当前位置:首页 >> >>

2016届湖南省师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学高三四校联考(文)数学试题 word版

湖南省 2016 届高三四校联考试题 数学(文科) 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项 是符合题目要求的. 1.复数 i (3 ? i ) 的共轭复数是() A. 1 ? 3i B. 1 ? 3i C. ? 1 ? 3i D. ? 1 ? 3i

2.设 U ? R , A ? x 2 x ? 1 , B ? x log 2 x ? 0 ,则 A ? CU B ? () A. x x ? 0

?

?

?

?

?

?

B. x x ? 1

?

?

C. x 0 ? x ? 1

?

?

D. x 0 ? x ? 1

?

?

3.计算 sin 47 ? cos17 ? ? cos 47 ? cos107 ? 的结果等于() A. ?

1 2

B.

3 2

C.

2 2

D.

1 2

4.已知向量 a ? (?1,1) , b ? (1, m) ,若 (2a ? b) ? a ? 4 ,则 m ? () A. ? 1 B. 0
2

C.

D. 2

5.已知抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点到准线距离为,则 a ? () A. 4 B. 2 C.

1 4

D.

1 2

6.下列命题是假命题的是() A. ?? ? R ,函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ? ) 都不是偶函数 B. ?? , ? ? R ,使 cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? C.向量 a ? (2,?1) , b ? (?3,0) ,则 a 在 b 方向上的投影为 2 D.“ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的既不充分又不必要条件

x2 y2 2 3 7.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 ,则双曲线的两渐近线的夹角为() a b 3
A.

?
6

B.

?
4

C.

?
3

D.

?
2

8.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 (a ? b ? c ) tan C ? ab ,则角 C 的值
2 2 2

为() A.

?
6



5? 6

B.

?
3



2? 3

C.

?
6

D.

2? 3

?x? y ?0 ? 9.设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 32 x ? y 的最大值为() ?x ? 2 y ? 1 ?
A. 3 3 B. 3 C. 3 D. 9

10.如图所示程序框图,如果输入三个实数 a, b, c ,要求输出这三个数中最小的数,那么在 空白的判断框中,应填入下面四个选项中的()

A. c ? x

B. c ? x

C. c ? b

D. b ? c
3

11.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 16 3cm ,它的三视图中的俯视图如图 所示,侧视图是一个矩形,则侧视图的面积是()

A. 8

B. 8 3

C. 4

D. 4 3

12.对于函数 f ( x) ,若 ?a, b, c ? R , f (a ), f (b), f (c) 为某三角形的三边长,则称 f ( x) 为 “可构造三角形函数”,已知 f ( x) ?

2x ? t 是“可构造三角形函数”,则实数的取值范围 2x ?1

是() A. [?1,0] B. (??,0] C. [?2,?1] D. [?2,? ]

1 2

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.设函数 f ( x) ? ?

?log 2 x( x ? 0), 1 若 f ( x) 为奇函数,则 g ( ? ) 的值为_______. 4 ? g ( x)( x ? 0).
2 2

14.已知点 A(?1,0) ,过点 A 可作圆 x ? y ? mx ? 1 ? 0 的两条切线,则 m 的取值范围是 ______. 15.已知 5 sin 2? ? 6 cos ? , ? ? (0,

?
2

) ,则 tan

?
2

? _____.

16.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? b ( x ? R ) ,给出下列命题: ① ?a ? R ,使 f ( x) 为偶函数; ②若 f (0) ? f (2) ,则 f ( x) 的图象关于 x ? 1 对称; ③若 a 2 ? b ? 0 ,则 f ( x) 在区间 [a,??) 上是增函数; ④若 a 2 ? b ? 2 ? 0 ,则函数 h( x) ? f ( x) ? 2 有 2 个零点. 其中正确命题的序号为_______. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ?的前 n 项和 S n ? k (2 n ? 1) ,且 a3 ? 8 . (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)求数列 ?nan ?的前 n 项和 Tn . 18.(本小题满分 12 分) 如图 AB 是⊙ O 的直径,点 C 是弧 AB 上一点,VC 垂直⊙ O 所在平面, D, E 分别为 VA ,

VC 的中点.
(1)求证: DE ? 平面 VBC ; (2)若 VC ? CA ? 6 ,⊙ O 的半径为 5 ,求点 E 到平面 BCD 的距离.

