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三视图和体积答案


立体几何一轮复习(专题一)

三视图和体积参考答案
1、 (2011 韶关)点 D 到平面 AMP 的距离为
2 3 6



二面角 P ? A M ? D 的大小为 45°。 2、 (2011 湛江二模)

1

3、 (2010 茂名二模)二面角 D—PA—B 的余弦值为 ? .
5

1

4、(2011 广州二模)
(1)证明:因为 E A ? 平 面 A B C , A C ? 平 面 A B C ,所以 E A ? A C ,即 E D ? A C . 又因为 A C ? A B , A B ? E D ? A ,所以 A C ? 平面 E B D . 因为 B D ? 平 面 E B D ,所以 A C ? B D .…………………………4 分 (2)法一:因为点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆周上,且 A B ? A C ,所以 B C 为圆 O 的直径. 设圆 O 的半径为 r ,圆柱高为 h ,根据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得,
1 ? 2 rh ? r ? 2 ? 1 0, ? ? 2 ………………………6 分 ? 1 ? 2 rh ? ? 2 r ? 2 ? 1 2 . ? ? 2
? r ? 2, 解得 ? ?h ? 2.

E C A1
1

O B

A

D1
1

D
2

所以 B C ? 4 , A B ? A C ? 2 2 .……………………………………7 分 过点 C 作 C H ? B D 于点 H ,连接 A H , 由(1)知, A C ? B D , A C ? C H ? C ,所以 B D ? 平面 A C H . 因为 A H ? 平面 A C H ,所以 B D ? A H . 所以 ? A H C 为二面角 A ? B D ? C 的平面角.………………………………9 分 由(1)知, A C ? 平面 A B D , A H ? 平面 A B D , 所以 A C ? A H ,即△ C A H 为直角三角形. 在 R t △ B A D 中, A B ? 2 2 , A D ? 2 ,则 B D ? 由 A B ? A D ? B D ? A H ,解得 A H ? 因为 tan ? A H C ?
?

AB ? AD
2

2

? 2 3.

2 6 3



AC AH

?

3 .…………………………………………13 分

所以 ? A H C ? 6 0 . 所 以 二 面 角
?

A ? BD ? C

的 平 面 角 大 小 为 z E
??? ?

6 0 .………………………14 分

法二:设 n ? ? x , y , z ? 是平面 B C D 的法向量,因为 B C ? ? 0, ? 4, 0 ? ,
???? ? n ?B C ? 0, ? ? 4 y ? 0, ? 所以 ? ???? 即? ?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0. ? n ?D B ? 0 . ?

C A1
1

O B

A

x D1
1

D y

? 取 z ? ? 1 ,则 n ? ? 1,0, 1

? 是平面 B C D 的一个法向量.…………11 分

由(1)知, A C ? B D ,又 A C ? A B , A B ? B D ? B ,所以 A C ? 平面 A B D . 所以 A C ? ? 2, ? 2, 0 ? 是平面 A B D 的一个法向量.…………………12 分
???? ???? n ? AC 因为 co s n , A C ? ???? ? n ? AC 2 2?2 2 ? 1 2

????



所以 n , A C ? 6 0 . 而 n , A C 等于二面角 A ? B D ? C 的平面角, 所
?

????

?

????









A ? BD ? C















6 0 .………………………………………………………14 分

3

5(2012 广州二模)
(1)作 MO⊥平面 ABCD,垂足为 O,连接 AO, 则∠MAO 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角. 由于平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1, 故∠MAO 是直线 AM 与平面 A1B1C1D1 所成的角. 作 MP⊥AB,垂足为 P,连接 PO,
? AB ? 平面 ABCD,

……………l 分

……………2 分

∴MO⊥AB.
? MO ? MP ? M , MO ? 平面 MOP , MP ? 平面 MOP,

∴AB⊥平面 MOP. 由题意知 MO ? PO ? AP ? 1, AD ? 2 , AA 1 ? 4 . 在 Rt ? POM 中, PM ? 在 Rt ? APM 中, AM ?
PO AP
2

……………3 分

? MO ? PM
MO AM

2

? ?
1 3

2 3
3 3

2

2

在 Rt ? AOM 中, sin ? MAO ?

