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湖北省荆州市监利实验高中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科)


2015-2016 学年湖北省荆州市监利实验高中高二(上)期中数学试 卷(文科)
一.选择题(每题 5 分共 60 分) 1.如图:直线 L1 的倾斜角 α1=30°,直线 L1⊥L2,则 L2 的斜率为(

)

A.

B.

C.

D.

2.直线经过点 A(﹣2,0) ,B(﹣5,3) ,则直线的倾斜角( A.45° B.135° C.﹣45° D.﹣135°

)

3.一条直线经过点 P1(﹣2,3) ,倾斜角为 α=45°,则这条直线方程为( A.x+y+5=0 B.x﹣y﹣5=0 C.x﹣y+5=0 D.x+y﹣5=0 4.经过点 A(1,﹣4)且与直线 2x+3y+5=0 平行的直线方程为( ) A.2x﹣3y+10=0 B.2x+3y+10=0 C.2x+3y﹣10=0 D.2x﹣3y﹣10=0

)

5.设 x,y∈R 且

,则 z=x+2y 的最小值等于(

)

A.2

B.3

C.5

D.9

6.对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=2 的位置关系是( A.相离 B.相切 C.相交 D.随 k 的变化而变化

)

7.直线过点 A(1,4)且与圆 x2+y2+2x﹣3=0 相切,则直线方程为( A.3x﹣4y+13=0 B.4y﹣3x+13=0 C.3x﹣4y+13=0 或 x=1 D.4y﹣3x+13=0 或 x=1

)

8.已知点 A(1,﹣2,11) ,B(4,2,3) ,C(6,﹣1,4) ,则△ ABC 的形状是( A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

)

9.如果直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后,又回到原来的位 ) 置,那么直线 l 的斜率是( A. B.﹣3 C. D.3

10.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 α,且 sinα+cosα=0,则 a,b 满足( A.a+b=1 B.a﹣b=1 C.a+b=0 D.a﹣b=0 11.已知圆 x2+y2=r2 在曲线|x|+|y|=4 的内部,则半径 r 的范围是( A.0<r<2 B.0<r< C.0<r<2 D.0<r<4 )

)

2 2 12. + =16 相切, 已知半径为 1 的动圆与定圆 (x﹣5) (y+7) 则动圆圆心的轨迹方程是( 2 2 A. (x﹣5) +(y+7) =25 B. (x﹣5)2+(y+7)2=3 或(x﹣5)2+(y+7)2=15 C. (x﹣5)2+(y+7)2=9 D. (x﹣5)2+(y+7)2=25 或(x﹣5)2+(y+7)2=9

)

二.填空题(每题 5 分共 20 分) 13.点 P(1,﹣1)到直线 x﹣y+1=0 的距离是__________. 14.平行线 2x﹣7y+8=0 和 2x﹣7y﹣6=0 的距离为__________. 15.经过点 P(﹣2,﹣3) ,在 x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是__________. 16.若点(1,3)和(﹣4,﹣2)在直线 2x+y+m=0 的两侧,则 m 的取值范围是__________.

三.解答题 17.①求平行于直线 3x+4y﹣12=0,且与它的距离是 7 的直线的方程;

②求垂直于直线 x+3y﹣5=0,且与点 P(﹣1,0)的距离是

的直线的方程.

18.已知直线 l:kx﹣y+1+2k=0(k∈R) . (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设△ AOB 的面积 为 4,求直线 l 的方程. 19.已知圆 x2+y2+8x﹣4y=0 与圆 x2+y2=20 关于直线 y=kx+b 对称, (1)求 k、b 的值; (2)若这时两圆的交点为 A、B,求∠AOB 的度数. 20.方程 x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣2m+1=0 表示一个圆. (1)求 m 的取值范围; (2)求这个圆的面积最大时圆的方程. 21.已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(﹣4,3) ,端点 A 在圆(x﹣1)2+y2=4 上运动,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. 22.某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志﹣﹣“中国印?舞动的北京”和奥运会 吉祥物﹣﹣“福娃”.该厂所用的主要原料为 A、B 两种贵金属,已知生产一套奥运会标志需用 原料 A 和原料 B 的量分别为 4 盒和 3 盒, 生产一套奥运会吉祥物需用原料 A 和原料 B 的量分 别为 5 盒和 10 盒.若奥运会标志每套可获利 700 元,奥运会吉祥物每套可获利 1200 元,该 厂月初一次性购进原料 A、B 的量分别为 200 盒和 300 盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉 祥物各多少套才能使该厂月利润最大?最大利润为多少?

