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上海交大数学分析第1学期期终考试解答
















卷(A 卷)
姓名 成绩

( 2010 至 2011 班级号_______________________ 课程名称

学年 第 一 学期 ) 学号______________

数学分析(C 类) (电院、管院)

一、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

? arcsin x ? x2 6 1. 极限 lim ? ? ?e . x ?0 x ? ?
2. 极限 lim 3. 积分 ?
1 ?1

1

1

1 n i ? 1 ? arctan n ? 4 ? 2 ln 2 . n ?? n i ?1

? x arctan x ? x
2

3

1 ? x 2 dx ?

?

4 . 15

4. (电院专业同学做此题,不做 4*) 设常数 a ? 0 ,则平面曲线 ( x 2 ? y 2 )2 ? 4a 2 ( x 2 ? y 2 ) 所围图形的面积为 4a 2 . 4*. (管院专业同学做此题,不做 4) 设 f (x) ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 4 ,则 f (x) 在 [0,4] 上的最大值为 0 . 二、单项选择题(每小题 3 分,共 12 分) 1. 考虑下列断语,则有 (I) 若 f ( x) ? R[a, b] ,则 f 2 ( x) ? R[a, b] . (II) 若 f ( x) ? R[a, b] ,则 f ( x) ? R[a, b] . (A) I 正确,II 不正确. (C) I,II 均不正确. (B) I 不正确,II 正确. (D) I,II 均正确. ……【 B 】 ……【 D 】

x 2. 设常数 k ? 0 ,则方程 ln x ? ? k ? 0 在 (0,??) 内的实根个数为 e

(A) 3.

(B) 2.

(C) 1.

(D) 0.

3. 设 g (x) 为区间 I 上的上凸函数, f (x) 为 J 上递减的下凸函数,且 R( g ) ? J ,则【 A 】 (A) f ? g 为 I 上的下凸函数. (C) f ? g 必为 I 上的单调函数. (B) f ? g 为 I 上的上凸函数. (D) 以上结论都不正确.

4. 设 F (x) 是 f (x) 在区间 [a, b] 上的一个原函数, 则下列命题中, 错误命题个数为【 A 】 (I) F (x) 在 [a, b] 上连续.
C类A卷 共5页 第1页

(II) 若 F (a) F (b) ? 0 ,则 ?? ? (a, b) ,使 F (? ) ? 0 . (III) f (x) 在 [a, b] 上没有第一类间断点. (IV) 若 f (a) f (b) ? 0 ,则 ?? ? (a, b) ,使 f (? ) ? 0 . (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.

B 卷:1.(A) 2.(C) 3.(B) 4.(D) 三、(本题共 12 分) 全面讨论函数 y ?
2x ? 1 的性态,并列表作图 ( x ? 1) 2 2x 4x ? 2 (已知 y ? ? ? ) , y ?? ? 3 ( x ? 1) ( x ? 1) 4

解 函数定义域: x ? 1 令 y ? ? 0 ? x ? 0 . 令 y ?? ? 0 ? x ? ? 列表:
1 2
( 1 ,0 ) 2

x

(??, 1 ) 2

1

2

0 0 +
极小值

(0,1)

(1,??)

y? — y ?? — y 单调减上凸

— 0
拐点

— +
单调减下凸

+ +

— +

单调增下凸 单调减下凸

----------------------------------(5)
1 8 拐点 (? ,? ) ,极小值点 (0,?1) 2 9 由 lim y ? ? 得垂直渐近线 x ? 1;
x ?1

由 lim y ? 0 得水平渐近线 y ? 0 .
x ??

----------------------------------(8)

草图:
y

?1

?

? 1 O 1 2 2 ? ? ?1

1

x

-------------------------------(12)

四、计算题 (第 1 小题 6 分,其它 4 小题各 7 分,共 34 分) 1 ? ? 1 1. 求极限 lim ? ? ?. x ?1 ln x x ?1 ? ?
C类A卷 共5页 第2页

解 原式= lim

x ?1

x ? 1 ? ln x ( x ? 1) ln x

------------------------------(2)

1 1? x ? 1 ? ln x x = lim = lim x ?1 ( x ? 1) 2 x ?1 2( x ? 1)

= lim 2. 求极限 lim

1 1 ? x ?1 2 x 2

--------------------------------(6)

e x sin x ? x(1 ? x) . x ?0 x3

(1 ? x ?

解 原式= lim

x ?0

x2 x3 ? ? ( x 2 )) ? ( x ? ? ? ( x 4 )) ? x ? x 2 2 6 -------(3) x3
x3 ? ? ( x 3 )) ? x ? x 2 3 x3

(x ? x 2 ?