?

?

∴直线 AM 与平面 A1 B1C 1 D1 所成角的正弦值为

3 3

……………5 分

(2)延长 PO 交 CD 于点 Q,连接 MQ, 由(1)知 AB⊥平面 MOP ∴MQ ? 平面 MOP, ∴AB⊥MQ. ∵MN∥AB, ∴MN⊥MP,MN⊥MQ. …………6 分 ……………7 分

∴∠PMQ 是二面角 A 一 MN—C 的平面角. 在△PMQ 中, MQ ? MP ?
? MP
2

2 . PQ ? 2

? MQ

2

? 4 ? PQ ,
2

4

? ? PMQ ? 90 .

?

……………8 分 ……………9 分

∴二面角 A 一 MN 一 C 的余弦值为 0. (3)作 NP1∥MP 交 AB 于点 P1,作 NQ1 ∥MQ 交 CD 于点 Q1,

由题意知多面体 MN—ABCD 可分割为两个等体积的四棱锥 M—APQD 和 N ? PBCQ 和一个直三棱柱 MPQ ? NP1Q 1 . 四棱锥 M ? APQD 的体积为 V ?
1 3 ? AP ? AD ? MO ? 1 2 2 3 ?2? 1 3 ? MP ? MQ ? MN ? 1 2 10 3 ? ?1? 2 ?1 ? 2 3 2?

1

…………10 分
2 ? 2 ? 2 …11 分

直三棱柱 MPQ ? NP1Q1 的体积为 V 2 ?

∴多面体 MN ? ABCD 的体积为 V ? 2V1 ? V 2 ? 2 ?

……………12 分

长方体 ABCD ? A1 B1C 1 D1 的体积为 V 3 ? AB ? BC ? AA 1 ? 4 ? 2 ? 4 ? 32 ………13 分 ∴建筑物的体积为 V ? V 3 ? 解法 2: (1)以点 D 为原点,DA 所在直线为 x 轴,DC 所在直线为 y 轴, D 1 D 所在直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系 D ? xyz ,(如图),作 MO⊥平面 ABCD,垂足为 O, 作 OP⊥AB,垂足为 P,依题意知 MO ? OP ? AP ? 1, AD ? 2 . AA 1 ? 4 , 则 D ( 0 , 0 , 0 ), A ( 2 , 0 , 0 ), M (1,1,1) , N (1,3 ,1), A1 ( 2 , 0 , ? 4 ) ……………1 分
? AM ? ( ? 1,1,1) ?
? AA 1 ? 平面 A1 B1C 1 D1
106 3

……………14 分

……………2 分

∴平面 A1 B1C 1 D1 的一个法向量为 AA 1 ? ( 0 , 0 , ? 4 ) ………3 分 设直线 AM 与平面 A1 B1C 1 D1 所成角为θ ,
AM ? AA 1 AM AA 1

则 sin ? ?

?

4 3?4

?

3 3

……………4 分

∴直线 AM 与平面 A1 B1C 1 D1 所成角的正弦值为

3 3

……5 分

5

(2)由(1)知 MN ? ( 0 , 2 , 0 ), DM ? (1,1,1), 设平面 ABNM 的法向量为 n1 ? ( x , y , z ), 由 n1 ? MN ? 0 , n1 ? AM ? 0 , 得 ? 令 x ? 1 ,则 z ? 1, y ? 0 ∴平面 ABNM 的一个法向量为 n1 ? (1, 0 ,1) 设平面 CDMN 的法向量为 n 2 ? ( x , y , z ) 由 n 2 ? DM ? 0 , n 2 ? MN ? 0 ,得 ? 令 x ? 1 ,则 z ? ? 1, y ? 0 ∴平面 CDMN 的一个法向量为 n 2 ? (1, 0 , ? 1)
? n 1 ? n 2 ? 1 ? 1 ? 0 ? 1 ? ( ? 1) ? 0 ,
? x ? y ? z ? 0, ?2 y ? 0. ?? x ? y ? z ? 0, ?2 y ? 0.

