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2013高考理科数学试题分类汇编17.几何证明

2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 17:几何证明
一、填空题 1 . (2013 年重庆数学(理) 如图,在 ? ABC 中, ?C ? 90 , )
0

?A ? 600 , AB ? 20 ,过 C 作 ? ABC 的外接圆的

切线 CD , BD ? CD , BD 与外接圆交于点 E ,则 DE 的长为_____ _____

【答案】 5 2 . (2013 年天津数学(理) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且 BD //AC. 过点 A 做圆的切 )

线与 DB 的延长线交于点 E, AD 与 BC 交于点 F. 若 AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段 CF 的长为______.

【答案】

8 3

3 . (2013年广东省数学(理) (几何证明选讲选做题)如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D )

使 BC ? CD ,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E .若 AB ? 6 , ED ? 2 ,则 BC ? _________. A

E D

. O
B
第 15 题图

C

【答案】 2

3

4 . (2013 年高 考四川卷(理) 设 P , P ,?, P 为平面 ? 内的 n 个点,在平面 ? 内的所有点中,若点 P 到 ) 1 2 n

P , P2 ,?, Pn 点的距离之和最小,则称点 P 为 P , P2 ,?, Pn 点的一个“中位点”. 例如,线段 AB 上的任意点 1 1
都是端点 A, B 的中位点.则有下列命题: ①若 A, B, C 三个点共线, C 在线 AB 上,则 C 是 A, B, C 的中位点;[来源:学#科#网] ②直角三角形斜边的点是该直角三角 形三个顶点的中位点; ③若四个点 A, B, C , D 共线,则它们的中 位点存在且唯一;
第 1 页 共 5 页

④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是____________.(写出所有 真命题的序号数学社区) 【答案】①④ 5 . (2013 年高考陕西卷(理) B. (几何证明选做题) 如图, 弦 AB 与 CD 相交于 ? O 内一点 E, 过 E 作 BC ) 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P. 已知 PD=2DA=2, 则 PE=_____.

B

C O E D A

P
【答案】

6.
7 的 ? O 中,弦 AB, CD 相交于点 P, PA ? PB ? 2 , PD ? 1 ,

6 . (2013 年高考湖南卷 (理) 如图 2,在半径为 )

则圆心 O 到弦 CD 的距离为____________.

【答案】

3 2
CE 的值为___________. EO

7 . 2013 年高考湖北卷 ( (理) 如图,圆 O 上一点 C 在直线 AB 上的射影为 D ,点 D 在半径 OC 上的射影为 E . )

若 AB ? 3 AD ,则
C

A

E

D O

B

第 15 题图
【答案】8 8 . (2013 年高考北京卷(理) 如图,AB 为圆 O 的直径,PA 为圆 O 的切线,PB 与圆 O 相交于 D.若 )

DB 16 PA=3, PD : ? 9 : ,则 PD=_________;AB=___________.

第 2 页 共 5 页

【答案】 二、解答题

9 ;4 5

9 . (2013 年新课标Ⅱ卷数学(理) 选修 4—1 几何证明选讲:如图, CD 为△ ABC 外接圆的切线, AB 的延长 )

线交直线 CD 于点 D , E , F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC ? AE ? DC ? AF , B, E , F , C 四点共 圆. (Ⅰ)证明: CA 是△ ABC 外接圆的直径; (Ⅱ)若 DB ? BE ? EA ,求过 B, E , F , C 四点的圆的面积与△ ABC 外接圆面积的比值.

C
F

D

B

E

A

【答案】

C
F

D

B

E

A

10. (2013 年辽宁数学(理) 选修 4-1:几何证明选讲 )

BC 如图, AB为 ? O直径,直线CD与 ? O相切于E.AD垂直于CD于D, 垂直于 CD 于 C,EF ,垂
直于 F ,连接 AE, BE .证明: (I) ?FEB ? ?CEB; (II) EF ? AD?BC.
2

第 3 页 共 5 页

【答案】

11. (2013 年江苏卷)A.[选修 4-1:几何证明选讲]本小题满分 10 分.

如图, AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D , C , AC 经过圆心 O ,且 BC ? 2OC 求证: AC ? 2 AD [来源:学.科.网]

【答案】A 证明:连接 OD,∵AB 与 BC 分别与圆 O 相切于点 D 与 C

∴ ?ADO ? ?ACB ? 90 ,又∵ ?A ? ?A
0

∴ RT?ADO ~ RT?ACB ∴

BC AC ? OD AD

又∵BC=2OC=2OD

∴AC=2AD

12. (2013 年高考新课标 1(理) 选修 4—1:几何证明选讲 )

如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆 上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于 D. (Ⅰ)证明:DB=DC; (Ⅱ)设圆的半径为 1,BC= ,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径.

第 4 页 共 5 页

【答案】(Ⅰ)连结 DE,交 BC 与点 G.

由弦切角定理得,∠ABF=∠BCE,∵∠ABE=∠CBE ,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE, 又∵DB⊥BE,∴DE 是直径,∠DCE= 90 ,由勾股定理可得 DB=DC.
0

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠CDE=∠BDE,BD=DC,故 DG 是 BC 的中垂线,∴BG=

3 . 2
o

设 DE 中点为 O,连结 BO,则∠BOG= 60 , ∠ABE=∠BCE=∠CBE= 30 ,

o

∴CF⊥BF,

∴Rt△B CF 的外接圆半径等于

3 . 2

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