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2018版物理《学案导学与随堂笔记》人教版 必修1第二章 习题课1 匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式

习题课 1

匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式

[学习目标] 1.掌握三个平均速度公式及其适用条件,会应用平均速度公式求解相关问题.2.会 推导 Δx=aT2 并会用它解决相关问题.

一、匀变速直线运动的平均速度公式 [导学探究] 一物体做匀变速直线运动,初速度为 v0,经过一段时间末速度为 v. (1)画出物体的 v-t 图象,求出物体在这段时间内的平均速度. t t (2)在图象中表示出中间时刻的瞬时速度 v ,并求出 v .(结果用 v0、v 表示) 2 2 答案 (1)v-t 图象如图所示

因为 v-t 图象与 t 轴所围面积表示位移,t 时间内物体的位移可表示为 v0+v x= · t① 2 平均速度 x v= ② t 由①②两式得 v= v0+v . 2

t v0+v (2)由题图可知中间时刻的瞬时速度的大小等于梯形中位线的长度,即:v = . 2 2 [知识深化] 三个平均速度公式及适用条件 x 1. v = ,适用于所有运动. t v0+v 2. v = ,适用于匀变速直线运动. 2 t 3. v =v ,即一段时间内的平均速度,等于这段时间内中间时刻的瞬时速度,适用于匀变速 2 直线运动. 例1 某战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动,达到起飞速度 v 所需时间为 t,则起飞

前的运动距离为( A.vt C.2vt 答案 B

) vt B. 2 D.不能确定

解析 因为战机在起飞前做匀加速直线运动,则 x= v t= 例2

0+v v t= t.B 正确. 2 2

一质点做匀变速直线运动,初速度 v0=2 m/s,4 s 内位移为 20 m,求:

(1)质点 4 s 内的平均速度; (2)质点 4 s 末的速度; (3)质点 2 s 末的速度. 答案 (1)5 m/s (2)8 m/s (3)5 m/s x 20 解析 (1)利用平均速度公式:4 s 内的平均速度 v = = m/s=5 m/s t 4 (2)因为 v = v4=8 m/s. (3)2 s 末为这段时间的中间时刻,故 v2= v =5 m/s. 二、位移差公式 Δx=aT2 [导学探究] 物体做匀变速直线运动,加速度为 a,从某时刻起 T 时间内的位移为 x1,紧接 着第二个 T 时间内的位移为 x2.试证明:Δx=aT2. 答案 见解析 解析 证明:设物体的初速度为 v0 自计时起 T 时间内的位移 1 x1=v0T+ aT2① 2 在第 2 个 T 时间内的位移 1 3 x2=v0· 2T+ a(2T)2-x1=v0T+ aT2.② 2 2 由①②两式得连续相等时间内的位移差为 3 1 Δx=x2-x1=v0T+ aT2-v0T- aT2=aT2, 2 2 即 Δx=aT2. v0+v ,代入数据解得,4 s 末的速度 2

[知识深化] 位移差公式 1.匀变速直线运动中,在连续相等的时间 T 内的位移之差为一恒定值,即 Δx=x2-x1=aT2. 2.应用 (1)判断物体是否做匀变速直线运动 如果 Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2 成立,则 a 为一恒量,说明物体做匀变速直线 运动. (2)求加速度 Δx 利用 Δx=aT2,可求得 a= 2 . T 例3 一个做匀加速直线运动的物体,在前 4 s 内经过的位移为 24 m,在第 2 个 4 s 内经过

的位移是 60 m,求这个物体的加速度和初速度各是多少? 答案 2.25 m/s2 1.5 m/s 解析 由公式 Δx=aT2 得: Δx x2-x1 60-24 a= 2 = 2 = m/s2=2.25 m/s2,这 8 s 中间时刻的速度 T T 42 x1+x2 60+24 v= = m/s=10.5 m/s 2T 2×4 而 v=v0+at,得:v0=1.5 m/s. 例4 从斜面上某一位置每隔 0.1 s 释放一个相同的小球,释放后小球做匀加速直线运动,

在连续释放几个后,对在斜面上滚动的小球拍下如图 1 所示的照片,测得 xAB=15 cm,xBC =20 cm.试求:

图1 (1)小球的加速度是多少? (2)拍摄时小球 B 的速度是多少? (3)拍摄时 xCD 是多少? 答案 (1)5 m/s2 (2)1.75 m/s (3)0.25 m 解析 小球释放后做匀加速直线运动,且每相邻的两个小球的时间间隔相等,均为 0.1 s, 可以认为 A、B、C、D 各点是一个小球在不同时刻的位置. (1)由推论 Δx=aT2 可知,小球的加速度为