……………6 分

……………7 分

∴平面 ABNM⊥平面 CDMN. ∴二而角 A 一 MN 一 C 的余弦值为 0. (3)如图将多面体 MN ? ABCD 补成一个直三棱柱 ADQ ? BCQ 1 , 依题意知 AQ ? DQ ? BQ 1 ? CQ 1 ?

……………8 分 ……………9 分

2 , MQ ? NQ 1 ? 1, AD ? 2 , AA 1 ? 4 ,

多面体 MN ? ABCD 的体积等于直三棱柱 ADQ ? BCQ 1 的体积减去两个等体积的三 棱锥 M ? ADQ 和 N ? BCQ 1 的体积
? AQ
2

? DQ

2

? 4 ? AD
?

2

? ? AQD ? 90 .

∴直三棱柱 ADQ ? BCQ 1 的体积为 V1 ?

1 2

? AQ ? DQ ? AB ?

1 2

?

2?

2 ? 4 ? 4,

…………………………10 分
1 1 1 1 三棱锥 M ? ADQ 的体积为 V 2 ? ? ? AQ ? DQ ? MQ ? ? ? 3 2 3 2 2 3 10 3 2? 2 ?1 ? 1 3 ?

…………………………11 分 ∴多面体 MN ? ABCD 的体积为 V ? V1 ? 2V 2 ? 4 ?
?

…………12 分

6

长方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 的体积为 V 3 ? AB ? CD ? AA 1 ? 4 ? 2 ? 4 ? 32 . ∴建筑物的体积为 V ? V 3 ?
106 3

……13 分

………………14 分

6、(2011 肇庆一模)二面角 D ? C G

? F 的余弦值为

6 6



六面体 A B C D E F G 的体积为 4。

7、 (2012 湛江二模)五面体 E F -A B C D 的体积 ;
3
MN

5

的长

2 2



8(2011 广州一模)(1)证明:

连接 B1C ,设 B1C 与 B C 1 相交于点 O ,连接 O D ,

∵ 四边形 B C C 1 B1 是平行四边形, ∴点 O 为 B1C 的中点. ∵ D 为 A C 的中点,
A1 A

∴ O D 为△ A B1C 的中位线, ∴ O D // A B1 . …… 2 分
D

E

∵ O D ? 平面 B C 1 D , A B1 ? 平面 B C 1 D ,
B1 B

∴ A B1 // 平面 B C 1 D . (2)解: 依题意知, A B ? B B1 ? 2 ,

…… 4 分
O C1

G F
C

∵ A A1 ? 平面 A B C , A A1 ? 平面 A A1 C 1 C , ∴ 平面 A B C ? 平面 A A1 C 1 C ,且平面 A B C ? 平面 A A1 C 1 C ? A C . 作 B E ? A C ,垂足为 E ,则 B E ? 平面 A A1 C 1 C , 设 BC ? a , 在 Rt△ A B C 中, A C ?
AB ? BC
2 2

……6 分

?

4 ? a , BE ?
2

A B ?B C AC

?

2a 4?a
2



7

∴四棱锥 B ? A A1C 1 D 的体积 V ?
?

1 3
1

?

1 2

? A1C 1 ?
2

A D ? ?A A1 ?B E
2a 4?a
2

?

3 2

4 ? a ? 2?

? a.

…… 8 分

6

依题意得, a ? 3 ,即 B C ? 3 . (以下求二面角 C ? B C 1 ? D 的正切值提供两种解法)

…… 9 分

解法 1:∵ A B ? B C , A B ? B B1 , B C ? B B1 ? B , B C ? 平面 B B1C 1C , B B1 ? 平面
B B1 C 1 C ,

∴ A B ? 平面 B B1C 1C . 取 B C 的中点 F ,连接 D F ,则 D F // A B ,且 D F ? ∴ D F ? 平面 B B1C 1C . 作 F G ? B C 1 ,垂足为 G ,连接 D G , 由于 D F ? B C 1 ,且 D F ? F G ? F , ∴ B C 1 ? 平面 D F G . ∵ D G ? 平面 D F G , ∴ B C1 ? D G . ∴ ? D G F 为二面角 C ? B C 1 ? D 的平面角. 由 Rt△ B G F ~Rt△ B C C 1 ,得
GF C C1 ? BF B C1

1 2

AB ? 1.