2015-2016 学年湖北省荆州市监利实验高中高二(上)期 中数学试卷(文科)
一.选择题(每题 5 分共 60 分) 1.如图:直线 L1 的倾斜角 α1=30°,直线 L1⊥L2,则 L2 的斜率为(

)

A.

B.

C.

D.

【考点】直线的倾斜角;直线的斜率. 【专题】计算题. 【分析】由题意可得 L2 的倾斜角等于 30°+90°=120°,从而得到 L2 的斜率为 tan120°,运算求 得结果. 【解答】 解: 如图: 直线 L1 的倾斜角 α1=30°, 直线 L1⊥L2, 则 L2 的倾斜角等于 30°+90°=120°, ∴L2 的斜率为 tan120°=﹣tan60°=﹣ , 故选 C. 【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系,体现了数形结合的数学思想,属于基础 题. 2.直线经过点 A(﹣2,0) ,B(﹣5,3) ,则直线的倾斜角( A.45° B.135° C.﹣45° D.﹣135° )

【考点】直线的倾斜角. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】由两点求斜率求出过 A、B 两点的直线的斜率,由倾斜角的正切值等于斜率,结合倾 斜角的范围求解直线的倾斜角. 【解答】解:设过 A、B 的直线的斜率为 k, 则 .

再设该直线的倾斜角为 α(0°≤α<180°) , 由 tanα=﹣1,得 α=135°. 故选 B. 【点评】本题考查了直线的倾斜角,考查了倾斜角与斜率的关系,训练了由两点坐标求斜率, 是基础题. 3.一条直线经过点 P1(﹣2,3) ,倾斜角为 α=45°,则这条直线方程为( A.x+y+5=0 B.x﹣y﹣5=0 C.x﹣y+5=0 D.x+y﹣5=0 )

【考点】直线的点斜式方程. 【专题】计算题. 【分析】根据倾斜角 α 与斜率 k 的关系:k=tanα 求出此直线的斜率 k 然后再利用点斜式写出 直线方程即可. 【解答】解:∵倾斜角为 α=45° ∴斜率 k=tan45°=1 ∵直线经过点 P1(﹣2,3) ∴由点斜式可得直线方程为 y﹣3=1×(x+2)即 x﹣y+5=0 故选 C 【点评】本题主要考察了直线的点斜式方程,属常考题,较易.解题的关键是会利用倾斜角 α 与斜率 k 的关系:k=tanα 求出此直线的斜率以及正确记忆直线的点斜式方程! 4.经过点 A(1,﹣4)且与直线 2x+3y+5=0 平行的直线方程为( ) A.2x﹣3y+10=0 B.2x+3y+10=0 C.2x+3y﹣10=0 D.2x﹣3y﹣10=0 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系. 【专题】计算题. 【分析】设过点 A(1,﹣4)且与直线 2x+3y+5=0 平行的直线方程为 2x+3y+m=0,把点 A(1, ﹣4)代入直线方程,求出 m 值即得直线 l 的方程. 【解答】解:设过 A(1,﹣4)且与直线 2x+3y+5=0 平行的直线方程为 2x+3y+m=0,把 A(1, ﹣4)代入直线方程得 2+3×(﹣4)+m=0,m=10,故所求的直线方程为 2x+3y+10=0, 故选 B. 【点评】本题考查用待定系数法求直线方程的方法,设过点 A(1,﹣4)且与直线 2x+3y+5=0 平行的直线方程为 2x+3y+m=0,是解题的关键.

5.设 x,y∈R 且

,则 z=x+2y 的最小值等于(

)

A.2

B.3

C.5

D.9

【考点】简单线性规划的应用.

【专题】压轴题.

【分析】本题考查的知识点是线性规划, 处理的思路为: 根据已知的约束条件



画出满足约束条件的可行域,再用角点法,求出目标函数的最小值.