19.(本小题满分 12 分)

(1)求这 40 个学生数学成绩的众数和中位数的估计值; (2)若从数学成绩 [80,100) 内的学生中任意抽取 2 人, 求成绩在 [80,90) 中至少有一人的概 率. 20.(本小题满分 12 分) 在平角坐标系 xOy 中,椭圆 C :

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,且过点 (0, 3 ) , 2 a b 2

椭圆 C 的长轴的两端点为 A, B ,点 P 为椭圆上异于 A, B 的动点,定直线 x ? 4 与直线 PA 、

PB 分别交于 M , N 两点.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)在 x 轴上是否存在定点经过以 MN 为直径的圆,若存在,求定点坐标;若不存在,说 明理由.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? (?1) 2a ln x(k ? N , a ? R且a ? 0) .
2 k

(1)求 f ( x) 的极值; (2)若 k ? 2016 ,关于 x 的方程 f ( x) ? 2ax 有唯一解,求 a 的值. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙ O 是 ?ABC 的外接圆, AD 平分 ?BAC 交 BC 于 D ,交 ?ABC 的外接圆于 E . (1)求证:

AB BD ; ? AC DC

(2)若 AB ? 3 , AC ? 2 , BD ? 1 ,求 AD 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

4 ? ? x ??5t (t 为参数). 已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ,曲线 C2 的参数方程为 ? 3 ? y ? ?2 ? t 5 ?
(1)判断 C1 与 C2 的位置关系; (2)设 M 为 C1 上的动点, N 为 C2 上的动点,求 MN 的最小值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a, b ? R , f ( x) ? x ? 2 ? x ? 1 . (1)若 f ( x) ? 0 ,求实数 x 的取值范围;

(2)对 ?b ? R ,若 a ? b ? a ? b ? f ( x) 恒成立,求 a 的取值范围.

湖南省 2016 届高三四校联考试题 数学(文科)参考答案 1. B 【解析】 i (3 ? i ) ? 3i ? i ? 1 ? 3i ,∴ 1 ? 3i 的共轭复数为 1 ? 3i ,故选 B .
2

2.C 【解析】易知 A ? x x ? 0 , B ? x x ? 1 ,则 A ? CU B ?? x 0 ? x ? 1 ,故选 C. 3.D 【解析】

?

?

?

?

?

?

sin 47 ? cos17 ? ? cos 47 ? cos(90? ? 17 ? ) ? sin 47 ? cos17 ? ? cos 47 ? (? sin 17 ? ) ? sin( 47 ? ? 17 ? ) ? sin 30? ?
,故选 D. 4.C 【解析】由已知得 2a ? b ? (?2,2) ? (1, m) ? (?3,2 ? m) ,又 a ? (?1,1) ,

1 2

∴ (2a ? b) ? a ? 3 ? 2 ? m ? 4 ,∴ m ? 1 ,故选 C. 5.D 【解析】 抛物线方程化为 x 2 ? 故选 D. 6.A 7.C 【解析】易知 A 错,故选 A. 【解析】 e ?
2

1 1 1 1 ∴ F (0, 焦点到准线距离为 ∴a ? , y, ), ? 1, a 4a 2a 2

c2 a2 ? b2 4 ? ? ,∴ 3a 2 ? 3b 2 ? 4a 2 ,? 3b 2 ? a 2 .两渐近线方程 2 2 a a 3

y??

b 3 x?? x, a 3

9.D 10.B

【解析】令 2 x ? y ? t ,由约束条件知 t ? [ ,2] ,故 z max ? 32 ? 9 ,故选 D. 【解析】易知 c ? x ,故选 B.

1 3

11.B

【解析】设底面边长为 x ,则 V ?

3 3 x ? 16 3 ,∴ x ? 4 .∴侧视图是长为 4 , 4

宽为 2 3 的矩形, S 侧 ? 4 ? 2 3 ? 8 3 ,故选 B. 12.D 【解析】 f ( x) ?

