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函数相等的意义及作用
在函数和数列中，常出现函数 f ?x ? 对于 x ? R 都有什么恒成立的问题及数列 ?a n ? 中 对于 n ? N ? ，某个式子恒成立的问题。例如： 问题： 集合 M 是符合条件“存在非零常数 T，使得对于 x ? R 都有 f ?x ? T ? ? T f ?x ? 成立” 的函数的集合。现有 f ?x ? ? sin kx ，且 f ?x ? ? M ，求实数 k 的值的集合。 解析：由 f ?x ? T ? ? T f ?x ? 及 f ?x ? ? sin kx 得， sin k ?x ? T ? ? T sin kx ，即 sin?kx ? kT ? ?
sin kx cos kT ? cos kx sin kT ? T sin kx ，那么 sin kx?cos kT ? T ? ? cos kx sin kT ? 0 对于 x ? R 恒成立，
所以
c o kT s ?T ? 0 ?sin k ? 0 ? sin k ? 0 ，则 T ? ?1，故 ? 或? 即 k ? n?，n ? Z 。 s i kT n ?0 ?cos k ? 1 ?cos k ? ?1
说明：在得到 sin kx?cos kT ? T ? ? cos kx sin kT ? 0 后，要注意到对于 x ? R 恒成立，只有 sin kx 和 cos kx 的系数都为零，或者由辅助角公式得
x ? R 恒成立，故也有
?cos kT ? T ?2 ? sin2 kT ? sin?kx ? ? ? ? 0 ，对于
cos kT ? T ? 0 。 sinkT ? 0
?cos kT ? T ?2 ? sin2 kT
? 0 ，即
练习：已知 f ?x? ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? ?? an x n ，且数列｛a n ｝是等差数列，n 为正 （若改为：已知 f ?2? ? n 2 ? 2n ，求 a n 呢？） 偶数，又 f ?1? ? n 2 ，求数列｛a n ｝的通项公式。
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