…… 12 分

,

3

得GF ?

B F ?C C 1 B C1

?2 ? 13

?

2

3 13 13

,

在 Rt△ D F G 中, tan ? D G F ?

DF GF

?

13 3

.

∴二面角 C ? B C 1 ? D 的正切值为

13 3

.

…… 14 分

解 法 2: ∵ A B ? B C , A B ? B B1 , B C ? B B1 ? B , B C ? 平 面 B B1C 1C , B B1 ? 平 面
8

B B1 C 1 C ,

∴ A B ? 平面 B B1C 1C .
z

以点 B1 为坐标原点,分别以 B1 C 1 , B1 B , B1 A1 所在直线为 x 轴,
y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系 B1 ? xyz .

A1

A

则 B ? 0, 2, 0 ? , C 1 ? 3, 0, 0 ? , A ? 0, 2, 2 ? , D ?
???? ? ???? ? 3 ? ∴ B C 1 ? ? 3, ? 2, 0 ? , B D ? ? , 0 ,1 ? ?2 ?

?3

? , 2,1 ? . ?2 ?
B1

D

B

y

O C

设平面 B C 1 D 的法向量为 n ? ? x , y , z ? ,
x

C1

?3 x ? 2 y ? 0, ???? ? ???? ? 由 n ? B C 1 ? 0 及 n ? B D ? 0 ,得 ? 3 ? x ? z ? 0. ?2

令 x ? 2 ,得 y ? 3, z ? ? 3 . 故平面 B C 1 D 的一个法向量为 n ? ? 2, 3, ? 3 ? , 又平面 B C 1 C 的一个法向量为 A B ? ? 0, 0, ? 2 ? ,
???? ??? ? 2 ? 0 ? 0 ? 3 ? ? ?2 ? ? ? ?3? n ? AB ? ∴ co s ? n , A B ? ? ???? ? 2 ? 22 n AB

…… 11 分

??? ?

3 22

.

…… 12 分

??? ? ∴ sin ? n , A B ? ?

? 1? ? ?

3

? ? 22 ?

2

?

13 22

.

…… 13 分

∴ ta n ? n , A B ? ?

??? ?

13 3

.

∴二面角 C ? B C 1 ? D 的正切值为

13 3

.

…… 14 分

9(2012 汕头二模)
17、证明: (1)? AA 1 ? 平面 A1 B 1 C 1 D 1 , B 1 D 1 ? 平面 A1 B 1 C 1 D 1 --------------(1 分)

9

A _ B _

D _

又 ( ? AA 1 ? B 1 D 1 , ? B 1 D 1 ? A1 C 1 ---------------------------------- 2 分)
? B 1 D 1 ? 平面 AA 1 C 1 --------------------------------------------------(3 分)

C _

又? B 1 D 1 ? 平面 AB 1 D 1
? 平面 AB 1 D 1 ? 平面 AA 1 C 1 --------------------------------------------- 分) (5

A1 __ B1 __ 第 17 题图

D1 __ (2)方法一:建立如图所示的空间直角坐标系,设 AA 1 ? h ,那么 C1 __
A1 ( 0 , 0 , 0 ) ; A ( 0 , 0 , h ) ; B 1 (1, 0 , 0 ) ; D 1 ( 0 ,1, 0 ) ; C 1 (1,1, 0 ) ------(6 分)

? AB 1 ? (1, 0 , ? h ) ;? AD 1 ? ( 0 ,1, ? h ) ; B 1 C 1 ? ( 0 ,1, 0 ) ; D 1 C 1 ? (1, 0 , 0 ) -------(7 分)