2x ?1? t ?1 t ?1 . ? 1? x x 2 ?1 2 ?1

①当 t ? 1 ? 0 即 t ? ?1 时, f ( x) ? 1 ,此时 f (a ), f (b), f (c) 都为,能构成一个正三角形的 三边长,满足题意. ②当 t ? 1 ? 0 即 t ? ?1 时, f ( x) 在 R 上单调递增, ? t ? f ( x) ? 1 ,∴

1 ? t ? f (a ), f (b), f (c) ? 1 ,由 f (a ) ? f (b) ? f (c) 得 ? 2t ? 1 ? ?1 ? t ? ? . 2
③当 t ? 1 ? 0 即 t ? ?1 时, f ( x) 在 R 上单调递减,1 ? f ( x) ? ?t ,由 f (a ) ? f (b) ? f (c) 得 2 ? ?t ? t ? ?2 ,∴ ? 2 ? t ? ?1 . 综上: ? 2 ? t ? ? 二、填空题 13. 2 【解析】 g (? ) ? f (? ) ? ? f ( ) ? ? log 2

1 ,故选 D. 2 1 4 1 4 1 4 1 ? ? log 2 2 ? 2 ? 2 . 4

14. (2,??) 又∵ ( x ? 15.

【解析】点 A(?1,0) 在圆外,∴ 1 ? m ? 1 ? 0 ,∴ m ? ?2 .

m 2 m2 m2 ) ? y2 ? ? 1 表示圆,∴ ? 1 ? 0 ? m ? 2或m ? ?2 ,∴ m ? 2 . 2 4 4
【解析】 10 sin ? cos ? ? 6 cos ? ,∴ sin ? ?

1 3

3 , 5

4 1? 1 ? cos ? 5 ?1. 2 ? 2 ? tan ? ? 3 2 cos ? 2 sin ? cos ? sin ? 3 2 2 2 5

?

sin

?

2 sin 2

?

16.①③

【解析】①当 a ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? b 显然是偶函数,故①正确.

②由 f (0) ? f (2) ,则 b ? 4 ? 4a ? b , 而 f ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? 2a ( x ? 1) ? b ? x 2 ? (2 ? 2a ) x ? 1 ? 2a ? b ,

f (1 ? x) ? (1 ? x) 2 ? 2a (1 ? x) ? b ? 1 ? 2 x ? x 2 ? 2a ? 2ax ? b ? x 2 ? (2a ? 2) x ? 1 ? 2a ? b


∴ f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ,∴ f ( x) 的图象不关于 x ? 1 对称,故②错误. ③ f ( x) ? ( x ? a ) 2 ? b ? a 2 ? ( x ? a ) 2 ? b ? a 2 在区间 [a,??) 上是增函数,故③正确. ④ h( x) ? ( x ? a ) 2 ? b ? a 2 ? 2 有 4 个零点,故④错误.

17.【解析】 (1)当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? k (2 n ? 1) ? k (2 n ?1 ? 1) ? k ? 2 n ?1 ,

a3 ? k ? 2 2 ? 8 ? k ? 2 ,∴ an ? 2 n .
当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? k ? (2 ? 1) ? 2 ,
1

综上所述, an ? 2 n .

.................6 分

(2)由(1)知, nan ? n ? 2 n ,则

Tn ? 1? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? ? ? (n ? 1)2 n ?1 ? n ? 2 n ① 2Tn ? 1? 2 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 2 4 ? ? ? ? ? (n ? 1)2 n ? n ? 2 n ?1 ②
①-②得: ? Tn ? 21 ? 2 2 ? 23 ? ? ? ? ? 2 n ? n ? 2 n ?1 ,

2(1 ? 2 n ) ? Tn ? ? n ? 2 n ?1 ? 2(2 n ? 1) ? n ? 2 n ?1 , 1? 2
? Tn ? 2 n ?1 ? 2 ? n ? 2 n ?1 , Tn ? (n ? 1)2 n ?1 ? 2 .
............12 分

18.【解析】 (1)∵ AB 是⊙ O 的直径, C 是弧 AB 上一点,∴ AC ? CB . 又∵ VC 垂直⊙ O 所在平面,∴ VC ? AC ,∴ AC ? 平面 VCB . 又∵ D, E 分别为 VA, VC 的中点,∴ DE ∥ AC , ∴ DE ? 平面 VCB . ..................6 分

(2)设点 E 到平面 BCD 的距离为 d , 由 VE ? BCD ? VB ?CDE 得 d ? S ?BCD ?