【解答】解:约束条件

,对应的平面区域如下图示:

当直线 Z=x+2y 过点(1,1)时,z=x+2y 取最小值 3, 故选 B. 【点评】用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是 关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约 束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可 得到目标函数的最优解. 6.对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=2 的位置关系是( A.相离 B.相切 C.相交 D.随 k 的变化而变化 )

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】直线与圆. 【分析】对任意的实数 k,直线 y=kx+1 恒过点(0,1) ,且斜率存在, (0,1)在圆 x2+y2=2 内,故可得结论. 【解答】解:对任意的实数 k,直线 y=kx+1 恒过点(0,1) ,且斜率存在 2 2 ∵(0,1)在圆 x +y =2 内 ∴对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=2 的位置关系一定是相交但直线不过圆心. 故选:C. 【点评】本题考查直线与圆的位置关系,解题的关键是确定直线 y=kx+1 恒过点(0,1) ,且 斜率存在.

7.直线过点 A(1,4)且与圆 x2+y2+2x﹣3=0 相切,则直线方程为( A.3x﹣4y+13=0 B.4y﹣3x+13=0 C.3x﹣4y+13=0 或 x=1 D.4y﹣3x+13=0 或 x=1

)

【考点】圆的切线方程. 【专题】综合题;分类讨论;综合法;直线与圆. 【分析】根据直线和圆相切的条件进行求解即可. 【解答】解:圆的标准方程为(x+1)2+y2=4, 则圆心坐标为(﹣1,0) ,半径 R=2, 若直线斜率 k 不存在,则直线方程为 x=1,圆心到直线的距离 d=1﹣(﹣1)=2,满足条件. 若直线斜率 k 存在,则直线方程为 y﹣4=k(x﹣1) , 即 kx﹣y+4﹣k=0, 圆心到直线的距离 d= =2,得 k= ,此时切线方程为 3x﹣4y+13=0,

综上切线方程为 3x﹣4y+13=0 或 x=1, 故选:C. 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,根据直线和圆相切的等价条件是解决本 题的关键. 8.已知点 A(1,﹣2,11) ,B(4,2,3) ,C(6,﹣1,4) ,则△ ABC 的形状是( A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 )

【考点】三角形的形状判断. 【专题】计算题. 【分析】直接利用空间两点间的距离公式求出三角形 AB,AC,BC 的长;再根据三个边的长 度即可判断三角形的形状. 【解答】解:因为三角形 ABC 顶点分别为 A(1,﹣2,11) ,B(4,2,3) ,C(6,﹣1,4) 所以:AB= AC= BC= = ; ;

所以:AC2+BC2=89=AB2 由勾股逆定理得: ∠ACB=90° 即三角形为直角三角形. 故选 B. 【点评】本题主要考查空间两点间的距离公式以及三角形的形状判断.三角形的形状判断一 般有两种方法:①求角,通过角来下结论;②求边,通过三边关系或其中两个边的关系来下 结论. 9.如果直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后,又回到原来的位 ) 置,那么直线 l 的斜率是(

A.

B.﹣3 C.

D.3

【考点】直线的斜率. 【专题】计算题. 【分析】设出直线的方程为 y=kx+b,根据平移规律,对 x 左加右减,对 y 上加下减,得到平 移后的直线方程,根据平移后的直线方程与 y=kx+b 重合,令 y 相等即可求出 k 的值. 【解答】解:设直线 l 的方程为 y=kx+b, 根据题意平移得:y=k(x+3)+b+1,即 y=kx+3k+b+1, 则 kx+b=kx+3k+b+1,解得:k=﹣ . 故选 A. 【点评】此题考查学生掌握函数图象平移的规律,是一道基础题. 10.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 α,且 sinα+cosα=0,则 a,b 满足( A.a+b=1 B.a﹣b=1 C.a+b=0 D.a﹣b=0 )

【考点】直线的倾斜角. 【专题】计算题. 【分析】由 sinα+cosα=0,我们易得 tanα=﹣1,即函数的斜率为﹣1,进而可以得到 a,b 的关 系. 【解答】解:∵sinα+cosα=0 ∴tanα=﹣1,k=﹣1,﹣ =﹣1,a=b,a﹣b=0 故选 D. 【点评】本题考查的知识点是同角三角函数关系及直线的倾斜角,根据已知求出直线的斜率, 再根据倾斜角与斜率之间的关系是解答的关键. 11.已知圆 x2+y2=r2 在曲线|x|+|y|=4 的内部,则半径 r 的范围是( A.0<r<2 B.0<r< C.0<r<2 D.0<r<4 )

【考点】圆的标准方程. 【专题】计算题. 【分析】曲线|x|+|y|=4 表示边长为 4 的正方形,x2+y2=r2 表示以原点为圆心的圆,要使圆在 正方形的内部,即要圆的半径小于等于圆心到正方形边的距离,利用点到直线的距离公式求 出此距离,即可得到满足题意的 r 的范围. 【解答】解:根据题意画出图形,如图所示:

x2+y2=r2 表示以原点为圆 可得曲线|x|+|y|=4 表示边长为 4 的正方形, 如图 ABCD 为正方形, 心的圆, 过 O 作 OE⊥AB, ∵边 AB 所在直线的方程为 x+y=4, ∴|OE|= =2 , .