假设平面 AB 1 C 1 与平面 AD 1 C 1 的法向量分别为 n 1 ? ( x 1 , y 1 , z 1 ) ; n 2 ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,那么
n 1 ? AB 1 ? x 1 ? hz 1 ? 0 , ; n 1 ? B 1 C 1 ? x 1 ? hz 1 ? y 1 ? 0 令 z 1 ? 1, 则 x 1 ? h
? n 1 ? ( x 1 , y 1 , z 1 ) ? ( h , 01 ) -----------------------------------------------------------------(8 分)

同理可以求得: n 2 ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) ? ( 0 , h ,1) --------------------------------------(9 分)
?| n 1 ? n 2 |? | n 1 | ? | n 2 || cos ? n 1 , n 2 ? |

?1 ?

h ?1?
2

h ?1?
2

1 2

,? h ? 1 ? 2 , h ? 1 -------------------------------(11 分)
2

此时,正四棱柱 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 是棱长为 1 的正方体,且 四棱锥 A ? A1 B 1 C 1 D 1 的体积 V ?
1 3 ?1?1 ? 1 3

------------------------------(12 分)

方法二:过点 B 1 作 B 1 H ? AC 1 于 H ,连接 D 1 H , 容易证得 D 1 H ? AC 1 ,
0

B 1 H = D 1 H --------------------------------------(7 分)

所以 ? B 1 HD 1 ? 120 ,且在 ? B 1 HD 1 中,由余弦定理可得: A _
B1 D 1 ? B1 H
2 2

D _

? D1 H
6 3

2

? 2 B 1 H ? D 1 H ? cos 120

0

? 2

B _

C _

所以 B 1 H = D 1 H =

,又可证得:------------(9 分)

AB 1 ? B 1 C 1 ,所以在 RT ? AB 1 C 1 ,由等面积法:

H A1 __ B1 __ 第 17 题图 C_ _10 1 D1 __

AB 1 ? B 1 C 1 = B 1 H ? AC 1 ,
6 3

即 h ? 1 ?1 ?
2

?

h ? 2 ------------(9 分)
2

所以 h ? 1 ,---------------------------------------------(11 分) 此时,正四棱柱 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 是棱长为 1 的正方体,且 四棱锥 A ? A1 B 1 C 1 D 1 的体积 V ?
1 3 ?1?1 ? 1 3

-------------------------------------------(12 分)

10(2012 年高考(湖南理) )
解法(Ⅰ如图(1)),连接 AC,由 AB=4, B C ? 3 , ? A B C ? 9 0 , 得 A C ? 5 .
又 A D ? 5, E 是 CD 的中点,所以 C D ? A E . ? P A ? 平 面 A B C D , C D ? 平 面 A B C D , 所以 P A ? C D .
?

而 P A , A E 是 平 面 P A E 内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE. (Ⅱ)过点 B 作 B G ? ? C D , 分 别 与 A E , A D 相 交 于 F , G , 连 接 P F . 由(Ⅰ)CD⊥平面 PAE 知,BG⊥平面 PAE.于是 ? B P F 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角,且 B G ? A E . 由 P A ? 平 面 A B C D 知, ? P B A 为直线 P B 与平面 A B C D 所成的角.
A B ? 4, A G ? 2, B G ? A F , 由题意,知 ? P B A ? ? B P F ,

因为 sin ? P B A ?

PA PB

, sin ? B P F ?
?

BF PB

, 所以 P A ? B F .

由 ? D A B ? ? A B C ? 9 0 知 , A D / / B C , 又 B G / / C D , 所以四边形 B C D G 是平行四边 形,故 G D ? B C ? 3. 于是 A G ? 2. 在 R tΔ B A G 中, A B ? 4, A G ? 2, B G ? A F , 所以
AB
2

BG ?

AB ? AG
2

2

? 2 5, BF ?

?

16 2 5

?

8 5 5

.

BG
8 5 5

于是 P A ? B F ?

.

又梯形 A B C D 的面积为 S ?

