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1.1.1集合的含义与表示


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1.1.1 集合的含义与表示
学员:
知识点一: 一、集合的含义 (一)定义:元素及集合 (二)注意事项: (1)集合是一个“整体” 。 例如:负数,要研究的是负数的整体,不能取一个特殊的负数来做题。 (2)构成集合的对象必须是“确定”的,其中“确定”是指构成集合的对象具有非常明确的特征,这个特 征不是模棱两可的。 例如“所有学成成绩好的学生”“所有成绩在 120 分(包含 120 分)以上的学生。“世界上的大河” , ” (3)一般用“ ? ?”表示集合, ? ?”表示“所有的” “ “全部的” 。 例如: ?负数??梯形?,错误的表达方式是 ?所有的圆??所有的正数? , 二、例题: 1、下列各项中不能组成集合的是 A 所有正三角形 C 所有数学难题 A、一切很大的数 C、聪明的人 ( ) B《数学》教材中所有的习题 D 所有无理数 ) B、无限接近零的数
2 D、方程 x ? ?2 的实数根

教师:邓老师

电话:

日期:2013 年 7 月 3 日

2、下列给出的对象中,能表示集合的是(

三、跟踪练习: 1、下列各组对象不能构成集合的是( ) A、某校大于 50 岁的教师 B、某校 30 岁的教师 C、某校年轻的教师 D、某校的女教师 2、下列各组对象能构成集合的是( ) A、高一(一)班所有成绩很好的学生 C、英语成绩在 A(含 A)以上的学生 四、课后巩固: 1、下列对象中能构成集合的是(

B、世界上所有的高山 D、所有难题

) (填写序号)

①长为 3cm 的所有线段。②所有含有 30°角的三角形。③所有的老人。④ 4 x 2 ? ?9 的所有实数根。 知识点二: 一、集合中元素的特性 1、元素的_____。见知识点一 2、元素的_____。集合中相同的元素不能重复出现。

1 1 例如: ? ,2,3? ,而不能写作 ? ,1,2,2,3?

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3、元素的_______。集合中的元素是没有顺序的。

1 例如: ? ,2,3? 与 ?3,2,1? 表示的是同一个集合。
二、例题 1、下列集合表示方法正确的是( )

1 A、 ? ,2?
C、 ?3,3,5?

B、 ?全体实数? D、不等式 x 2 ? 5>0的解集为 x 2 ? 5>0

?

?

2、下列命题正确的有哪几个? ⑴很小的实数可以构成集合; ⑵集合{1,5}与集合{5,1}是不同的集合; ⑶集合{ (1,5) }与集合{ (5,1) }是同一个集合; ⑷由 1,

3 6 1 , ,∣- ∣,0.5 这些数组成的集合有 5 个元素. 2 4 2

3、已知集合{ a , a + b , a +2 b }也可以写为{ a , a q , a q 2 } ,其中 a ? 0 ,求 q 的值。

4、已知 x 2 ∈{1,0,x},求实数 x 的值。

三、跟踪练习 1、设{x∣ x 2 +(b+2)x+b+1=0,b ? R} ,求集合中所有元素之和。

2、判断下列说法是否正确 (1) 1, , , , 这些数组成的集合有五个元素。 (2)由 a,b,c 组成的集合与由 b,a,c 组成的集合是同一个集合。

2 4 3 6

1 ,1 2 2

3、由 a ,2-a,4 组成一个集合 A,A 中含有 3 个元素,则实数 a 的取值可以是 A 1 B -2 C 6 D 2

2





4、由实数 x,? x, x , x ,? x 所组成的集合中,最多含有____个元素。
2 3 3

三、课后巩固

1 也可以写成 a, a , ab ,则 a=____b=______ 1、已知 ? , a, b?
2

?

?

2、已知 x ? R, 则集合 3, x, x ? 2 x 中 的 x 的取值范围是_________
2

?

?

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3、 方程组 ? A

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?x ? y ? 3 的解组合的集合是( ) ?x ? y ? 1
B ?( 2,1)? C (2,1) D ?? 1,2?

?2,1?

知识点三: 一、集合与元素的表示及常用的数集 1.集合与元素的符号 集合通常用大写的拉丁字母 A、B、C....表示,元素用小写的拉丁字母 a,b,c...来表示。 如果 a 是集合 A 中的元素,就说 a 属于集合 A,记作 a ? A 如果 a 不是集合 A 中的元素,就说 a 不属于集合 A,记作 a ? A 2.数学中常用的数集及其记法如下: 全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集)记作___; 所有正整数组成的集合称为正整数集,记作______ 全体整数组成的集合称为整数集,记作___ 全体有理数组成的集合称为有理数集,记作___ 全体实数组成的集合称为实数集,记作___ 3.元素与集合的关系 元素与集合有___( ? )和___( ? )两种关系,如果元素 a 是集合 A 的元素,则______,如果元素 a 不是集 合 A 的元素,则______。 4.集合的表示法 (1)自然语言法,如:大于 2 小于 8 的偶数组成的集合;所有正方形组成的集合。 注意:必须说明由什么样(确定性)的对象组成的集合 (2)列举法:将集合中所有元素一一列举出来的方法叫做列举法,如:

?1,2,3,4,5?; ?张三,李四,王二麻子?。
列举法一般适用于有限集或元素间存在明显规律的无限集。 注意:①元素与元素间用“, ”分隔开 ②元素的三个特征要符合 ③集合中的元素可以代表任意具体的事物 ④x 与{x}表示的含义不同,x 表示集合{x}的元素,即 x∈{x},而{x}表示只含一个元素 x 的单元素集 合。

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(3)描述法: 用符合来表示便是 x ? A P(x) 其中, 表示集合中的掉膘元素, 指的是代表元素 x 的范围; x A P(x)则是表示代表元素 x 的共同特征。其中“|”表示将代表元素与其特征分隔开来,使得意思明确。 注意:①写清楚该集合中的代表元素的代号。 ②集合与它的代表元素所采用的字母名称无关,只与代表元素的形式有关。 ③多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间的关系的词汇。 , ④集合中不能出现未被说明的符号。例如: x ? R x ? 2k 其中的 k 未被说明,故侧集合不明确。 ⑤所有的描述内容都要写在集合符号内。如 x ? R x ? 2k , k ? z 是不符合要求的。 ⑥如果从上下文的关系来看,表示代表元素的范围,如 x∈R 是明确的,可以省略,以求简洁。 5、集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的。当这两个集合相等时,这两个集 合的元素是完全相同的,包括:①个数相等;②对于其中一个集合的任一个元素,在另一个集合中也都可 以找到这个元素。 注意:两个集合是否相等,不能从集合的形式上看,而应判断出这两个集合的所有元素,再根据集合相等 的定义进行判断。 二、例题 1、若 a 是 R 中的元素,但不是 Q 中的元素,则 a 可以是( A. 2、 3.14 (2) B .2 B. -5 C. )

?

?

? ?

? ?

3 7

D. 7 (4) ? 3 ? Q 其中正确的个数为( )

1 ?R 2
A. 1

2 ?Q

(3) ? 3 ? N C .3 D. 4

3、用列举法表示下列集合: ① {( x, y) | 0 ? x ? 2,0 ? y ? 2, x, y ? Z} ;



M ? {0,1,2}, P ? {x | x ? a ? b, a, b ? M , a ? b} ? __________ _;

4、用特征性质描述法表示下列集合 ①所有正偶数组成的集合 ②被 9 除余 2 的数组成的集合 ; 。

2 五、已知集合 S= x y ? x且y ? x ? ax ? b ,是否存在这样的实数 a,b,使得 - 1? S与3 ? S 同时成立?如

?

?

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果存在,求出 a,b 的值,如果不存在,请说明理由。

三、跟踪练习 1、数集 A 满足条件:若 a ? A ,则

1 1? a ? A(a ? 1), 若 ? A ,求集合中的其他元素。 3 1? a

2、已知集合 A= ?0,1,2,3,a?,当 x ? 时,若x ? 1? A且x ? 1? A, 则称 x 为 A 的一个“孤立”元素,现已知 A 中有一个“孤立”元素,是写出符合题意的 a 值_____(若有多个 a 值,写一个即可) 3、设 S 由满足下列条件的实数所构成的集合:① 1? S ② 若a ? S ,则 (1)若 2 ? S,则 S 中必有另外两个数,求出这两个数。 (2)求证,若 a ? S,则 1 -

1 ? S 。请解答下列问题 1- a

1 ? S; a

(3)在集合 S 中元素能否只有一个?请说明理由。 (4)求证:集合 S 中至少有三个不同的元素。

2 4、已知集合 A= x ax ? 2 x ? 1 ? 0, a ? R

?

?

(1)若 A 中只有一个元素,求 a 的值; (2)若 A 中最多有一个元素,求 a 的取值范围; (3)若 A 中至少有一个元素,求 a 的取值范围。

5、集合 A ? ?a,

? b ? ,1? , B ? a 2 , a ? b,0 ,期中 A=B,求 a 2006 ? b 2007 的值。 a ? ?

?

?

四、课后巩固 1、 (1)已知集合 M ? ? x ? N

? ?

? 6 ? Z ?, 求 M x ?1 ?

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(2)已知集合 C= ?

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? 6 ? ? Z x ? N ? ,求 C ?1 ? x ?

2、 (1)已知 A={a+2, (a+1)2,a +3a+3}且 1∈A,求实数 a 的值;? 2 (2)已知 M={2,a,b},N={2a,2,b }且 M=N,求 a,b 的值.?

2

3、集合 M 的元素为自然数,且满足:如果 x ? M,则 8-x ? M,试回答下列问题: (1)写出只有一个元素的集合 M; (2)写出元素个数为 2 的所有集合 M; (3)满足题设条件的集合 M 共有多少个?

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