则满足题意的 r 的范围是 0<r<2 故选 A

【点评】此题考查了圆的标准方程,以及点到直线的距离公式,利用了数形结合的思想,其 中得出曲线|x|+|y|=4 表示边长为 4 的正方形是本题的突破点.
2 2 12. + =16 相切, ) 已知半径为 1 的动圆与定圆 (x﹣5) (y+7) 则动圆圆心的轨迹方程是( 2 2 A. (x﹣5) +(y+7) =25 B. (x﹣5)2+(y+7)2=3 或(x﹣5)2+(y+7)2=15 C. (x﹣5)2+(y+7)2=9 D. (x﹣5)2+(y+7)2=25 或(x﹣5)2+(y+7)2=9 【考点】圆与圆的位置关系及其判定. 【专题】数形结合. 【分析】由圆 A 的方程找出圆心坐标和半径 R,又已知圆 B 的半径 r,分两种情况考虑,当圆 B 与圆 A 内切时,动点 B 的运动轨迹是以 A 为圆心,半径为 R﹣r 的圆;当圆 B 与圆 A 外切 时,动点 B 的轨迹是以 A 为圆心,半径为 R+r 上网圆,分别根据圆心坐标和求出的圆的半径 写出圆的标准方程即可. 【解答】解:由圆 A: (x﹣5)2+(y+7)2=16,得到 A 的坐标为(5,﹣7) ,半径 R=4,且圆 B 的半径 r=1, 根据图象可知: 当圆 B 与圆 A 内切时,圆心 B 的轨迹是以 A 为圆心,半径等于 R﹣r=4﹣1=3 的圆, 则圆 B 的方程为: (x﹣5)2+(y+7)2=9; 当圆 B 与圆 A 外切时,圆心 B 的轨迹是以 A 为圆心,半径等于 R+r=4+1=5 的圆, 则圆 B 的方程为: (x﹣5)2+(y+7)2=25. 综上,动圆圆心的轨迹方程为: (x﹣5)2+(y+7)2=25 或(x﹣5)2+(y+7)2=9. 故选 D

【点评】此题考查学生掌握圆与圆相切时所满足的条件,考查了数形结合的数学思想,是一 道中档题. 二.填空题(每题 5 分共 20 分) 13.点 P(1,﹣1)到直线 x﹣y+1=0 的距离是 【考点】点到直线的距离公式. 【分析】直接应用点到直线的距离公式求解即可. 【解答】解:由点到直线的距离公式可得: 故答案为: 【点评】本题考查点到直线的距离公式,是基础题. . .

14.平行线 2x﹣7y+8=0 和 2x﹣7y﹣6=0 的距离为 【考点】两条平行直线间的距离. 【专题】计算题;规律型;函数思想;直线与圆. 【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可.



【解答】解:平行线 2x﹣7y+8=0 和 2x﹣7y﹣6=0 的距离为:d=

=



故答案为:



【点评】本题考查平行线之间距离公式的应用,考查计算能力. 15.经过点 P(﹣2,﹣3) ,在 x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是 x+y+5=0 或 3x﹣2y=0. 【考点】直线的截距式方程. 【分析】分类讨论,当直线过原点,即截距都为零,易得直线方程;当直线不过原点,由截 距式,设出直线方程,把 P 点坐标带入,能求出结果. 【解答】解:当直线过原点,即截距都为零时, 直线经过原点(0,0) ,P(﹣2,﹣3) , 直线方程为 ,

整理,得直线方程为 3x﹣2y=0; 当直线不过原点,由截距式,设直线方程为 把 P(﹣2,﹣3)代入,得 x+y+5=0. 故答案为:x+y+5=0 或 3x﹣2y=0 【点评】本题考查直线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意分类讨论思想的合 理运用. 16.若点(1,3)和(﹣4,﹣2)在直线 2x+y+m=0 的两侧,则 m 的取值范围是﹣5<m<10. 【考点】简单线性规划. ,

