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2019学年高中数学人教A版必修1学案:3.2.2函数模型应用举例课堂导学案(含答案)

(人教版)精品数学教学资料
3.2.2 函数模型应用举例
课堂导学 三点剖析 一、函数模型的确定 【例 1】 以下是某地区不同身高的未成年男性体重平均值表: 身高/cm 体重/kg 身高 cm 体重/kg 60 6.13 120 20.92 70 7.90 130 26.86 80 9.99 140 31.11 90 12.15 150 38.85 100 15.02 160 47.25
x

110 17.50 170 55.05

(1)根据表中提供的数据,能否从我们已学过的函数 y=ax+b,y=alnx+b,y=a·b 中选择一 种函数, 使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重 y 关于身高 x 的函数关系?试求出这 个函数的解析式. (2)若体重超过相同身高男性平均值的 1.2 倍为偏胖,低于 0.8 倍为偏瘦,那么该地区某 中学一男生身高为 175 cm,体重为 78 kg,他的体重是否正常? 思路分析:可先根据表中的数据,描点画出函数图象(散点图) ,再根据散点图的形状判断 应当选择哪种函数关系, 然后根据已知数据求出所选式子的待定常数, 最后将表中的身高数 据代入求得的解析式,看所得的函数值是否与已知体重数据基本吻合. 解: (1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图,如右图.根据点的 x 分布特征可考虑用函数 y=a·b 反映上述数据之间的对应关系.

把 x=70,y=7.90 和 x=170,y=55.05 两组数据分别代入 y=a·b ,
70 ? ?7.90 ? a ? b , 得? 170 ? ?55.05 ? a ? b ,

x

解得 a≈2,b≈1.02, x 故该地区未成年男性平均体重关于身高的近似函数关系式可选取为 y=2×1.02 . 将已知数据代入所得函数解析式, 可知所求函数能较好的反映该地区未成年男性体重与 身高的关系. x (2)把 x=175 代入 y=2×1.02 , 175 得 y=2×1.02 ≈63.98. ∵78÷63.98≈1.22>1.2,∴这名男生体重偏胖. 二、数学模型的应用 【例 2】 某家庭某年一月份、二月份和三月份的煤气用量和交付费用如下表所示: 月份 1 用气量 4 m
3

煤气费 4元

2 3

25 m 35 m

3 3

14 元 19 元
3

该市煤气收费方法是:煤气费=基本费+超额费+保险费.若该月用气量不超过最低量 A m ,那 3 么只付基本费 3 元和每户每月的定额保险费 C 元;若用气量超过 A m ,那么超出部分付超额费, 每立方米为 B 元,又知保险费 C 不超过 5 元,试根据上述条件及数据求 A、B 的值. 思路分析:关键在于找出煤气费与用量间的函数关系,这显然是一分段函数. 3 解:设月用气量为 x m ,支付的煤气费为 y 元,依题意有,

?3 ? C, ? ?3 ? B( x ? A) ? C,

(0 ? x ? A) ( x ? A)

∵0<C≤5, ∴3<3+C≤8. ∴二、三月份煤气费满足

?14 ? 3 ? B(25 ? A) ? C, ? ?19 ? 3 ? B(35 ? A) ? C, ?B ? 0.5, ? ? A ? 3 ? 2C.
若一月份用气超过 A m ,则 4>A, ∴4=3+0.5(4-A)+C,这不可能. ∴4=3+C,C=1,B=
3

1 ,A=5. 2

温馨提示 解决实际问题,首先在审清题意的基础上,将实际问题转化成相应的函数来解决.函数 模型的应用,一方面是利用已知函数模型解决问题;另一方面是建立恰当的函数模型.并利 用所得函数模型解析有关现象.对某些发展趋势进行预测,在用函数模型解决实际问题的过 程中,涉及复杂的数据处理,要注意充分发挥信息技术的作用,简化过程、减小计算量. 各个击破 类题演练 1 我国 1990—2000 年的国内生产总值如下表所示: 年份 产值/亿元 年份 产值/亿元 年份 产值/亿元 1990 18 598.4 1994 46 670.0 1998 76 967.1 1991 21 662.5 1995 57 494.9 1999 80 422.8 1992 26 651.9 1996 66 850.5 2000 89 404.0 1993 34 560.5 1997 73 142.7

(1)描点画出 1990—2000 年国内生产总值的图象; (2)建立一个能基本反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型,并画出其图象; (3)根据所建立的函数模型,预测 2004 年的国内生产总值. 解析: (1)取自变量 x 为 0,1,…,10,对应年份为 1990,1991,…,2000 得函数图象, 如下图:

(2)根据图象,取函数模型 y=a·b . 取 2 组数据: (2,26 651.9),(8,76 967.1). 代入 y=a·b 得 ?
x

x

? .9 ? a ? b 2 , ?26651 ?76967 .1 ? a ? b8 , ?

解得 a≈18 715.5,b≈1.19,得函数模型: x y=18 715.5×1.19 . 将其他数据代入上述函数解析式,基本吻合. (3)令 x=14 得 y≈213 726.8(亿元) , 根据所建函数模型预测 2004 年的国内生产总值为 213 726.8 亿元. 类题演练 2 已知某企业的原有产品,每年投入 x 万元,可获得的年利润可表示为函数: P ( x )

1 2 · (x-30) +8(万元).现开发一个回报率高、科技含量高的新产品,据预测,新产 100 99 2 257 品每年投入 x 万元,可获得年利润 Q(x)=(100-x) + (100-x)(万元).新产品 100 5
=开发从“十五”计划的第一年开始,用两年时间完成.这两年,每年从 100 万元的生产准备 金中, 拿出 80 万元来投入新产品开发.从第三年开始这 100 万元全部用于新旧两种产品的生 产投入. (1)为了解决资金缺口,第一年初向银行贷款 1 000 万元,利率为 5.5%(不计复利) ,第 五年底一次性应向银行偿还本息共计多少万元? (2)从新产品投产的第三年开始,从 100 万元的生产准备金中,新旧两种产品各应投入多 少万元,才能使年利润最大? (3)从新旧产品的五年总利润中最高拿出 70%来,能否还清对银行的欠款? 解析: (1)五年利息是 1 000×0.055×5=275(万元) ,本利和为 1 275 万元. (2)设从第三年年初起每年旧产品投入 x 万元,新产品投入(100-x)万元,于是每年的利

1 257 99 2 2 ( x-30 ) +8 ] +{[ 100-(100-x) ] + 100 5 100 1 2 3 99 2 257 2 2 [100-(100-x)]}=(x + x-1)+(x+ x)=-x +52x-1=-(x-26) +675. 100 5 100 5
润 是 W=P ( x ) +Q(100-x)= [ ∴投入旧产品 26 万元,新产品 74 万元时,每年可获得最大的利润,最大利润是 675 万元. (3)因为 P(x)在(0,30]上是增函数,所以在 100 万元的生产准备金中除用于新 产品开发外, 剩余的 20 万元全部投入即可得到最大利润.于是, 头 2 年的利润是 W1=2×P (20) =14(万元) ;后 3 年的利润是 W2=3×[P(26)+Q(74) ]=3×675=2 025(万元) ,故 5 年的 总利润是 W=W1+W2=2 039 万元,又 2 039×70%=1 427.3>1 275,所以从新旧产品的五年总 利润中拿出 70%来,能够还清对银行的欠款.