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立体几何知识点和例题讲解


立体几何知识点和例题讲解(高三)

一、知识点
1.夹角公式 :设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 cos〈a,b〉=

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 a ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 2 1

.

? ? ? ? | a ?b | ? ? 2.异面直线所成角: cos ? ?| cos a, b | = ? | a |?|b |

| x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 |
2 1

x ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2 r r b 所成角, a, b 分别表示异面直线 a, b 的方向向量) (其中 ? ( 0o ? ? ? 90o )为异面直线 a, ??? ? ?? AB ? m ?? ? ?? ( m 为平面 ? 的法向量). 3.直线 AB 与平面所成角: ? ? arc sin ??? | AB || m |
4.空间四点 A、B、C、P 共面 ? OP ? xOA ? yOB ? zOC ,且 x + y + z = 1 5.二面角 ? ? l ? ? 的平面角

?? ? ?? ? ?? ? m?n m?n ? ? arc cos ?? ? 或 ? ? arc cos ?? ? ( m , n 为平面 ? , ? 的法向量). | m || n | | m || n | ??? ? ?? ? ? | CD ? n | ? 6.异面直线间的距离: d ? ( l1 , l2 是两异面直线, 其公垂向量为 n ,C、D 分别是 l1 , l2 上任一点,d |n| 为 l1 , l2 间的距离). ??? ? ?? ? | AB ? n | ? ? 7.点 B 到平面 ? 的距离: d ? ( n 为平面 ? 的法向量, AB 是经过面 ? 的一条斜线, A ? ? ). |n|
〈二〉温馨提示: 1.直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时它们各自的取值范围? ① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面 ② 直线的倾斜角、 到 角的取值范围依次 . 取值范围依次是 .

的角、 与

的夹角的

二、题型与方法
【考点透视】 不论是求空间距离还是空间角,都要按照“一作,二证,三算”的步骤来完成。 求解空间距离和角的方法有两种:一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量。 【例题解析】 考点 1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于 确定点在平面内的垂足,当然别忘了转化法与等体积法的应用. O 例 1 如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都为 2 , D 为 CC1 中点. (Ⅰ)求证: AB1 ⊥平面 A1BD ; x B C D A F z

A1

C1
y

B1

(Ⅱ)求二面角 A ? A1D ? B 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 A1BD 的距离.

考点 2 异面直线的距离 此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法, 考纲只要求掌握已 给出公垂线段的异面直线的距离. 例 2 已知三棱锥 S ? ABC ,底面是边长为 4 2 的正三角形,棱 SC 的长为 2,且垂直于底面. E、D 分别为 BC 、AB 的中点,求 CD 与 SE 间的距离. 思路启迪:由于异面直线 CD 与 SE 的公垂线不易寻找,所以设法将所求异 面直线的距离, 转化成求直线与平面的距离, 再进一步转化成求点到平面的 距离. 小结:通过本例我们可以看到求空间距离的过程,就是一个不断转化的过程.

考点 3 直线到平面的距离 此类题目再加上平行平面间的距离,主要考查点面、线面、面面距离间的转化. 例 3. 如图,在棱长为 2 的正方体 AC1 中,G 是 AA1 的中点,求 BD 到平面 GB1 D1 的距离. 思路启迪:把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解. 小结:当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,都是 线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点,转化为点面距离.本例解 析一是根据选出的点直接作出距离;解析二是等体积法求出点面距离.

D1

O1 B1

C1

A1
H G D A O

C B

考点 4 异面直线所成的角

此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角,然后通过解三角形来求角 .异面直线所成的角是高考考 查的重点. 例 4 、如图,在 Rt△ AOB 中, ?OAB ? π ,斜边 AB ? 4 . Rt△ AOC 可以通过
6

Rt△ AOB 以直线 AO 为轴旋转得到,且二面角 B ? AO ? C 的直二面角. D 是

z

A

AB 的中点.
1 求证: 平面 COD ? 平面 AOB(2) 求异面直线 AO 与 CD 所成角的余弦值。 . 思路启迪:关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内. . 建立空间直角坐标系 O ? xyz , 如图, 则 O(0, 0, 0) , C (2, 0, 0) , A(0, 0, 2 3) , D(0, 1 ,3) ,
??? ? ??? ? 1 ,3) , ?OA ? (0, 0, 2 3) , CD ? (?2,

D

O

x

C

B y

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 6 6. OA? CD . ? ? cos ? OA, CD ?? ??? ? ??? ? ? 4 OA ?CD 2 3 ?2 2

考点 5 直线和平面所成的角 此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位,是高考 的常考内容. 例 5. 四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC ? 底面 ABCD .已知∠ABC ? 45? , AB ? 2 ,
BC ? 2 2 , SA ? SB ? 3 .
S

(Ⅰ)证明 SA ? BC ; (Ⅱ)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小.
C D A B

如图, 四棱锥 P-ABCD 中, 侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形且与底面 ABCD 垂直, ∠ADC=60° 且 ABCD 为菱形. (1)求证:PA⊥CD; (2)求异面直线 PB 和 AD 所成角的余弦值; (3)求二面角 P-AD-C 的正切值.
P

D

C

A

B

考点 6 二面角 此类题主要是如何确定二面角的平面角, 并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进 行求解.二面角是高考的热点,应重视. 例 6.如图,已知直二面角 ? ? PQ ? ? , A ? PQ , B ? ? , C ? ? , CA ? CB , ?BAP ? 45? ,直线 CA 和平面 ? 所成的角为 30 .
?

(I) 证明 BC ⊥ PQ ;

(II) 求二面角 B ? AC ? P 的大小. P B

? C z
A O y Q

命题目的:本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识,考查空 间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.

? x

考点 7 利用空间向量求空间距离和角 众所周知,利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定.当掌握了用向量的方法解决立体几何问题 这套强有力的工具时,不仅会降低题目的难度,而且使得作题具有很强的操作性. 例 7.如图,四棱锥 P ? ABCD 是的底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , E , F 分别是 AB, PD

的中点,又二面角 P ? CD ? B 的大小为 45? , (1)求证: AF // 面 PEC ; (2)求证:平面 PEC ? 平面 PCD ; (3)设 AD ? 2, CD ? 2 2 ,求点 A 到平面 PEC 的距离; .

P F A D

E
B

C

命题意图:本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算,考查空 间想象能力、逻辑推理能力和运算能力.


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