【专题】计算题. 【分析】将点(1,3)和(﹣4,﹣2)的坐标代入直线方程,使它们异号,建立不等关系, 求出参数 m 即可. 【解答】解:将点(1,3)和(﹣4,﹣2)的坐标代入直线方程, 可得两个代数式, ∵在直线 2x+y+m=0 的两侧∴(5+m) (﹣10+m)<0 解得:﹣5<m<10, 故答案为﹣5<m<10. 【点评】本题主要考查了简单的线性规划,属于基础题. 三.解答题 17.①求平行于直线 3x+4y﹣12=0,且与它的距离是 7 的直线的方程; ②求垂直于直线 x+3y﹣5=0,且与点 P(﹣1,0)的距离是 的直线的方程.

【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【专题】计算题. 【分析】①由所求的直线与直线 l 平行设出所求直线的方程为 3x+4y+m=0,根据平行线间的 距离公式列出关于 m 的方程,求出方程的解得到 m 的值,写出所求的直线方程即可. ②根据两直线垂直,设所求的直线方程为 x﹣2y+k=0,再根据点 P(2,1)到它的距离列方 程求出 k 的值,即得所求的直线方程. 【解答】解:①由题意设所求直线的方程为 3x+4y+m=0, 则直线的距离 d= =7,

化简得|12+m|=35,即 12+m=35,12+m=﹣35, 解得 m=23,m=﹣47; 则所求直线的方程为 3x+4y+23=0 或 3x+4y﹣47=0; ②由所求的直线与直线 x+3y﹣5=0 垂直,可设所求的直线方程为 3x﹣y+k=0, 再由点 P(﹣1,0)到它的距离为 = ?|k﹣3|=6;

解得 k=9,﹣3; 故所求的直线方程为 3x﹣y+9=0 或 3x﹣y﹣3=0. 【点评】此题考查学生掌握两直线平行以及垂直时直线方程的关系,灵活运用两条平行直线 间的距离公式化简求值,是一道中档题 18.已知直线 l:kx﹣y+1+2k=0(k∈R) . (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设△ AOB 的面积 为 4,求直线 l 的方程. 【考点】过两条直线交点的直线系方程. 【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆. 【分析】 (1)由直线系方程的逆用联立方程组求解直线 l 过定点;

(2)求出直线在两坐标轴上的截距,由三角形的面积公式可求解直线的斜率,代入直线方程 即可得到答案. 【解答】 (1)证明: (1)由 kx﹣y+1+2k=0,得 k(x+2)﹣y+1=0, 联立 ,得 x=﹣2,y=1.所以直线 l 过定点(﹣2,1) ;

(2)由 kx﹣y+1+2k=0,取 x=0,得 y=2k+1, 取 y=0,得 x=﹣ ﹣2. 所以,△ ABC 的面积为 S= 解得 k= . 所以直线 l 的方程为 x﹣2y+4=0. 【点评】本题考查了直线的一般方程,考查了直线系方程的逆用,训练了直线方程一般式和 截距式的互化,是基础题. 19.已知圆 x2+y2+8x﹣4y=0 与圆 x2+y2=20 关于直线 y=kx+b 对称, (1)求 k、b 的值; (2)若这时两圆的交点为 A、B,求∠AOB 的度数. 【考点】关于点、直线对称的圆的方程. 【专题】计算题;数形结合;转化思想;直线与圆. 【分析】 (1)求出两圆的圆心坐标,进而求得两圆的圆心的中垂线的方程,根据直线 y=kx+b 即为 OA 的中垂线,求出 k 与 b 的值. (2) 公共弦所在的直线 2x﹣y+5=0, 利用点到直线的距离公式求出弦心距 d, 由 cos 求得 的值,即可得到∠AOB 的度数. = =4.

【解答】解: (1)圆 x2+y2+8x﹣4y=0 即(x+4)2+(y﹣2)2=20,表示以 A(﹣4,2)为圆心, 以2 为半径的圆. 圆 x2+y2=20 的圆心为 O(0,0) ,半径等于 2 , 故 OA 的中点为 C(﹣2,1) ,OA 的斜率为 =﹣ ,故 OA 的中垂线的斜率等于 2,

故 OA 的中垂线的方程为 y﹣1=2(x+2) ,即 y=2x+5. 由题意可得,直线 y=kx+b 即为 OA 的中垂线,故 k 与 b 的值分别等于 2 和 5, (2)由上可知,直线 y=kx+b 即 y=2x+5,即 2x﹣y+5=0,且此直线是公共弦所在的直线. 弦心距为 d= ∴ =60° = ,故 cos = = ,

故∠AOB=120°. 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,两点关于某直线对称的 性质,属于中档题.

