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直线与平面垂直的判定(公开课)


2.3.1直线与平面垂直的判定

回顾旧知: 空间中一条直线与平面有哪几种位置关 系? a
(1)直线在平面内 (2)直线与平面平行 (3)直线与平面相交 a

α

α

a
A

α

知识探究(一):直线与平面垂直的概念
旗杆与地面的关系, 给人以直线与平面 垂直的形象。

大桥的桥柱与水面的位置关 系,给人以直线与平面垂直 的形象。

思考:如何定义一条直线 与一个平面垂直?
A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

α 内经过点B的直线⊥ AB所在直线 α 内不过点B的直线 ⊥ AB所在直线 α 内任意一条直线 ⊥ AB所在直线
A

B

α

C

B1

C1

直线与平面垂直的定义:
文字表示: 如果一条直线l与平面 ? 内的任意一条直线都垂直, 则称这条直线与这个平面垂直.记作 l ?? 平面 ? 的 垂线
王新敞
奎屯 新疆

l

直线l的 垂面

图形表示:

?

P

垂足

深入理解“线面垂直定义”
判断下列语句是否正确:(若不正确请举反例)
1.如果一条直线与一个平面垂直,那么它与平面 内所有的直线都垂直. ( ) 2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直,那 么它与平面垂直. ( )
b
a

?

练习

a ?b 1. ? ? , b // ? , 则 a与b 的位置关系是_____. a
2.若直线 l 不垂直于平面

? ,那么在平面 ?

内( C )
A.不存在与 l 垂直的直线

B.只存在一条与 l 垂直的直线
C.存在无数条直线与 l 垂直 D.以上都不对

知识探究(二):直线与平面垂直的判定定理

思考:是否把平面中的直线一一找出,才能 证明直线与平面垂直?
l

?

P

探究活动:请同学们拿出一块三角形的纸片,做
以下试验: 过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折 后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触). (1)折痕AD与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面肯定 垂直?

动画演示

AA1

A1
A

AD作为BC边上的高时,AD α,这时 AD BC,即AD BD,AD CD,BD∩CD=D. 结论:AD⊥BD,AD⊥CD,BD∩CD=D, A1 有AD⊥α.
B1 B B1 D1D D1

A
C1 CD

B
C D1

C1 B1

B C

D

?

C1

A

l
?
C B D

m

C

α

O

n

直线与平面垂直的判定定理: 一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 则这条直线垂直于这个平面.

m ?? ? 线线垂直 线面垂直 ? n ?? ? 关键:线不在多,相交则行 ? m?n ? P ??l ?? l l ? m? m ? n P ? l ?n ? ?
无限问题 空间问题 有限问题 平面问题

例题示范,巩固新知
例1.如图,已知OA、OB、OC 两两垂直 (1)求证:OA⊥平面OBC (2)求证:OA⊥BC 证明(1)? OA、OB、OC 两两垂直,
O

A

? OA ? OB,OA ? OC 又 OB ? OC ? O ? OA ? 平面 OBC
(2) ? OA ? 平面 OBC

B

C

BC ? 平面 OBC ? OA ? BC

变式训练:一旗杆高8m,在它的顶点处系两条长 10m的绳子,拉紧绳子并把它们的下端固定在地 面上的两点(与旗杆脚不在同一条直线上)。如 果这两点与旗杆脚距6m,那么旗杆就与地面垂直, 为什么? 解:如图,旗杆PO=8,两绳子长PA= PB=10,OA=OB=6, 因为A,O,B三点不共线 因此A,O,B三点确定平面α, 因为PO2+AO2=PA2,PO2+BO2=PB2, 所以 PO⊥OA,PO⊥OB 又OA∩OB=O 所以OP⊥α,因此旗杆与地面垂直。

例2.在下图的长方体中,请列举与平面ABCD垂 直的直线。并说明这些直线有怎样的位置关系?

D1

C1

A1
D

B1
C

A

B

变式:在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,与AD1 垂 直的平面是( ) A.平面 DD1C1C B.平面A1DCB1 C.平面A1B1C1D1 D1 D.平面 A1DB C1

A1
D

B1
C

A

B

例题示范,巩固新知
例3.如图,已知a∥b、a⊥α. 求证:b⊥α.

a

b

证明:在平面 ? 内作 两条相交直线m,n. 因为直线 a ? ?, 根据直线与平面垂直的定义知 a ? m, a ? n.(线面垂直 线线垂直) 又因为 b // a 所以 b ? m, b ? n. 又 m ? ? , n ? ? , m, n 是两条相交直线,

?

n m

所以 b ? ?. (线线垂直

线面垂直)

练习:
1.如图,在三棱锥V-ABC中 ,VA=VC, AB=BC,K是AC的中点. A 求证:AC⊥平面VKB.

V
K

C B

变式:
⑴在练习1.中若E、F分别为AB、 BC 的中点,试判断EF与平面 A VKB的位置关系.

V
K

C F B

E

⑵ 在⑴的条件下,有人说“VB⊥AC, VB⊥EF, ?VB⊥平面ABC”,对吗?

2.已知 PA ?平面 ABC ,AB是⊙ O 的直径,C 是⊙ O 上的任一点,求证:PC ? BC 思考:图中有几个直 角三角形?由此你认 为三棱锥中最多有几 个直角三角形?

3: 已知 ? ? ? ? l ,PA ? ? 于 A , PB ? ? 于 B AQ ? l 于点 Q ,求证: ? l. BQ

比比谁最棒!!!

如图,直四棱柱 A?B?C?D? ? ABCD(侧棱与底面垂直 的棱柱成为直棱柱)中,底面四边形 ABCD 满足什么 条件时,A?C ? B?D? ?(只能添加一个合适的条件)
A? D?

解:底面ABCD可以是菱形, 正方形, 或者是对角线相互 垂直的任意四边形.

B?

C?

A D B
C

知识小结
1.直线与平面垂直的定义 2.直线与平面垂直的判定

线线垂直

线面垂直

3.数学思想方法:转化的思想 空间问题

平面问题

布置作业—自主探究
(1)如图,点P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,O 是对 角线AC与BD的交点,且PA =PC, PB =PD .求证:PO⊥平面ABCD
(2)如图,在 Rt?ABC中, D为斜边
B
E

P

A O C

D

AB的中点, AC ? 6,BC ? 8,EC ? 平面 ABC,且 EC ? 12,求 DE的长。

C

B D

作业:P74 B组2,4题

A


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