2 2 Δx xBC-xAB 20×10- -15×10- a= 2 = = m/s2=5 m/s2. T T2 0.12

(2)由题意知 B 点对应 AC 段的中间时刻,可知 B 点的速度等于 AC 段上的平均速度,即 vB= v
AC= 2 2 xAC 20×10- +15×10- = m/s=1.75 m/s. 2T 2×0.1

(3)由于连续相等时间内的位移差恒定,所以 xCD-xBC=xBC-xAB 所以 xCD=2xBC-xAB=2×20×10-2 m-15×10-2 m=0.25 m. 三、匀变速直线运动的规律总结 1.两个基本公式: v=v0+at 1 x=v0t+ at2 2 上两个公式中包括五个物理量, 原则上已知其中三个物理量可以求解另外两个物理量, 由这 两个基本公式可以解决所有的匀变速直线运动问题. 解题时要注意公式的矢量性, 先根据规 定好的正方向确定好所有矢量的正负值. 2.几个导出公式及特点 (1)v2-v02=2ax 此式不涉及时间,若题目中已知量和未知量都不涉及时间,利用此式往往比 较简单. (2)x= v t 普遍适用于各种运动,而 v = v0+v =v t 只适用于匀变速直线运动,两者相结合 2 2

可以轻松地求出中间时刻的瞬时速度或者初、末速度. (3)x2-x1=aT2 适用于匀变速直线运动, 进一步的推论有 xm-xn=(m-n)aT2(其中 T 为连续相 等的时间间隔,xm 为第 m 个时间间隔内的位移,xn 为第 n 个时间间隔内的位移). 例5 一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动,已知途中先后经过相距 27 m 的 A、B 两点

所用时间为 2 s,汽车经过 B 点时的速度为 15 m/s.求: (1)汽车经过 A 点时的速度大小和加速度大小; (2)汽车从出发点到 A 点经过的距离; (3)汽车经过 B 点后再经过 2 s 到达 C 点,则 BC 间距离为多少? 答案 (1)12 m/s 1.5 m/s2 (2)48 m (3)33 m
AB=

解析 (1)设汽车初始运动方向为正方向,过 A 点时速度为 vA,则 AB 段平均速度为 v vA+vB 2

故由 x= v t= v

ABt=

vA+vB t,解得 vA=12 m/s. 2

vB-vA 对 AB 段:a= =1.5 m/s2. tAB (2)对 OA 段(v0=0):由 v2-v02=2ax vA2-v02 得 xOA= =48 m. 2a (3)汽车经过 BC 段的时间等于经过 AB 段的时间, 根据公式 x2-x1=aT2 对于 AC 段有:xBC-xAB=aT2, 得 xBC=xAB+aT2=27 m+1.5×22 m=33 m.

1. (基本公式的理解和应用)质点做直线运动的位移 x 与时间 t 的关系为 x=5t+2t2(各物理量 均采用国际单位制单位),则该质点( A.初速度为 5 m/s B.加速度为 2 m/s2 C.前 2 s 内的平均速度是 6 m/s D.任意 1 s 内的速度增量都是 2 m/s 答案 A 1 解析 匀变速直线运动的位移公式 x=v0t+ at2, 对照 x=5t+2t2, 可得 v0=5 m/s, a=4 m/s2, 2 A 对,B 错.前 2 秒内的位移为 18 m,平均速度 v = 18 m =9 m/s,C 错.根据加速度 a= 2s )

4 m/s2,速度与加速度方 向相同 ,质点做加速运动, 即任意1 s 内的速度增量都 是4 m/s,D 错. 2.(平均速度公式的应用)一质点从静止开始由 A 点先做匀加速直线运动到 B 点,然后从 B 点做匀减速直线运动到 C 点时速度刚好为零.已知 tAB=2tBC,那么在 AB 段和 BC 段( A.加速度大小之比为 2∶1 B.位移大小之比为 1∶2 C.平均速度大小之比为 2∶1 D.平均速度大小之比为 1∶1 答案 D )

解析 设 B 点速度为 v,tBC=t v v 加速度 a1= ,a2= 2t t 故 a1∶a2=1∶2,选项 A 错误; v 1= v 2= 0+v v = 2 2 v+0 v = 2 2

故 v 1∶ v 2=1∶1,选项 C 错误,D 正确.x1=2 v 1t,x2= v 2t,故 x1∶x2=2∶1,选项 B 错误. 3.(位移差公式的应用)(多选)如图 2 所示物体做匀加速直线运动,A、B、C、D 为其运动轨 迹上的四点,测得 AB=2 m, BC=3 m,且物体通过 AB、BC、CD 所用的时间均为 0.2 s,则 下列说法正确的是( )