20.方程 x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣2m+1=0 表示一个圆. (1)求 m 的取值范围; (2)求这个圆的面积最大时圆的方程. 【考点】二元二次方程表示圆的条件. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】 (1)方程即 (x﹣2)2+(y+m)2=﹣m2+2m+3,它表示圆时,应有﹣m2+2m+3>0, 求得 m 的范围. (2)当半径最大时,应有﹣m2+2m+3 最大,利用二次函数的性质求得此时 m 的值,可得对 应的圆的方程. 【解答】解: (1)方程 x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣2m﹣1=0 即 (x﹣2)2+(y+m)2=﹣m2+2m+3, 它表示圆时, 应有﹣m2+2m+3<0,即 m2﹣2m﹣3<0,解得﹣1<m<3, (2)当半径最大时,应有﹣m2+2m+3 最大,此时,m=1,圆的方程为 x2+y2﹣4x+2y+1=0. 【点评】本题主要考查圆的标准方程,求二次函数的最大值,属于基础题. 21.已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(﹣4,3) ,端点 A 在圆(x﹣1)2+y2=4 上运动,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. 【考点】轨迹方程. 【专题】计算题;函数思想;转化思想;直线与圆. 【分析】设出 A 和 M 的坐标,由中点坐标公式把 A 的坐标用 M 的坐标表示,然后代入圆的 方程即可得到答案. 【解答】解:设 A(x1,y1) ,线段 AB 的中点 M 为(x,y) .



,即

①.

∵端点 A 在圆(x﹣1)2+y2=4 上运动, ∴(2x+3)2+(2y﹣3)2=4. ∴线段 AB 的中点 M 的轨迹方程是(x+ )2+(y﹣ )2=1. 故答案为: (x+ )2+(y﹣ )2=1. 【点评】本题考查了与直线有关的动点轨迹方程,考查了代入法,关键是运用中点坐标公式, 是中档题. 22.某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志﹣﹣“中国印?舞动的北京”和奥运会 吉祥物﹣﹣“福娃”.该厂所用的主要原料为 A、B 两种贵金属,已知生产一套奥运会标志需用 原料 A 和原料 B 的量分别为 4 盒和 3 盒, 生产一套奥运会吉祥物需用原料 A 和原料 B 的量分 5 10 别为 盒和 盒.若奥运会标志每套可获利 700 元,奥运会吉祥物每套可获利 1200 元,该 厂月初一次性购进原料 A、B 的量分别为 200 盒和 300 盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉 祥物各多少套才能使该厂月利润最大?最大利润为多少? 【考点】简单线性规划的应用. 【专题】应用题.

【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用,由已知我们可设该厂每月生产奥运会标 志和奥运会吉祥物分别为 x,y 套,月利润为 z 元,则根据已知中生产一套奥运会标志需用原 料 A 和原料 B 的量分别为 4 盒和 3 盒, 生产一套奥运会吉祥物需用原料 A 和原料 B 的量分别 为 5 盒和 10 盒.若奥运会标志每套可获利 700 元,奥运会吉祥物每套可获利 1200 元,该厂 月初一次性购进原料 A、B 的量分别为 200 盒和 300 盒.我们可以列出变量 x,y 的约束条件 及目标函数 Z 的解析式,利用线性规划的方法,易求出答案. 【解答】解:设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为 x,y 套,月利润为 z 元,

由题意得

目标函数为 z=700x+1200y. 作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图:

目标函数可变形为 y=﹣ ∵﹣ <﹣ ∴当 y= <﹣ x+ ,

x+



通过图中的点 A 时,

z 最大. 最大, 解

得点 A 坐标为.

将点 A 代入 z=700x+1200y 得 zmax=700×20+1200×24=42800 元. 答:该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为 20、24 套时月利润最大,最大利润为 42800 元. 【点评】在解决线性规划的应用题时,其步骤为:①分析题目中相关量的关系,列出不等式 组, 即约束条件?②由约束条件画出可行域?③分析目标函数 Z 与直线截距之间的关系?④ 使用平移直线法求出最优解?⑤还原到现实问题中.


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