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高中数学第一章三角函数1.7正切函数1.7.1_1.7.2正切函数的定义正切函数的图像与性质课件北师大版_图文

§7 正切函数

7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质

课标阐释

思维脉络

1.理解正切函数的定义.

2.会用正切函数的定义求正切值.

3.理解并掌握正切函数的图像及性

质.

4.能运用正切函数的图像与性质解

决问题.

一二三四
一、正切函数 1.定义:在直角坐标系中,如果角 α 满足:α∈R,α≠π2+kπ(k∈Z),那么, 角 α 的终边与单位圆交于点 P(a,b),唯一确定比值.根据函数的定义, 比 中值α∈是R角,α≠απ2+的k函 π(k数∈,我Z).们把它叫作角 α 的正切函数,记作 y=tan α,其

2.正切函数与正弦函数、余弦函数的关系

tan α=csoins

∈R,



π

+

π 2

,∈Z

.

一二三四

3.三角函数

正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐

标的比值为函数值的函数,统称为三角函数.

4.正切值在各象限中的符号

由正切函数的定义知:当角 α的终边在第一和第三象限时,正切值

为正;当角α的终边在第二和第四象限时,正切值为负.

【做一做 1】

若角 θ 的终边与单位圆的交点坐标是

-

1 2

,-

3 2

,则

tan θ=

.

答案: 3

【做一做2】 若角α的终边上有一点P(2,x),且tan α=-3,则x的值等

于( )

A.6

B.-23

答案:D

C.23

D.-6

一二三四
二、正切线 如图,在直角坐标系中,设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0),任 意角α的终边与单位圆交于点P,过点A(1,0)作x轴的垂线,与角的终 边或终边的延长线相交于点T.从图中容易看出:当角α位于第一和 第三象限时,点T位于x轴的上方;当角α位于第二和第四象限时,点T 位于x轴的下方.过点P作x轴的垂线,与x轴交于点M,那么,不论角α的 终边在第几象限,都有∠AOT与∠MOP的正切值相等.我们称线段AT 为角α的正切线.

一二三四

一二三四
【做一做3】 已知角α的正切线是单位长度的有向线段,则角α的 终边( )
A.在x轴上 B.在y轴上 C.在直线y=x上 D.在直线y=x或y=-x上 解析:由题意可知tan α=±1,所以角α的终边在直线y=x或y=-x上. 故选D. 答案:D

一二三四

三、正切函数的图像

根据正切函数的定义域,我们可选择区间

-

π 2

,

π 2

,利用单位圆中的

正切线,通过平行移动,画出 y=tan x,x∈

-

π 2

,

π 2

的图像.

根据正切函数的周期性,把上述图像向左、右延拓,得到正切函数

y=tan x

∈R,



π 2

+

π,∈Z

的图像(如图所示),称其为正切曲线.

一二三四

【做一做4】 画出函数y=|tan x|的图像.

解:由y=|tan x|得,

y=

tan,π





<

π

+

π 2

(∈Z),

-tan,-

π 2

+

π

<



<

π(∈Z),

其图像如图:

一二三四

四、正切函数的性质

函数性质 定义域 值域 奇偶性
单调性
周期性 对称中心

y=tan x

x x ≠ 2 + k,k∈Z

R

奇函数

增区间: π- π ,π + π (k∈Z)

2

2

减区间:无

最小正周期是 π

π ,0 (k∈Z)
2

一二三四

【做一做 5】

函数 y=tan

π 4

-

的定义域是(

)

A.







π 4

,∈R

B.







-

π 4

,∈R

C.







π

+

π 4

,∈Z

D.







π

+

3π 4

,∈Z

解析:y=tan

π 4

-

=-tan

-

π 4

,

因此,应有 x-π4≠kπ+π2(k∈Z),即 x≠kπ+34π(k∈Z).

答案:D

一二三四

思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画 “×”. (1)正切函数在定义域上是增函数. ( )

(2)正切曲线的对称中心是

π 2 ,0

(k∈Z). (

)

(3)函数y=tan(π-x)是奇函数. ( )

(4)正切曲线相邻两个与x轴的交点间的距离恰好为该函数的周期.

()

答案:(1)× (2) (3) (4)

探究一

探究二

探究三

易错辨析

正切函数的定义及其应用

【例1】 求下列函数的定义域和值域:

(1)f(x)=tan

1 2

-

π 3

;

(2)f(x)= 3-tan.

思路分析:根据正切函数的定义域和值域并结合正切函数的图像 求解.

探究一

探究二

探究三

易错辨析

解:(1)依题意得12x-π3≠kπ+π2,k∈Z,

所以 x≠2kπ+53π,k∈Z.

