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安徽省安庆市2015届高三第三次模拟考试数学理试题(扫描版,含解析)


2015 年安庆市高三模拟考试(三模)
数学试题(理科)参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 C 5 B 6 D 7 B
2 2

8 D

9 A

10 B

b?R ) 1.C 【解析】 设 z ? a ? bi( a , , 由 z z ? 1 ? 1 ? i 得 a ? b ? a ? bi ? 1 ? i , 所以 b ? 1 ,

?

?

a 2 ? a ? 1 ? 1,所以 a ? 0 或 a ? ?1 .选 C.
A ? B 等价于 cos A ? cos B , c s 2.D 【解析】 等价于 sin A ? sin B , 排除 A、 B; 由 bo
及正弦定理可得 sin( A ? B) ? 0 , ? ? ? A ? B ? ? ,得 A ? B ,排除 C;选 D. 3.C【解析】不妨设 A 、 B 为左、右焦点,实半轴长为 a ,半焦距为 c ,若点 C 在双曲线的左 支上,设 BC 中点为 D ,则由定义知 |BD|=

A ? ao c s

B

1 1 |BC|= (2c+2a)=c+a ,在 Rt△ABD 中,由 2 2

c?a 1 1 ? , e ? ?3, 不可能。故 C 在双曲线的右支上,设 BC 中点为 D , ,故 3 2c 3 1 1 1 则由双曲线定义知 BD ? BC ? (2c ? 2a ) ? c ? a ,在 Rt ?ABD 中, cos ?ABD ? ,故 2 2 3 c?a 1 c ? ,得 e ? ? 3 .选 C. 2c 3 a cos ?ABC ?
4.C【解析】随机数共有 20 组,其中表示 3 次投篮恰有 2 次的有:191,271,027,113,共

4 ? 0.2 .选 C. 20 1 5.B【解析】 V ? 6 ? 10 ? 1 ? ? (1 ? 2) ? 1 ? 10 ? 5 ? 2 ? 10 ? 175 .选 B. 2 2 6.D 【解析】 a ? 2 时, ? ? a ? 4(a ? 2) ? 0 ,由韦达定理 x1 ? x2 ? a , x1x2 ? a ? 2 ,则 1 1 1 ?a? ?a?2? ? 2 ? 4 当且仅当 a ? 3 时取等号.选 D. x1 ? x 2 ? a?2 a?2 x1 x 2
4 组,所以估计概率为 7.B【解析】曲线 C 的直角坐标方程为 x ? ( y ? 1) ? 1 ,曲线 E 的普通方程为
2 2

3x ? 4 y ? 6 ? 0 , 则 ?APB 取最大值时,PA 、PB 与圆 C 相切, 且 PC 最短, 此时在 Rt ?PAC
中, sin ?APC ?

? 1 ? ,故 ?APC ? , ?APB 为 .选 B. 2 3 6

8.D 【解析】 由已知 f ( x ) 为周期为 2 的函数, 由 f ( x ? 1) 是奇函数, 有 f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) ,
数学试题(理科)参考答案(共 7 页)第 1 页

即 f ( x) ? ? f (2 ? x) ,故 f (? ) ? f ( ) ? ? f ( ) ? ? f (? ) ,而 ?1 ? x ? 0 时,

3 1 3 1 2 2 2 2 1 1 1 1 3 1 f ? x ? ? ?2x ? x ?1? ,所以 f (? ) ? ?2(? )( ? ? 1) ? , f (? ) ? ? 2 2 2 2 2 2

3 9.A 【解析】 能构成三角形 C8 ? 56 个,其中直角三角形 4 ? 6 ? 24 个,钝角三角形 3 ? 8 ? 24

个,故锐角三角形为 8 个.选 A. 10.B【解析】由 f ( x1 ) f ( x2 ) ? x1x2 ? 0 知,对函数 f ( x ) 图象上任意一点 A( x1, f ( x1 )) ,都存 在一点 B( x2 , f ( x2 )) ,使 OA ? OB ,由图象可知,符合条件的有②⑤;选 B. 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上). 11.