图2 A.物体的加速度为 20 m/s2 C.CD=4 m 答案 BC 解析 由匀变速直线运动的规律,连续相等时间内的位移差为常数,即 Δx=aT2 可得: a BC-AB 1 = = m/s2=25 m/s2,故 A 错误,B 正确;根据 CD-BC=BC-AB,可知 CD T2 0.04 =4 m,故 C 正确,D 错误. 4. (平均速度和位移差公式的应用)(多选)一质点做匀加速直线运动, 第 3 s 内的位移是 2 m, 第 4 s 内的位移是 2.5 m,那么以下说法正确的是( A.第 2 s 内的位移是 2.5 m B.第 3 s 末的瞬时速度是 2.25 m/s C.质点的加速度是 0.125 m/s2 D.质点的加速度是 0.5 m/s2 答案 BD x4-x3 2.5-2 解析 由 Δx=aT2,得 a= 2 = 2 m/s2=0.5 m/s2,x3-x2=x4-x3,所以第 2 s 内的位 T 1 ) B.物体的加速度为 25 m/s2 D.CD=5 m

x3+x4 移 x2=1.5 m,A、C 错误,D 正确;v3= =2.25 m/s,B 正确;故选 B、D. 2T

课时作业
一、选择题(1~6 为单项选择题,7~8 为多项选择题) 1.一质点做匀加速直线运动,依次经过 O、A、B、C 四点,A、B 间的距离为 10 m,B、C 间的距离为 14 m,已知物体通过 OA 段、AB 段、BC 段所用的时间相等.则 O 与 A 的距离 为( )

A.8 m B.6 m C.4 m D.2 m 答案 B 解析 根据匀加速直线运动规律,连续相等的时间间隔 T 内物体的位移之差 Δx=aT2,则 x3 -x2=x2-x1,所以 x1=2x2-x3=2×10 m-14 m=6 m,选项 B 正确. 2.一颗子弹以大小为 v 的速度射进一墙壁但未穿出,射入深度为 x,如果子弹在墙内穿行 时做匀变速直线运动,则子弹在墙内运动的时间为( x A.v 2x 2x x B. v C. v D. 2v )

答案 B v 2x 解析 由 v = 和 x= v t 得 t= v ,B 选项正确. 2 3.一物体从斜面上某点由静止开始做匀加速直线运动,经过 3 s 后到达斜面底端,并在水 平地面上做匀减速直线运动,又经 9 s 停止,已知物体经过斜面和水平面交接处时速度大小 不变,则物体在斜面上的位移与在水平面上的位移之比是( A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.3∶1 答案 C 解析 设物体到达斜面底端时的速度为 v, v 在斜面上的平均速度 v 1= , 2 v 在斜面上的位移 x1= v 1t1= t1 2 v 在水平地面上的平均速度 v 2= , 2 v 在水平地面上的位移 x2= v 2t2= t2 2 所以 x1∶x2=t1∶t2=1∶3.故选 C. )

4. 一辆汽车从车站由静止开始做匀加速直线运动, 一段时间之后, 司机发现一乘客未上车, 便立即刹车做匀减速直线运动.已知汽车从启动到停止一共经历了 10 s,前进了 25 m,在 此过程中,汽车的最大速度为( A.2.5 m/s C.7.5 m/s 答案 B 解析 设汽车的最大速度为 vm,加速时间为 t1,减速时间为 t2,加速阶段的平均速度 v 1= 0+vm vm = 2 2 vm+0 vm 减速阶段的平均速度 v 2= = 2 2 x= v 1t1+ v 2t2= vm 1 (t +t )= v t,解得 vm=5 m/s. 2 1 2 2 m ) B.5 m/s D.10 m/s

5.甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶.在 t=0 到 t=t1 的时间内,它们的 v-t 图象如图 1 所示.在这段时间内( )

图1 A.汽车甲的平均速度比乙大 v1+v2 B.汽车乙的平均速度等于 2 C.甲、乙两汽车的位移相同 D.汽车甲的加速度大小逐渐减小,汽车乙的加速度大小逐渐增大 答案 A 解析 根据 v-t 图线下方的面积表示位移,可以看出汽车甲的位移 x 甲大于汽车乙的位移 x
乙,选项

x C 错误;根据 v = 得,汽车甲的平均速度 v t

甲大于汽车乙的平均速度

v

乙,选

项 A 正确;汽车乙的位移 x 乙小于初速度为 v2、末速度为 v1 的匀减速直线运动的位移 x,即 v1+v2 汽车乙的平均速度小于 ,选项 B 错误;根据 v-t 图象的斜率反映了加速度的大小, 2 因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小,选项 D 错误. 6. 一小球沿斜面以恒定的加速度滚下并依次通过 A、 B、 C 三点, 已知 AB=6 m, BC=10 m,

