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《金版新学案》高一数学 1.3.1单调性与最大(小)值(第2课时函数的最大值、最小值)课件 新人教A版_图文

1.3.1

单调性与最大(小)值(第2课时

函数的最大值、最小值)

1.函数的单调性有增函数、减函数, f(x1)-f(x2) f(x1)-f(x2) >0 指函数具有增函数, <0 x1-x2 x1-x2 指函数具有减函数. 2.二次函数 y=ax2+bx+c,当 a>0 时,开 b b 口向上, 单调区间为(-∞, 2a)和(-2a, - +∞); b 当 a<0 时开口向下, 单调区间为(-∞, 2a)和(- - b ,+∞). 2a

1.函数的最大值
(1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: ①对于 任意x∈I ,都有f(x)≤M,

②存在 x0∈I ,使f(x0)=M.
那么称M是函数y=f(x)的最大值. 2.函数的最小值

(1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
任意x∈I ,都有f(x)≥M, ①对于 ②存在 x0∈I ,使f(x0)=M.

(1)那么称M是函数y=f(x)的最小值.

1.函数最大值、最小值的几何意义是什么? 【提示】 函数最大值或最小值是函数的整体性质,从图象 上看,函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标.

2.求函数的最大(小)值应注意的问题是什么?

【提示】 (1)对于任意的x属于给定区间,都有f(x)≤M成立,
“任意”是说对给定区间的每一个值都必须满足不等式. (2)最大值M必须是一个函数值,即它是值域中的一个元素.

例如函数f(x)=-x2对任意的x∈R,都有f(x)≤1,但f(x)的最大
值不是1,因为1不属于f(x)的值域.

图象法求函数的最值
如图为函数y=f(x),x∈[-3,8]的图象,指出它的最大值、
最小值及单调区间.

【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息:
①所给函数解析式未知; ②函数图象已知.

解答本题可根据函数最值定义和最值的几何意义求解.
【解析】 观察函数图象可以知道,图象上位置最高的点是 (2,3),最低的点是(-1,-3),所以函数y=f(x)当x=2时,取得最大

值,最大值是3,当x=-1.5时,取得最小值,最小值是-3.函数的
单调增区间为[-1,2],[5,7]. 单调减区间为[-3,-1],[2,5],[7,8].

由函数图象找出函数的单调区间是求函数单调区间和最值的常

用方法.这种方法以函数最值的几何意义为依据,对较为简单且图
象易作出的函数求最值较常用.

1.试求函数 y=|x-2|+ (x+1)2的最值. 【解析】 原函数变为 y=|x-2|+|x+1|

?-2x+1 ? =?3 ?2x-1 ?

(x≤-1) (-1<x≤2) (x>2)

其图象如下图所示,显然函数值y≥3,所以函数有最小值3,无

最大值.

利用单调性求函数的最值 x+2 求函数 y= x∈[2,3]上的最值. x-1 【思路点拨】 性―→求最值 定义法判断函数的单调

x+2 x-1+3 3 【解析】 函数 y= = =1+ x-1 x-1 x-1 设 2≤x1<x2≤3, 3 3 则 f(x1)-f(x2)= - x1-1 x2-1 = 3(x2-x1) (x1-1)(x2-1)

∵2≤x1<x2≤3 ∴x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0 ∴f(x1)-f(x2)>0 即 f(x1)>f(x2) x+2 ∴函数 y= 在[2,3]上是减函数 x-1 3+2 5 ∴f(x)的最小值为 f(3)= = . 3-1 2 2+2 f(x)的最大值为 f(2)= =4. 2-1

(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法,特别是

当函数图象不好作或作不出来时,单调性几乎成为首选方法.
(2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a,b]上是减函数,则f(x)在[a,b]上的最大

值为f(a),最小值为f(b);
②若函数在闭区间[a,b]上是增函数,则f(x)在[a,b]上的最大 值为f(b),最小值为f(a).

2.本例中,函数定义域“x∈[2,3]”改为x∈[-1,1)∪(1,3],求 函数值域.