1 3

1 1 ? 8? ? 3? 3 , 3 2

∴d ?

8?

1 ?8? 3 2 2

9 2

?

9 3 2

?

3 3 2 , ? 2 2
3 2 . 2

即点 E 到平面 BCD 的距离为

..............12 分

19.【解析】 (1)众数的估计值为最高矩形对应的成绩区间的中点,即众数的估计值为

115 .

......3 分

设中位数的估计值为 x ,则 10 ? 0.005 ? 0.010 ? 10 ? 0.020 ? 10 ? ( x ? 110) ? 0.030 ? 0.5 , 解得 x ? 115 . ∴中位数的估计值为 115 . ......................6 分

(2)从图中知,成绩在 [80,90) 的人数为 m1 ? 0.005 ? 10 ? 40 ? 2 (人) , 成绩在 [90,100) 的人数为 m2 ? 0.010 ? 10 ? 40 ? 4 (人) , 设成绩在 [80,90) 的学生记为 a, b ,成绩在 [90,100) 的学生记为 c, d , e, f . 则从成绩在 [80,100) 内的学生中任取 2 人组成的基本事件有

(a, b)(a, c)(a, d )(a, e)(a, f )(b, c)(b, d )(b, e)(b, f )(c, d )(c, e)(c, f )(d , e)(d , f )(e, f ) 共 15
种. 其中成绩在 [80,90) 的学生至少有一人的基本事件有

(a, b)(a, c)(a, d )(a, e)(a, f )(b, c)(b, d )(b, e)(b, f ) 共 9 种.
所以成绩在 [80,90) 的学生至少有一人的概率为 P ?

9 3 ? . 15 5

.............12 分

? 2 c2 a2 ? b2 1 ? 2 a ?4 ?e ? 2 ? ? 20.【解析】 (1) ? , a a2 4?? 2 b ? 3 2 ? ? b ?3 ?
∴椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

.........................5 分

(2)设 PA 、 PB 的斜率分别为 k1 , k 2 , P ( x0 , y0 ) , 取 k1 ?

y0 y0 , , k2 ? x0 ? 2 x0 ? 2

2 2 x0 4 ? x0 ) 3? y 3 k1k 2 ? 2 ? 2 4 ? 2 4 ?? , x0 ? 4 x0 ? 4 x0 ? 4 4 2 0

3(1 ?

....................7 分

由 l PA : y ? k1 ( x ? 2) 知 M (4,6k1 ) ,由 l PB : y ? k 2 ( x ? 2) 知 N (4,2k 2 ) , ∴ MN 的中点 G (4,3k1 ? k 2 ) . ∴以 MN 为直径的圆的方程为 ( x ? 4) 2 ? ( y ? 3k1 ? k 2 ) 2 ?
2 2 2 2

1 (6k1 ? 2k 2 ) 2 ? (3k1 ? k 2 ) 2 , 4
2

令 y ? 0 ,∴ x ? 8 x ? 16 ? 9k1 ? 6k1k 2 ? k 2 ? 9k1 ? 6k1k 2 ? k 2 , ∴ x ? 8 x ? 16 ? 12k1k 2 ? 0 ,∴ x 2 ? 8 x ? 16 ? 12 ? (? ) ? 0 ,
2

3 4

即 x 2 ? 8 x ? 7 ? 0 ,解得 x ? 7或x ? 1 . ∴存在定点 (1,0), (7,0) 经过以 MN 为直径的圆. 21.【解析】 (1) f ?( x) ? 2 x ? (?1) k 2a ? 当 k 为奇数时, f ?( x) ? 2 x ? 当 k 为偶数时, f ?( x) ? 2 x ?

