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高中数学(人教A版)必修一课件:2-1 第4课时 指数函数及其性质的应用(习题课)

第 4 课时 指数函数及其性质的应用(习题课) 讲一讲 1.比较下列各组数的大小: (1)1.82.2 与 1.83; (2)0.7 -0.3 与 0.7 -0.4 ; (3)1.90.4 与 0.92.4. [思路点拨] (1)、(2)利用指数函数的单调性比 较;(3)借助中间量 1 进行比较. [尝试解答] 的两个函数值. (1)1.82.2,1.83 可看作函数 y=1.8x ∵1.8>1,∴y=1.8x 在 R 上为增函数. ∴1.82.2<1.83. (2)∵y=0.7x 在 R 上为减函数, 又∵-0.3>-0.4,∴0.7-0.3<0.7-0.4. (3)∵1.90.4>1.90=1,0.92.4<0.90=1, ∴1.90.4>0.92.4. 比较幂的大小的方法 (1) 对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的 比较,可以利用指数函数的单调性来判断. (2) 对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比 较,可利用指数函数的图象的变化规律来判断. (3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较, 则应通过中间值来比较. 练一练 1. 已知 a=0.80.7, b=0.80.9, c=1.20.8, 则 a、 b、c 的大小关系是( A.a>b>c C.c>b>a ) B.b>a>c D.c>a>b 解析: 选 D 1.20.8>1.20=1,0.80.9<0.80.7<0.80=1, ∴b<a<c,故选 D. 讲一讲 2.如果 a-5x>ax+7(a>0,且 a≠1),求 x 的取值范围. [思路点拨] 分 a>1 和 0<a<1 两种情况求解. [尝试解答] (1)当 a>1 时,∵a -5x >a x 7 , + 7 ∴-5x>x+7,解得 x<-6. (2)当 0<a<1 时, ∵a -5x >ax 7,∴-5x<x+7, + 7 解得 x>-6. 综上所述,当 a>1 时,x 当 0<a<1 时,x ? 7? 的取值范围为?-∞,-6?. ? ? ? 7 ? 的取值范围为?-6,+∞?. ? ? 指数不等式的解法 (1)形如 ax>ay 的不等式:可借助 y=ax 的单调 性求解.如果 a 的值不确定,需分 0<a<1 和 a> 1 两种情况讨论. (2)形如 ax>b 的不等式: 注意将 b 化为以 a 为 底的指数幂的形式,再借助 y=ax 的单调性求解. (3)形如 ax>bx 的不等式: 可借助图象求解, 也 ?a? 可转化为?b?x>1 ? ? 求解. 练一练 2.已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x,求 x 的取值范围. 解:∵a 2 ? 1?2 7 +a+2=?a+2? +4>1, ? ? ∴y=(a2+a+2)x 在 R 上是增函数. ∴x>1-x, 1 解得 x>2. ∴x ? 1? 的取值范围是?xx>2?. ? ? 讲一讲 3.求下列函数的单调区间: (1)y=a-x2+3x+2 (a>1);(2)y=2|x 1|. - [思路点拨] 求复合函数 y=af(x)的单调区间时, 要先求出函数 u=f(x)的单调区间,再根据指数函 数的性质求原函数的单调区间. [尝试解答] ? 3?2 17 ?x- ? + , 易知 2 4 ? ? (1)设 u=-x2+3x+2=- u ? 3? 在?-∞,2?上是增函数, ? ? ?3 ? 在?2,+∞?上是减函数. ? ? ∴a>1 时,y=a u ? 3? 在?-∞,2?上是增函 ? ? ?3 ? 数,在?2,+∞?上是减函数. ? ? (2)当 x∈[1,+∞)时,函数 y=2x-1. 而 t=x-1 为增函数,y=2t 为增函数. ∴y=2x-1 为增函数; 当 x∈(-∞,1)时,函数 y=21 x. - 而 t=1-x 为减函数,y=2t 为增函数. ∴y=21-x 为减函数. 故函数 y=2|x-1|在(-∞,1)上为减函数,在[1, +∞)上为增函数. (1)关于指数型函数 y=af(x)(a>0,且 a≠1) 的单调性由两点决定,一是底数 a>1 还是 0<a<1;二是 f(x) 的单调性.它由两个函数 y =au,u=f(x)复合而成. (2)求复合函数的单调区间,首先求出函数的 定义域,然后把函数分解成 y=f(u),u=φ(x), 通过考查 f(u)和 φ(x)的单调性, 求出 y=f[φ(x)] 的单调性. 练一练 3.求函数 y=2 -x2+2x+3的单调区间. 解:∵-x2+2x+3≥0,x2-2x-3≤0, ∴-1≤x≤3. ∴函数的定义域为[-1,3], 又函数 u=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, 其图象的对称轴为直线 x=1. ∴u=-x2+2x+3 在[-1,1]上单调递 增,在[1,3]上单调递减, ∴函数 y = 2 -x2+2x+3 在 [ - 1,1] 上单调递增,在[1,3]上单调递减, 即函数 y = 2 -x2+2x+3 的单调增 区间是[-1,1],减区间是[1,3]. 讲一讲 1 4.已知函数 f(x)=a- x (x∈R). 2 +1 (1)用定义证明:不论 a 为何实数,f(x)在(-∞,+ ∞)上为增函数; (2)若 f(x)为奇函数,求 a 的值; (3)在(2)的条件下,求 f(x)在区间[1,5]上的最小值. [思路点拨 ] (1) 借助单调性的定义 证明;(2)利用 f(0)=0,求 a 的值;(3) 借助(1)来求最小值. [尝试解答] (1)∵f(x)的定义域为 R,任取 x1 1 1 < x2 ,则 f(x1) - f(x2) = a - -a+ = 2x1+1 2x2+1 2x1-2x2 . ?2x1+1??2x2+1? ∵x1<x2, ∴2x1-2x2<0,(1+2x1)(1+2x2)>0. ∴f(x1)-f(