【解析】 设 1<x1<x2≤3,则 f(x1)-f(x2)=

3(x2-x1) (x1-1)(x2-1) ∵1<x1<x2≤3,∴x2-x1>0,x1-1>0,x21>0 ∴f(x1)-f(x2)>0 即 f(x1)>f(x2) ∴f(x)在(1,3]上是减函数, 5 f(x)min=f(3)=2,当 x→1,f(x)→+∞,f(x) 无最大值.

? 5 函数的值域为 2,+∞? ? ?

? ? ? ?

当 - 1≤x1<x2<1 3(x2-x1) (x1-1)(x2-1)

时 , f(x1) - f(x2) =

∵-1≤x1<x2,∴x2-x1>0,x1-1<0,x21<0 ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) ∴f(x1)在[-1,1)上是减函数, -1+2 1 f(x)max=f(-1)= =-2 -1-1 x→1 时,f(x)→-∞,f(x)无最小值, 1? 函数的值域为 -∞,-2?. ? ?
? 1? ?5 ? ? 综上,函数的值域为 -∞,-2?∪?2,+∞?. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

二次函数最值问题
求二次函数f(x)=x2-6x+4在区间[-2,2]上的最大值和最
小值. 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息:

①所给函数为二次函数;
②在区间[-2,2]上求最值. 解答本题可先确定函数在区间[-2,2]上的单调性,再求最

值.

【解析】 f(x)=x2-6x+4=(x-3)2-5, 其对称轴为x=3,开口向上, ∴f(x)在[-2,2]上为减函数, ∴f(x)min=f(2)=-4,f(x)max=f(-2)=20.

在求二次函数的最值时,要注意定义域.定义域若是区间 [m,n],则最大(小)值不一定在顶点处取得,而应看对称轴是在 区间[m,n]内还是在区间左边或右边,在区间的某一边时应该利 用函数单调性求解.

3.本例中函数解析式改为“y=x2-2ax+1”(a>0),求函数的 最值. 【解析】 (1)当0<a<2时,结合图象知

当x=a时,函数取得最小值f(a)=1-a2,
当x=-2时,函数取得最大值f(-2)=5+4a, (2)当a≥2时,结合图象知

函数在[-2,2]上是减函数,
当x=2时,函数取得最小值f(2)=5-4a, 当x=-2时,函数取得最大值f(-2)=5+4a.

1.准确理解函数最大值的概念 (1)定义中M首先是一个函数值,它是值域的一个元素,如函数f(x) =-x2(x∈R)的最大值为0,有f(0)=0,注意对②中“存在”一词的理 解. (2)对于定义域内全部元素,都有f(x)≤M成立,“任意”是说对每 一个值都必须满足不等式. (3)这两条缺一不可,若只有①,M不一定是最大值,如f(x)=- x2(x∈R),对任意x∈R,都有f(x)≤1成立,但1不是最大值,否则大于零 的任意实数都是最大值了.最大值的核心就是不等式f(x)≤M成立,即① 一定成立,所以不能只有②.

2.函数的最值与值域、单调性之间的关系 (1)对一个函数来说,其值域是确定的,但它 1 不一定有最值, 如函数 y= .如果有最值, 则最值 x 一定是值域中的一个元素. (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a,b]上是减函数,则 f(x) 在[a,b]上的最大值为 f(a),最小值为 f(b); ②若函数在闭区间[a,b]上是增函数,则 f(x) 在[a,b]上的最大值为 f(b),最小值为 f(a).

求函数y=x2-2x-1在[2,4)上的最值、值域.
【错解】 y=x2-2x=(x-1)2-2, ∴对称轴为x=1,

∴ymin=-2,ymax=8,
值域为y∈[-2,8]. 【错因】 上述解法忽略了二次函数的对称轴与区

间[2,4)的位置关系,以及区间的端点.
【正解】 y=(x-1)2-2,对称轴为x=1. ∴函数在[2,4)上是增函数,

∴当x=2时,ymin=-1,无最大值,
∴值域为y∈[-1,8).

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