1 2

? (5 ? 3) ? 4 ? 1 6, 所以四棱锥 P ? A B C D 的体积为

11

V ?

1 3

? S ? PA ?

1 3

? 16 ?

8 5 5

?

128 5 15

.

11、 (2011 清远)二面角 M 12(2011 揭阳一模)

? A1 B1 ? C 1 的大小

45°。

E (1)证法1:∵ E F // A D , A D // B C ∴ E F // B C 且 E F ? A D ? B C ∴四边形 EFBC 是平行四边形 ∴H 为 FC 的中点-------------2 分 又∵G 是 FD 的中点 G H ∴ H G // C D ---------------------------------------3 分 ∵ H G ? 平面 CDE, C D ? 平面 CDE D ∴GH∥平面 CDE ---------------------------------4 分 C B 证法2:连结 EA,∵ADEF 是正方形 ∴G 是 AE 的中点 -------1 分 ∴在⊿EAB 中, G H // A B ------------------------------------------------------------------2 分 又∵AB∥CD,∴GH∥CD,-----------------------------------------------------------------3 分 ∵ H G ? 平面 CDE, C D ? 平面 CDE ∴GH∥平面 CDE ---------------------------------------------------4 分 (2)∵平面 ADEF⊥平面 ABCD,交线为 AD 且 FA⊥AD, ∴FA⊥平面 ABCD.----------------------------------- ---------------6 分

F

A

∵BD⊥CD, B C ? 2 , C D ? x

∴FA=2, B D ?

4 ? x (0 ? x ? 2 )
2

∴ S ? ABCD ? C D ? B D = x 4 ? x

2

∴V ( x ) ?

1 3

S ? ABCD ? F A ?

2 3

x 4 ? x ( 0 ? x ? 2 )---------------------8 分
2

2 2 (3)要使 V ( x ) 取得最大值,只须 x 4 ? x = x ( 4 ? x ) ( 0 ? x ? 2 )取得最大值,

2

∵ x (4 ? x ) ? (
2 2

x ?4?x
2

2

) ? 4 ,当且仅当 x ? 4 ? x , 即 x ?
2

2

2

2 时

2
V ( x ) 取得最大值-----------------------------------------------------------------------------10 分

解法1:在平面 DBC 内过点 D 作 D M ? B C 于 M,连结 EM ∵ BC ? ED ∴ B C ? 平面 EMD ∴ BC ? EM ∴ ? E M D 是平面 ECF 与平面 ABCD 所成的二面角的平面角-------12 分 ∵当 V ( x ) 取得最大值时, C D ?
2 , DB ? 2

E

F

H

G

D C M B

A

12

∴ DM ?

1 2

BC ? 1 , EM ?

ED ? DM
2

2

?

5

∴ sin ? E M D ?

ED EM

?

2 5 5

即平面 ECF 与平面 ABCD 所成的二面角的正弦值为

2 5 5

.------------------------------------14 分 z
E F

解法2:以点 D 为坐标原定,DC 所在的直线为x轴建立空间直角 坐标系如图示,则 D (0, 0, 0 ) , C ( 2 , 0, 0 ), B (0, 2 , 0 ), E (0, 0, 2 )
???? ∴ D E ? (0, 0, ??? ? ??? ? 2 ) , E C ? ( 2 , 0, ? 2 ) , E B ? (0,

H

G

2 , ? 2 ) -------12 分
D C x B y A

设平面 ECF 与平面 ABCD 所成的二面角为 ? ,
? 平面 ECF 的法向量 n ? ( a , b , c )

由 n ? E C , n ? E B , 得 2 a ? 2 c ? 0, 2 b ? 2 c ? 0 令 c ? 1 得 n ? ( 2 , 2 ,1)
???? ? DE ?n ∴ co s ? ? ????? ??? ? | D E | ?| n |

?

??? ? ? ?

??? ?

又∵平面 ABCD 的法向量为 D E

????

2 2? 5

?

5 5

∴ sin ? ?

2 5 5

.-----------------------14 分

13


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