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平面向量简单练习题

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一、选择题 1. 已知三点 A(4, 则 ? 的值 ( 1 , 3)、B(2, ? 5, 1)、C (3,?, ? 14) 满足 AB ? AC , 2.已知 a ? (1 , ? 2) , | b |? 2 5 ,且 a // b ,则 b ? ( ) ) ) ) )

a ? 0 ,则向量 b 与 a 的夹角为( 5.已知 a ? 1, b ? 2,( a ? b) ?
6.设向量 a =

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r

r ? ? (0, 2), b = ( 3,1) ,则 a, b 的夹角等于(
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7.若向量 a ? ? x ? 3,2 x ? 和向量 b ? ?? 1,1? 平行,则 a ? b ? (

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

8.已知 a ? ?? 3,2?, b ? ?? 1,0? ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值为( 9.设平面向量 a ? (1, 2) , b ? (?2, y) ,若向量 a, b 共线,则 3a ? b =( )

).

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? ? ? ? ? ? 10.平面向量 a 与 b 的夹角为 60? , a ? (2,0) , b ? 1 ,则 a ? 2b ?
11.已知向量 a ? ?2,1? , b ? ?4, x ? 1? ,若 a // b ,则实数 x 的值为 12.设向量 a ? (1,2) , b ? ( x,1) ,当向量 a ? 2 b 与 2 a ? b 平行时,则 a ? b 等于 13.若 a ? 1, b ? 2, c ? a ? b, 且c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为( 14.若 a ?
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2 , | b |? 2 且( a ? b )⊥ a ,则 a 与 b 的夹角是
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15.已知向量 AB =(cos120°,sin120°), AC =(cos30°,sin30°),则△ABC 的形状 为 A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 17.下列向量中,与 (3, 2) 垂直的向量是( ) . A. (3, ?2) B. (2,3) C. (?4, 6) 18.设平面向量 a ? (3,5), b ? (?2,1), 则a ? 2b ? (

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D. (?3, 2) )

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19.已知向量 a ? (1 , 1) , b ? (2 , n) ,若 a ? b ,则 n 等于 20. 已知向量 a, b 满足 a ? b ? 0, a ? 1, b ? 2, 则 2a ? b ? ( ) 21.设向量 a =(1. cos ? )与 b =(-1, 2 cos ? )垂直,则 cos 2? 等于 ( 23.化简 AC ? BD ? CD ? AB = 25.如图,正方形 ABCD 中,点 E , F 分别是 DC , BC 的中点,那么 EF = (

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A.

? 1 ???? 1 ??? AB + AD 2 2
? ? ?

B. -

? 1 ???? 1 ??? AB - AD 2 2

C. -

? 1 ???? 1 ??? AB + AD 2 2

26.已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m)且 a∥b,则 2a+3b=

? ? 1 , 则 | a ? 2b |? ( ) 2 ??? ? ??? ? 28.已知平面内三点 A(2, 2), B(1,3), C(7, x)满足BA ? AC ,则 x 的值为(
b?? 27.设 a, b, 满足 | a |?| b |? 1, a ?
29.已知向量 a = (1, ?2) , b = ( x, 2) ,若 a ⊥ b ,则| b |=( 二、填空题 30.若 a ? (2, ?3), b ? (4, x2 ? 5x), 若a ∥ b ,则 x=

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)

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31.已知向量 a ? (1, 2) , b ? (?3, 2) ,若向量 k a ? b 与 a ? 3b 平行,则 k ? ______. 32.边长为 2 的等边△ABC 中, AB ? BC ? 33.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 135°,|a|=2,|b|=3,则向量 a 和向量 b 的数量 积 a·b=________. 34.若 AB ? (3, 4) , A 点的坐标为 (?2, ?1) ,则 B 点的坐标为.
2 35.已知向量 a =( x ? 1 , 2 ? x ), b =( x , 1 ),若 a / / b ,则 x =.

??? ? ??? ?

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36.已知向量 a=(1, ? 3 ),则与 a 反向的单位向量是 37.若向量 a , b 的夹角为 120°,| a |=1,| b |=3,则|5 a - b |=

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0

38.已知 e1 , e2 为相互垂直的单位向量,若向量 ? e1 ? e2 与 e1 ? ? e2 的夹角等于 60 ,则实 数 ? ? _____. 39.若向量 BA =(2,3), CA =(4,7),则 BC =________. 40.在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a=(1,2),a- b=(3,1),c=(x,3),若(2a+b)∥c, 则 x= .

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41 . 已 知 向 量 a ?

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? ? ? ? ? 3 , 1 , b ? ? 0, ?1? , c ? k , 3 . 若 a ? 2b 与 c 共 线 , 则

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k =________.
42.已知 A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),则向量 AB 在向量 CD 上的投影为 ______. 43.已知向量 a ? (2 ? k ,4), b ? (2, k ? 3), 若 a ? b, 则 b ? .