所以函数的定义域是









+

5π 3

,∈Z

.

由正切函数的值域可知该函数的值域也是(-∞,+∞).

(2)依题意 3-tan x≥0,

所以 tan x≤ 3.

结合 满足

y=tan x tan x≤

的3的图角像可x 应知满,在足--π2π2<π2x≤上π3,,

所以函数 y= 3-tan的定义域为



π-

π 2

<





π

+

π 3

,∈Z

,其值域为[0,+∞).

探究一

探究二

探究三

易错辨析

反思感悟求正切函数定义域的方法及注意点: 求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般 要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠ π2+kπ,k∈Z.而对于 构建的三角不等式,常利用正切函数的图像求解. 解形如tan x>a的不等式的步骤:

探究一

探究二

探究三

易错辨析

变式训练 1 求函数 y=tan1-1的定义域.

解:依题意有 tan x-1≠0,所以 tan x≠1.

所 又以x≠kxπ≠+kππ2+,kπ4∈,k∈Z,故Z. 函数定义域为







π

+

π 4

,且



π

+

π 2

,∈Z

.

探究一

探究二

探究三

易错辨析

正切函数的图像及其应用 【例2】 解不等式tan x≥-1. 思路分析:作出正切函数一个周期的图像→由图像得一个周期的 x的取值范围→扩展到整个定义域得解集

探究一

探究二

探究三

易错辨析

解:作出y=tan x一个周期的图像,如图所示.

令 y=-1,得 x=-π4,所以在

-

π 2

,

π 2

中满足不等式 tan x≥-1 的 x 的取值

范围为

-

π 4

,

π 2

.

由正切函数的周期性可知,原不等式的解集为

π-

π 4



+

π 2

(k∈

Z).

探究一

探究二

探究三

易错辨析

反思感悟解决此类问题,一般根据函数的图像利用数形结合直接 写出自变量的取值范围,但要注意是否包含端点值,切记正切函数 的最小正周期为π.

探究一

探究二

探究三

易错辨析

变式训练 2 求函数 f(x)= 1 的定义域.

tan+

3 3

解:依题意,应有 tan x+ 33>0,即 tan x>- 33,

由正切函数在区间

-

π 2

,

π 2

上的图像知,在区间

-

π 2

,

π 2

上满足 tan

x>-

3的
3

x

的取值范围为

-

π 6

,

π 2

.由正切函数的周期性知,原函数的定

义域为

π-

π 6



+

π 2

(k∈Z).

探究一

探究二

探究三

易错辨析

正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的性质

【例 3】

求函数 y=tan

2-

π 3

的定义域、单调区间及对称中心.

思路分析:由y=tan x的性质,利用整体代换的方法求解.

解:由 y=tan x 的定义域为







π 2

+

π,∈Z

;

单调递增区间为

π-

π 2



+

π 2

(k∈Z),无单调递减区间;

对 令称2x中-π3≠心kπ为+π2(2πk∈,0Z()k,∈Z),

得 x≠2π + 512π(k∈Z),

所以函数 y=tan

2-

π 3

的定义域为







π 2

+

5π 12

,∈Z

;

探究一

探究二

探究三

易错辨析

令 kπ-π2<2x-π3<kπ+π2(k∈Z),得2π ? 1π2<x<2π + 512π(k∈Z),故函数

y=tan

2-

π 3

的单调递增区间为

π 2

-

π 12

,

π 2

+

5π 12

(k∈Z),无单调递减

区间;

令 2x-π3 = 2π(k∈Z),得 x=4π + π6(k∈Z),故函数 y=tan

2-

π 3

的对称

中心为

π 4

+

π 6

,0

(k∈Z).

探究一

探究二

探究三

易错辨析

反思感悟

正切型函数的性质的求解方法

函数y=Atan(ωx+φ)的性质可通过以下方法求解:

(1)定义域:将(ωx+φ)视为一个整体,令ωx+φ≠kπ+

π 2

(k∈Z),解得x.

(2)值域:R.

(3)周期性:函数 y=A tan(ωx+φ)





0,



0,

+





π 2

+

π,∈Z 的周期与常数 ω 的值有关,最小正周期 T=|π|.

(4)奇偶性:若 φ=2π(k∈Z)时为奇函数,否则,不具备奇偶性.

(5)单调性:将(ωx+φ)视为一个整体,若ω<0,一般先用诱导公式化

为ω>0,使x的系数为正值,然后求单调区间.A>0(A<0)时,函数

y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的单调性与y=tan

x,x∈R,x≠

π 2

+kπ(k∈Z)

的单调性相同(反),解不等式可得出单调区间.