1 y2 y2 2 ? t (t ? 0) ,当椭圆 x 2 ? ? t 与线段 【解析】令 x ? 3 2 2

? 2 y2 ?t ?x ? x ? y ? 1 (0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1) 相切时, t 最小. 联立 ? ,消去 y 得 2 ?x ? y ? 1 ?
3x 2 ? 2 x ? 1 ? 2t ? 0 ,由 ? ? 0 ,得 t ?
1 1 1 .即 ? ? ,所以实数 ? 的最小值为 . 3 3 3

12. 127 【解析】 设 t ? x ?1, 则 (?1 ? t )8 ? 1 ? a0 ? a1t ? a2t 2 ? ? ? a8t 8 , 令t ? 0, 则 a0 ? 2 , 令 t ? 1 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a8 ? 1,令 t ? ?1 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a8 ? 257,

a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? 127 .
13.15【解析】设等比数列 {an } 的公比为 q ,显然 q ? 1 , S2 ?

a1 (1 ? q 2 ) ? 1, 1? q

S4 ?

S a1 (1 ? q 4 ) a (1 ? q8 ) a1 (1 ? q 2 ) 由 4 ? 3 得 q2 ? 2 , ? 3, S8 ? 1 ? (1 ? q 2 )(1 ? q 4 ) ? 15 . 1? q 1? q 1? q S2
? ? x ? a , ( x ? 0) ,结合图象可知: a ? -2 . 2 ? ? x ? 4 x ? 2, ( x ? 0)
2 2

14. a ? -2 【解析】 f ( x) ? ?

15.③⑤【解析】①当 a 、 b 的夹角为 ? 时, a ? b ? 0 ,不正确;②当 b ? 0 时不正确;③由 空间向量基本定理, 正确; ④ | p ? q |? ( p ? q) ? ( p ? q) ? | p ? q | ? | p ? q || cos ? p ? q, p ? q ?|
数学试题(理科)参考答案(共 7 页)第 2 页

? | p ? q | ? | p ? q | ,当 p ? q 与 p ? q 同向共线时,取等号,不正确;⑤ p 在基底 i, j, k 下
的坐标为 (1,2,3) ,即 p ? i ? 2 j ? 3k ? 0(i ? j ) ? 2( j ? k ) ? 1(k ? i) ,正确. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 16. (本题满分 12 分) 【解析】(Ⅰ) 依题意, A(cos x, sin x) , P(2 cos x, sin x) ,

? ?

OA ? OP ? 2 cos2 x ? sin 2 x ? 1 ? cos2 x ,因此,

f ( x) ? OA? OP ? cos x(cosx ? 2 3 sin x) ? 1 ? cos2 x ? cos2 x ? 2 3 sin x cos x
? 1 ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2 sin( 2 x ?
所以, f ( x) 的最大值为 4,最小值为 0; (Ⅱ)由 ?

?
6

)?2
…………6 分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? (k ? Z ) 得: ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? (k ? Z ) ,

因此, f ( x) 的单调增区间为 [?

? k?, ? k? ]( k ? Z ) ,同理可得: f ( x) 的单调减区间为 3 6 ? 2? ? k? [ ? k?, ? k? ]( k ? Z ) ,其图象的对称中心为 ( ? ? , 2)( k ? Z ) …………12 分 6 3 12 2

?

?

17. (本题满分 12 分) 【解析】(Ⅰ) 第 7、8、9 三题均有两个选项能排除,因此,第 7、8、9 三题做对的概率均为

1 1 ,第 10 题只有一个选项能排除,因此,第 10 题做对的概率为 . 2 3
所以,该同学选择题得 40 分的概率 P 为:

2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 3 P?C( ) ( 1? ) ( ? 1? ) ?C ? ( 1? ) ? ? 3 2 3 2 2 3 2 3 8
(Ⅱ)设该同学 7、8、9、10 题中做对的题数为 X ,则随机变量 X 的分布列为

1 7 12 24 7 18 15 4 11 E(X) ? ? ? ? ? 24 24 24 24 6
所以,该同学数学得分的期望为 30 ? 5 ?

X P

0

1

2

3

4

3 8

5 24

1 24

11 1 ? 65 ? 104 6 6 7 3 5 1 11 ? ? ? ? 该同学数学得分不低于 100 分的概率为 P ? 24 8 24 24 12
数学试题(理科)参考答案(共 7 页)第 3 页

…………12 分

18.(本题满分 12 分) 【解析】(1)分别取 EF 、 FH 、 CF 的中点 M 、 R 、 Q ,连接 MR 、 MQ 、 NQ 、 NR 则 MR ∥ EH ∥ FA ∥ NQ 且 MR ?