小球通过 AB、BC 所用的时间均为 2 s,则小球经过 A、B、C 三点时的速度分别为( A.2 m/s,3 m/s,4 m/s C.3 m/s,4 m/s,5 m/s 答案 B 解析 4 BC - AB =aT2,a= m/s2=1 m/s2 4 AB + BC 2T 6+10 = m/s=4 m/s 2×2 B.2 m/s,4 m/s,6 m/s D.3 m/s,5 m/s,7 m/s

)

vB=

由 vB=vA+aT, 得 vA=vB-aT=(4-1×2) m/s=2 m/s, vC=vB+aT=(4+1×2) m/s=6 m/s, B 正确. 7.一辆汽车从静止开始由甲地出发,沿平直公路开往乙地,汽车先做匀加速直线运动,接 着做匀减速直线运动,开到乙地刚好停止,其速度—时间图象如图 2 所示,那么 0~t 和 t~ 3t 两段时间内( )

图2 A.加速度大小之比为 3∶1 B.位移大小之比为 1∶2 C.平均速度大小之比为 2∶1 D.平均速度大小之比为 1∶1 答案 BD v v a1 2 1 解析 两段的加速度大小分别为 a1= ,a2= , = ,A 错.两段的位移 x1= vt,x2=vt, t 2t a2 1 2 v x1 1 = ,B 对.两段的平均速度 v 1= v 2= ,C 错,D 对. x2 2 2 8.用相同材料做成的 A、B 两木块的初速度之比为 2∶3,它们以相同的加速度在同一粗糙 水平面上沿直线滑行直至停止,则它们滑行的( A.时间之比为 1∶1 C.距离之比为 4∶9 答案 BC 二、非选择题 9.某次实验得到的一段纸带如图 3 所示(电源频率为 50 Hz),若以每五次打点的时间作为时 间单位,得到图示的 5 个计数点,各点到标号为 0 的计数点的距离已量出,分别是 4 cm、 )

B.时间之比为 2∶3 D.距离之比为 2∶3

10 cm、18 cm、28 cm,则小车的运动性质是________,当打点计时器打标号为 1 的计数点 时速度 v1=________ m/s,加速度 a=________ m/s2.

图3 答案 匀加速直线运动 0.5 2 解析 0~1、1~2、2~3、3~4 间距:x1=4 cm,x2=6 cm,x3=8 cm,x4=10 cm,连续相 等时间内的位移之差: Δx1=x2-x1=2 cm,Δx2=x3-x2=2 cm,Δx3=x4-x3=2 cm,所以 在连续相等时间内的位移之差为常数,故小车做匀加速直线运动. 10×10-2 根据某段时间内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度,有 v1= m/s= 2×0.1 Δx 2×10- 0.5 m/s.由 Δx=aT 得 a= 2 = m/s2=2 m/s2. T 0.12
2 2

10.为了安全,汽车过桥的速度不能太大.一辆汽车由静止出发做匀加速直线运动,用了 10 s 时间通过一座长 120 m 的桥,过桥后的速度是 14 m/s.请计算: (1)它刚开上桥头时的速度有多大? (2)桥头与出发点的距离有多远? 答案 (1)10 m/s (2)125 m 解析 (1)设汽车刚开上桥头时的速度为 v1 v1+v2 则有 x= t 2 2×120 2x v1= -v2=( -14) m/s=10 m/s. t 10 v2-v1 14-10 (2)汽车的加速度 a= = m/s2=0.4 m/s2 t 10 v12 100 桥头与出发点的距离 x′= = m=125 m. 2a 2×0.4 11. 一些同学乘坐火车外出旅游, 当火车在一段平直轨道上匀加速行驶时, 一位同学提议说: “我们能否用身边的器材测出火车的加速度?”许多同学参与了测量工作,测量过程如下: 他们一边看着窗外每隔 100 m 的路标, 一边用手表记录着时间, 他们观测到从第一根路标运 动到第二根路标的时间间隔为 5 s,从第一根路标运动到第三根路标的时间间隔为 9 s,请你 根据他们的测量情况,求:(小数点后均保留两位小数) (1)火车的加速度大小; (2)他们到第三根路标时的速度大小.

答案 (1)1.11 m/s2 (2)27.22 m/s x 解析 (1)设 t1=5 s,t2=(9-5) s=4 s,根据 v t = v = ,知他们在第一、二根路标中间时 t
2

刻的速度为:

v t1 =20 m/s,
2

在第二、三根路标中间时刻的速度 v t2 =25 m/s,
2

t1+t2 两中间时刻的时间间隔为 Δt= =4.5 s. 2 Δv 所以 a= = Δt

v t2 ? v t1
2 2

?t

≈1.11 m/s2.

(2)设他们到第三根路标时的速度为 v3 则 v3= v t2 + at2 =27.22 m/s.
2 2