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※



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44.设向量 a ? (4sin ? ,3) , b ? (2,3cos ? ) ,且 a / / b ,则锐角 ? 为________. 45.已知 A(4,1,3)、B(2,-5,1),C 为线段 AB 上一点, 且 AB ? 3 AC , 则 C 的坐标为 _____________ 46.已知向量 p ? ?1, ?2? , q ? ? x,4? ,且 p // q ,则 p ? q 的值为 47. m ? ?2 , ? ?与 n ? ?1 , a? 共线,则 a ?
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48.已知向量 a ? (4,2) ,向量 b ? ( x,3) ,且 a // b ,则 x ?

49.已知四点 A(1, 2), B(3, 4), C( ?2, 2), D( ? 3,5) ,则向量 AB 在向量 CD 方向上的射影 是的数量为 . .

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

50.设向量 a 与 b 的夹角为 ? , a ? (2,1) , a ? 2b ? (4, 5) ,则 cos ? 等于 51 .已知向量 a , b ,其中 | a |? 是 .

?

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? ? ? ? ? ? 2 , | b |? 2 ,且 (a ? b ) ? a ,则向量 a 和 b 的夹角

? ? ? ? ? ? ? ? |a| 52.已知向量 a 与向量 b 的夹角为 60°,若向量 c ? b ? 2a ,且 b ? c ,则 ? 的值为 |b|
______ 53. 已知向量 a ? (1, 2k ), b ? (1 ? k ,1), 若a ? b , 则实数 k 等于______. 54. 已知向量 OA =(-1,2) , OB =(3, m ) ,若 OA ⊥ AB ,则 m =___________. 55.已知平面向量 a ? (1,2) , b ? (?2, m) , 且 a // b ,则 2a ? 3b = 56.已知 a ? (?1, k ) , b ? (4, ? 2) 且 a ? b 与 a 垂直,则 k 的值为__________. 57.已知向量 a ? ?1,2? , a ? b ? 5 , a ? b ? 2 5 ,则 b 等于 58.已知向量 a ? (3,1) , b ? (1,3) , c ? (k ,7) ,若 (a ? c) ∥ b ,则 k= 60 .

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已 知 向 量 a ? ( 1 , 0, ) b ? (2, ?1) , c ? ( x, 1) , c ? (a ? b ) , 则 . . 。

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? ? ? ? ? ? 61.设 a ? 3 , b ? 5 ,若 a // b ,则 a ? b ?
62.若

x?

? ? ? ? ? ? ? | a |? 2,| b |? 4, 且(a ? b) ? a, 则a与b 的夹角是

63. 设向量 a=(t,-6),b=(—3,2),若 a//b,则实数 t 的值是________ 三、解答题(题型注释) 64.已知 | a |? 4 , | b |? 2 ,且 a 与 b 夹角为 120°求

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(1) (a ? 2b) ? (a ? b) ; (2) | 2a ? b | ; (3) a 与 a ? b 的夹角 65.已知单位向量 a , b 满足 (2 a ? 3 b ) ? (2 a ? b ) ? 3 。 求a ? b ; (2) 求 2 a ? b 的值。
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66. (11 分)已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) , a ? b ? (Ⅰ)求 cos(? ? ? ) 的值; (Ⅱ)若 0 ? ? ?

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2 5 . 5

?
2

,?

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2

? ? ? 0 ,且 sin ? ? ?

5 ,求 sin ? . 13

67. (本小题满分 12 分)已知 a ? (sin(

?

?
2

? ? x), cos( ? ? x)), b ? (cos x,? sin x) ,函数

? ? f ( x) ? a ? b .
(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)在 ?ABC 中,已知 A 为锐角, f ( A) ? 1, BC ? 2, B ? 68. (本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (m,1), b ? (sin x,cos x) , f ( x) ? a ? b 且满足 f ( ) ? 1 .

?
3

,求 AC 边的长.

?

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?

2

(1)求函数 y ? f ? x ? 的解析式; (2)求函数 y ? f ? x ? 的最小正周期、最值及其对应的 x 值; (3)锐角 ?ABC 中,若 f (

?

12

) ? 2 sin A ,且 AB ? 2 , AC ? 3 ,求 BC 的长. 3 ). 2

69.已知向量 a ? (sin x,?1), b ? (cos x, ⑴当 a // b 时, 求 tan x 的值;

⑵求 f ( x) ? (a ? b) ? b 的最小正周期和单调递增区间 70.(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知 ?ABC 的三个顶点的坐标为 A(3,?4), B(0,0), C (m,0) (I)若 AB ? AC ? 0 ,求 m 的值; (II)若 m ? 5 ,求 sin A 的值.
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? ?

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

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71.设非零向量 a = ?x, 2 x ? , b = ?? 3x, 2? ,且 a , b 的夹角为钝角,求 x 的取值范围

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