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函数相等的意义及作用
在函数和数列中,常出现函数 f ?x ? 对于 x ? R 都有什么恒成立的问题及数列 ?a n ? 中 对于 n ? N ? ,某个式子恒成立的问题。例如: 问题: 集合 M 是符合条件“存在非零常数 T,使得对于 x ? R 都有 f ?x ? T ? ? T f ?x ? 成立” 的函数的集合。现有 f ?x ? ? sin kx ,且 f ?x ? ? M ,求实数 k 的值的集合。 解析:由 f ?x ? T ? ? T f ?x ? 及 f ?x ? ? sin kx 得, sin k ?x ? T ? ? T sin kx ,即 sin?kx ? kT ? ?
sin kx cos kT ? cos kx sin kT ? T sin kx ,那么 sin kx?cos kT ? T ? ? cos kx sin kT ? 0 对于 x ? R 恒成立,

所以

c o kT s ?T ? 0 ?sin k ? 0 ? sin k ? 0 ,则 T ? ?1,故 ? 或? 即 k ? n?,n ? Z 。 s i kT n ?0 ?cos k ? 1 ?cos k ? ?1

说明:在得到 sin kx?cos kT ? T ? ? cos kx sin kT ? 0 后,要注意到对于 x ? R 恒成立,只有 sin kx 和 cos kx 的系数都为零,或者由辅助角公式得
x ? R 恒成立,故也有

?cos kT ? T ?2 ? sin2 kT ? sin?kx ? ? ? ? 0 ,对于
cos kT ? T ? 0 。 sinkT ? 0

?cos kT ? T ?2 ? sin2 kT

? 0 ,即

练习:已知 f ?x? ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? ?? an x n ,且数列{a n }是等差数列,n 为正 (若改为:已知 f ?2? ? n 2 ? 2n ,求 a n 呢?) 偶数,又 f ?1? ? n 2 ,求数列{a n }的通项公式。

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