1 1 EH ? FA ? NQ 2 2

∴四边形 MRNQ 为平行四边形 ∴ MQ ∥ NR 又 MQ ? 平面 EFC , NR ? 平面 EFC ,

? NR ∥平面 EFC ,即 P 为 FH 的中点 R. …………5 分
(Ⅱ)分别以直线 AB 、 AD 、 AF 为 x 、 y 、 z 轴, 建立空间直角坐标系,如图所示. 则 G (4,0,2) , F (0,0,2) , C (4,4,0) , E (0,4,4) 设平面 GFC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) 由 n1 ? FG ? x ? 0 , n1 ? CG ? 2 y ? z ? 0 ,令 z ? 2 得: n1 ? (0,1,2) 类似可得平面 EFC 的法向量为 n2 ? (2,?1,2) ,

? cos< n1 , n2 > ?

3 3 5

?

5 5 ,所以二面角 E ? FC ? G 的余弦值为 ? .…………12 分 5 5

19. (本题满分 13 分) 【解析】(Ⅰ) 设斜率为

1 的直径平行的弦的端点坐标分别为 (x1, y1) 、 (x2, y2 ) ,该弦中点 2

2 2 x12 y12 x2 y2 ( x ? x )( x ? x )( y ? y )( y ? y ) 1 2 1 2 为 ( x, y ) , 则有 相减得: 1 2 1 2? , ? ?1, ? ?1, ? 0 16 4 16 4 16 4

由于 x ?

x1 ? x2 y ? y2 y ? y2 1 ,y? 1 ,且 1 , ? ,所以得: x? 2 y?0 2 2 x1 ? x 2 2
……………………5 分

故该直径的共轭直径所在的直线方程为 x? . 2 y?0

(Ⅱ) 椭圆的两条共轭直径为 AB 和 CD ,它们的斜率分别为 k1 、 k2 . 四边形 ACBD 显然为平行四边形,设与 AB 平行的弦的端点坐标分别为 (x1, y1) 、 (x2, y2 ) ,
数学试题(理科)参考答案(共 7 页)第 4 页

则 k1 ?

x2 y2 x2 y2 y1 ? y2 y ? y2 , k2 ? 1 ,而 1 ? 1 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 , x1 ? x2 x1 ? x2 16 4 16 4
2 2

( x ? x )( x ? x )( y ? y )( y ? y ) y ? y2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 ,故 k1k2 ? 12 ? ? 0 ?? . 2 16 4 4 x1 ? x2

? y ? k1 x 4 4k1 4 4k1 ? 由 ? x2 y 2 得 A 、 B 的坐标分别为 ( , ) , (? ,? ) 2 2 2 2 ? ? 1 1 ? 4 k 1 ? 4 k 1 ? 4 k 1 ? 4 k ? 1 1 1 1 ?16 4
故 AB =

8 1 ? 4k
2 1

1 ? k12 , 4
2 1 ? 4k2

同理 C 、 D 的坐标分别为 (

,

4k2
2 1 ? 4k2

) , (?

4
2 1 ? 4k2

,?

4k2
2 1 ? 4k2

)

4k1
所以,点 C 到直线 AB 的距离 d ?

1 ? 4k

2 2

?

4k 2
2 1 ? 4k 2

1 ? k12

?

4 k1 ? k2
2 1 ? k12 1 ? 4k2

设点 C 到直线 AB 的距离为 d ,四边形 ACBD 的面积为 S ,则

S ? d AB ?

4 k1 ? k2
2 1 ? k12 1 ? 4k 2

?

8 1 ? 4k12

1 ? k12 ?