探究一

探究二

探究三

易错辨析

变式训练 3(1)函数 y=4tan

3

+

π 6

的单调递增区间为

.

(2)求函数 y=tan

-3

+

π 4

的单调区间.

(1)解析:由 tan x 的单调递增区间为

π-

π 2



+

π 2

(k∈Z)

知,y=4tan

3

+

π 6

的单调递增区间为 kπ-π2<3x+π6<kπ+π2,k∈Z,解得

π 3

?

29π<x<3π

+

π9,k∈Z.

答案:

π 3

-

2π 9

,

π 3

+

π 9

(k∈Z)

(2)解:y=tan -3x+π4 =-tan 3x-π4 .

由-π2+kπ<3x-π4 < π2+kπ(k∈Z),

得-1π2 + 3π<x<π4 + 3π(k∈Z).

所以函数 y=tan

-3x+π4

的单调递减区间为

-1π2

+

π 3

,

π 4

+

π 3

(k∈Z).

探究一

探究二

探究三

易错辨析

因误认为正切函数在整个定义域上都是增函数而出错

【典例】 求函数 y= 3tan + 3的定义域.

错解要使函数有意义,需 3tan x+ 3≥0,

即 tan x≥- 33,∴x≥kπ-π6,k∈Z,

∴原函数的定义域为







-

π 6

+

π,∈Z

.

正解要使函数有意义,需 3tan x+ 3≥0,

即 ∴-tπ6a+nkxπ≥≤-x3<3,π2+kπ,k∈Z,

∴原函数的定义域为



-

π 6

+

π



<

π 2

+

π,∈Z

.

探究一

探究二

探究三

易错辨析

纠错心得1.在应用函数的单调性解题时,要弄清是在整个定义域

上是单调的,还是在每个区间上是单调的,否则会出现错误.

2.本题错解在解不等式 tan x≥- 33时,误认为 y=tan x 在整个定义域

上都是增函数而致错,正切函数应是在每个开区间

-

π 2

+

π,

π 2

+

π (k∈Z)上是增函数.

123456

1.已知角 α 的终边经过点( , 3 ),若 α=3,则 m 的值为( )

A.27

B.217

C.9

D.19

解析:角 α 的终边经过点( m, 3 ),若 α=π3,则 tanπ3 =

3

=

3



=

-16,

则 m=217.故选 B.

答案:B

123456

2.下列命题中正确的是( )

A.y=tan x在整个定义域上是增函数

B.y=tan 2x的周期为π

C.当x>0时,tan x>0

D.x∈

0,

π 2

时,tan x>sin x

答案:D

123456
3.若tan θ·cos θ>0,则θ在( ) A.第一或第二象限 B.第一或第三象限 C.第一或第四象限 D.第二或第四象限 解析:当tan θ>0,cos θ>0时,θ在第一象限;当tan θ<0,cos θ<0时,θ在第 二象限,故θ在第一或第二象限. 答案:A

123456

4.函数 y=2tan

3

+

π 4

图像的一个对称中心是(

)

A.

π 2

,0

B.

π 4

,0

C.

π 6

,0

D.(π,0)

解析:令 3x+π4 = 2π(k∈Z), ∴3x=2π ? π4(k∈Z).∴x=6π ? 1π2(k∈Z).



k=2,x=π3

?

π 12

=

4π-π 12

=

3π 12

=

π4,所以选

B.

答案:B

123456

5.函数 y=tan x

-

π 4







π 4

的值域是(

)

A.[-1,1]

B.(-∞,-1]∪[1,+∞)

C.(-∞,1]

D.[-1,+∞)

解析:函数 y=tan x 在

-

π 4

,

π 4

上是增加的,且 tan

-

π 4

=-1,tanπ4=1,

故选A.

答案:A

123456

6.求函数y=2tan 3x的定义域及单调区间.

解:令 u=3x,则 y=2tan u,其中 ∴3x∈R,3x≠kπ+π2(k∈Z),

u∈R,u≠kπ+π2(k∈Z),

∴x∈R,x≠3π + π6(k∈Z).

故函数 y=2tan 3x 的定义域为







π 3

+

π 6

,∈Z

.

∵ ∴ykπ=-2π2t<an3xu<在kπ区+π2间(k∈πZ-),π2



+

π 2

(k∈Z)上是增加的,

解得π
3

?

π6<x<3π

+

π6(k∈Z).故函数

y=2tan

3x

的单调递增区间为

π 3

-

π 6

,

π 3

+

π 6

(k∈Z),无单调递减区间.