1 , x

2a ? 0 ,∴ f ( x) 在 (0,??) 上单调递增, f ( x) 无极值. x

2a 2 x 2 ? 2a 2( x ? a )( x ? a ) , ? ? x x x

∴ f ( x) 在 (0, a ) 上单调递减, ( a ,??) 上单调递增, ∴ f ( x) 有极小值, f ( x) 极小值 ? f ( a ) ? a ? 2a ln a ? a ? a ln a . 分 (2)∵ k ? 2016 ,则 f ( x) ? x ? 2a ln x ,
2

..............5

令 g ( x) ? x ? 2a ln x ? 2ax ,
2

g ?( x) ? 2 x ?

2a 2 x 2 ? 2ax ? 2a 2 2 ? 2a ? ? ( x ? ax ? a ) x x x

令 g ?( x) ? 0 ,∴ x 2 ? ax ? a ? 0 ,∵ a ? 0 , x ? 0 ,∴ x0 ? 当 x ? (0, x0 ) 时, g ?( x) ? 0 ,∴ g ( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减.

a ? a 2 ? 4a . 2

当 x ? ( x0 ,??) 时, g ?( x) ? 0 ,∴ g ( x) 在 ( x0 ,??) 上单调递增.

..........9 分

又 g ( x) ? 0 有唯一解,∴ ? 分

2 ? x0 ? 2a ln x0 ? 2ax0 ? 0, ① ? g ( x0 ) ? 0 ,即 ? ..............10 2 x0 ? ax0 ? a ? 0, ② ? g ?( x0 ) ? 0 ?

②-①得: 2a ln x0 ? ax0 ? a ? 0 ? 2 ln x0 ? x0 ? 1 ? 0 ? x0 ? 1 . ∴a ?

1 . 2

....................12 分

22.【解析】 (1)如图,过 D 作 DM ∥ AB 交 AC 于 M ,连接 BE . ∴

BD AM ? ① DC MC

又∵ AD 平分 ?BAC ,∴ ?BAD ? ?CAD , 又 DM ∥ AB ,∴ ?BAD ? ?ADM ,∴ ?CAD ? ?ADM . ∴ AM ? MD .

MD CM AB MD AM ? ? ? ? ②, AB AC AC CM CM AB BD 由①②知 . ..................5 分 ? AC DC


(2)∵ AD ? DE ? BD ? DC , 又

AB BD 2 ?1 2 ? ? DC ? ? , AC DC 3 3 AD AC ,∴ AD ? AE ? AB ? AC , ? AB AE

∵ ?ADC ~ ?ABE . ∴

∴ AD ? ( AD ? DE ) ? AB ? AC , ∴ AD 2 ? AB ? AC ? AD ? DE ? AB ? AC ? BD ? DC ? 3 ? 2 ? 1? ∴ AD ?

2 2 16 ? 6? ? , 3 3 3

4 3 . 3
2

........................10 分
2 2

23.【解析】 C1 : ? ? 2 ? cos ? ,∴ x ? y ? 2 x ? 0 ,

所以 C1 的普通方程为 ( x ? 1) ? y ? 1 ,
2 2

C2 :

x ?4 ,∴ 3 x ? ?4 y ? 8 , ? y?2 3

所以 C2 的普通方程为 3 x ? 4 y ? 8 ? 0 . 圆心 C1 (1,0) 到 3 x ? 4 y ? 8 ? 0 的距离 d ? ∴ C1 与 C2 相离. (2) MN
min

3?8 5

?

11 ? 1, 5

.............5 分 .....................10 分

?

11 6 ?1 ? . 5 5

24.【解析】 (1)由 f ( x) ? 0 得 x ? 2 ? x ? 1 , 两边平方得 x 2 ? 4 x ? 4 ? x 2 ? 2 x ? 1 , 解得 x ?

3 3 ,即实数 x 的取值范围是 (??, ) . 2 2

.....................5 分

(2) a ? b ? a ? b ? a ? b ? a ? b ? 2 a , ∵ f ( x) ? x ? 2 ? x ? 1 , f ( x) max ? 1 ,

1 1 1 ? a ? 或a ? ? . 2 2 2 1 1 所以 a 的取值范围为 (??,? ] ? [ ,??) . 2 2
∴ 2 a ?1? a ?

..................10 分