32 k1 ? k2
2 1 ? 4k12 1 ? 4k2

2 k12 ? k2 ? 2k1k2 ? 32 ? 16 ,为定值. ……………………13 分 2 2 2 1 ? 4( k1 ? k2 ) ? 16 k 21k2

20. (本题满分 13 分) 【解析】(Ⅰ)由 2Sn ? (an ?1)(an ? 2) 可得 2Sn?1 ? (an?1 ?1)(an?1 ? 2) , n ≥ 2 , 两式相减得 2an ? an ? an?1 ? an ? an?1 ? ? an ? an?1 ?? an ? an?1 ?1? ? 0 .
2 2

因为 an ? 0 ,所以 an ? an?1 ?1 ? 0 ,即 an ? an?1 ? 1 ( n ≥ 2 ). 所以数列 {an } 是首 项为 2,公差为 1 的等差数列,故 an ? n ? 1 . …………5 分

数学试题(理科)参考答案(共 7 页)第 5 页

(Ⅱ)因为 b1 ? 1 , bn?1bn ? an 即 bn?1bn ? n ? 1,所以 b2 ? 2 ,bnbn?1 ? n ( n ≥ 2 ) ,所 以 bn?1bn ? bnbn?1 ? 1 , ?

1 ,bn+1≠bn ? bn ?1 ? bn ?1 ( n ≥ 2 ) bn

当 n ? 1 时,

1 ? 1 ? 2( 2 ? 1) ,所以当 n ? 1 时结论正确. b1

当 n ≥ 2 时,

1 1 ? ? b1 b2

?

1 1 ? ? ? b3 ? b1 ? ? ? b4 ? b2 ? ? bn b1

? ? bn ? bn?2 ? ? ? bn?1 ? bn?1 ?

? 1? ?bn?1 ? bn ? ? b1 ? b2 ? bn?1 ? bn ? 2 .
由条件易知 bn ? 0 ,所以 bn?1 ? bn > 2 bn?1bn ? 2 n ? 1 ,所以

1 1 1 ? ? ? ? > 2 bn?1bn ? 2 ? 2 n ? 1 ? 1 . b1 b2 bn
21.(本题满分 13 分) 【解析】 (Ⅰ) f ?( x) ? ?

?

?

…………13 分

1

? x ? a?

2

?

2 2 x 2 ? (4a ? 1) x ? 2a 2 ? ( x ? 0 ,x ? ? a) , 2 x x ? x ? a?
…………1 分

? ? (4a ?1)2 ?16a2 ? 1 ? 8a .
① 当a≥

1 ? ?) 上单调递增; 时, ? ≤ 0 ,从而 f ?( x) ≥ 0 ,所以 f ( x ) 在 (0 , 8 1 2 2 ② 当 0 ? a ? 时,? ? 0 . 设方程 2 x ? (4a ?1) x ? 2a ? 0 的两根分别为 x1 ,x2 , 8
其中 x1 ?

?(4a ? 1) ? 1 ? 8a ?(4a ? 1) ? 1 ? 8a , x2 ? . 4 4
1 ? 4a ? 0 ,x1x2 ? a2 ? 0 , 所以 x1 ? 0 ,x2 ? 0 , f ?( x) ? 0 ? x ? x1 2

因为 x1 ? x2 ?

或 x ? x2 ,所以 f ( x ) 在 (0 , ? ?) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调递减; x1 ) 和 ( x2 ,

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③ 当 a ? 0 时, x1 ? (?a) ?

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a ? 0 , x2 ? (?a) ? ? 0 ,所以 4 4

0 ? x1 ? ?a , x2 ? ?a ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0 , ? ?) 上单调递增,在 ( x1 , ? a) 和 x1 ) 和 ( x2 , ( ?a , x2 ) 上单调递减.
(Ⅱ)当 a ? ?1 时, f ( x) ? …………7 分

1 1 ? 2ln x ,由(I)知 f ( x) 在 (0 , ) 和 (2 , ? ?) 上单调 x ?1 2

1) 和 (1, 2) 上单调递减. 递增,在 ( ,
所以在 ?1, ? ?? 上, f ( x)min ? f (2) ? 1 ? 2ln 2 . 因为 g ?( x) ? …………9 分

1 2

? x 2 ? x ? 2 ?( x ? 1)( x ? 2) ? ,所以在 ?1, ? ?? 上, ex ex
5 ?m. e2
4 3

g ( x) max ? g (2) ?

…………11 分

因为 1 ? 2ln 2 ? 1 ? ln 4 ? 1 ? ln e ? 1 ? 当m ?

4 ? 2.3 , 3

8 5 5 8 ? ? 2.3 . 时, 2 ? m ? 2 e 2.7 5 5 8 ,总有 f ( x) ? g ( x) . ………… 13 分 5

所以当 a ? ?1 , x ? ?1, ? ?? 时,对任意的 m ?

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