复习回顾 ? ? 1.实数与向量的积:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a ? ? ? ? ? ? (1)|λ a |= ; (2)λ >0 时λ a 与 a 方向 ;λ <0 时λ a 与 a 方向 ;λ =0 时λ a = 2.运算定律 结合律:λ (μ a )= 3. 向 量 共 线 定 理

?

;分配律:(λ +μ ) a =

?

, λ ( a + b )=

? ?

.

向量 b 与非零向量 a 共线的充要 条件是:有且只有一个非零实数λ ,

?

?

使 . (二)阅读教材,提出疑惑: 如何通过向量的线性运算来表示出平面内的任意向量?

【学习过程】 (一)定理探究: 平面向量基本定理:

探究: (1) 我们把不共线向量e1、e2叫做 表示这一平面内所有向量的 (2) 基底不惟一,关键是 ; (3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底e1、e 2的条件下进行分解; (4) 基底给定时,分解形式 (二)例 题讲解 例 1 已知向量 e1 , e 2 求作向量?2.5 e1 +3 e 2 .

;

. 即λ 1,λ 2 是被 a , e1 , e 2 唯一确定的数量

?

例 2、如图

ABCD 的两条对角线交于点 M,且 AB = a , AD = b ,用 a , b 表示 MA , MB , MC
1

?

?

?

?

和 MD

例 3 已知

ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E,O 是任意一点,求证: OA + OB + OC + OD =4 OE

例 4(1)如图, OA , OB 不共线, AP =t AB (t?R)用 OA , OB 表示 OP .

(2)设 OA、 OB 不共线,点 P 在 O、A、B 所在的平面内,且 OP ? (1 ? t )OA ? tOB(t ? R) .求证: A、B、P 三点共线.

??? ? ?? ?

??? ?

??? ?

??? ?

例 5 已知 a=2e1-3e2,b= 2e1+3e2,其中 e1,e2 不共线,向量 c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数

?、? , 使d ? ? a ? ? b 与 c 共线.

? ?

?

?

【学习反思】

【拓展提升】 1.设 e1、e2 是同一平面内的两个向量,则有( ) A.e1、e2 一定平行 B.e1、e2 的模相等 C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =λ e1+μ e2(λ 、μ ∈R)
2

D.若 e1、e2 不共线,则同一平面内的任一向量 a 都有 a =λ e1+ue2(λ 、u∈R) 2.已知向量 a = e1-2e2,b =2e1+e2,其中 e1、e2 不共线,则 a+b 与 c =6e1-2e2 的关系 A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定 3.已知向 量 e1、e2 不共线,实数 x、y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则 x-y 的值等于( ) A.3 B.-3 C.0 D.2 4.已知 a、b 不共线,且 c =λ 1a+λ 2b(λ 1,λ 2∈R),若 c 与 b 共线,则 λ 1= . 5.已知 λ 1>0,λ 2>0,e1、e2 是一组基底,且 a =λ 1e1+λ 2e2,则 a 与 e1_____,a 与 e2_________(填 共线或不共线).

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