= lim

x ?0

x3 ? ?(x3 ) 1 = lim 3 3 ? x ?0 3 x

------------------------------(7)

3. 求不定积分 ?

arcsin x dx . 1? x
1 1? x2 dx) -----(3)

解 原式= ? 2 ? arcsin xd 1 ? x = ? 2( 1 ? x arcsin x ? ? 1 ? x = ? 2( 1 ? x arcsin x ? ?
1 1? x dx)

= ? 2 1 ? x arcsin x ? 4 1 ? x ? C

----------------------------(7)

4. 设函数 f ? C[0,1] ,且 f (0) ? 0 ,当 x ? (0,1] 时, f ( x) ? 0 ,又
f 2 ( x) ? ? f (t )
0 x

tan t 1 ? 2 tan 2 t

dt ,

求 f (x) 的表达式. 解 由于当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,由 f 2 ( x) 可导知 f ( x) 也可导. 方程两边对 x 求导,得
2 f ( x) f ?( x) ? f ( x) tan x 1 ? 2 tan 2 x

---------------(2)

当 x ? 0 时,有

2 f ?( x) ?

tan x 1 ? 2 tan 2 x

C类A卷 共5页 第3页

方程两边对 x 积分得

f ( x) ?

1 tan x ? 1 ? 2 tan 2 x dx 2 1 sin x 1 d cos x ? 2 ? cos2 x dx ? ? 2 ? 2 ? cos2 x 2

=

1 cos x = ? arcsin ? C -----------------------(6) 2 2

再由 f (0) ? 0 得 C=
e

? . 8

------------------------------------------(7)

5. 计算定积分 ? ( x ln x)2dx .
1

解 原式= ?

e

1

2 e x x3 x3 (ln x) d ? (ln x ) 2 ? ? 2 ln xdx ---------------------(3) 1 3 3 3 1 2

e

e e3 2 e e3 2 3 3 ? ( x ln x ? ? x 2 dx) -------------------(6) = ? ? ln xdx ? 1 3 9 1 3 9 1

e

e 3 2 3 e 3 ? 1 5e 3 2 )? ? = ? (e ? --------------------------------(7) 3 9 3 27 3

五、(本题共 10 分) 设 f ( x), g ( x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导,且 f (a) f (b) ? 0 , a?b f (a) f ( ) ? 0 ,又对任意的 x ?[a, b] 有 g ( x) ? 0 .试证:在 (a, b) 内至少存在一点 ? ,使 2 f ?(? ) g (? ) ? f (? ) g ?(? ) . a?b 证 不妨设 f (a) ? 0, 则 f (b) ? 0, f ( ) ? 0, 2 由 f (a) ? f (
?x1 ? (a, a?b a?b ) ? 0, f ( ) ? f (b) ? 0 及零点存在定理知 2 2

a?b a?b ), ?x2 ? ( , b) 使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 -----------------------(5) 2 2
F ( x) ? f ( x) g ( x)
x ? [a, b] ,-------------------------------------(8)

构造函数

则 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? 0 ,故由 Rolle 定理知
?? ? ( x1 , x2 ) ? (a, b) 使 F ?(? ) ? 0 即 f ?(? ) g (? ) ? f (? ) g ?(? ) ------------------(10)

六、(本题共 10 分)设 f ( x), g ( x) 是定义在 [0,1] 上的有界函数, f (x) 和 g (x) 在 [0,1] 上取值 相异的点构成数列 { x n } ,该数列满足 xn?1 ? ln(1 ? xn ) (?n ?N) . 证明: (1) 数列 { x n } 收敛,且 lim xn ? 0 ;
n ??

(2) f ? g ? R[0,1] ,并计算积分值 ? [ f ( x) ? g ( x)]dx .
0

1

C类A卷 共5页 第4页

证(1)因为 xn?1 ? ln(1 ? xn ) ? xn , ?n ? N ,故数列 { x n } 单调减,又 xn ? [0,1] 有界, 所以数列 { x n } 收敛。 设极限为 A ,并在递归式 xn?1 ? ln(1 ? xn ) 两边令 n ? ? 即得 A ? 0 --------------(4) (2)设函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 F (x) 在 [0,1] 上有界,在数列 { x n } 处间断,因为
0 ? x n ? 0 ,故 ?? ? 0 (? ? 1), ?N ?N, ?n ? N 有 0 ? x n ?

?
2

.

? ? 在区间 [ ,1] 上,由于 F (x) 只有有限个间断点,故 F (x) 在区间 [ ,1] 上可积,所以对上面的 2 2

? ? 及对 ?? ? 0 ,在 [ ,1] 上存在分划 ? 1 使
2

? ?x ? ?
i ( F )?

i

?

?
2
i

.

而在区间 [0,1] 上,取分划 ? : ? 1 ? {0} ,也有 故由可积的第二充要条件知 F (x) ? R [0,1] .

? ?x ? ?
i ( F )?

?

?
2

?

?
2

??,

-------------------------------(8)

由于 F (x) ? R [0,1] ,且除在可列个点 { x n } 间断外取值处处为零,故对 [0,1] 上任意的分划, 在每个子区间 [ xi ?1 , xi ] 上总可取到点 ? i 满足 F (? i ) ? 0 ,如此便有

lim


? ?0

? F (? )?x ?
i

i

? 0,
---------------------(10)

?

1

0

F ( x)dx ?

?

1 0

[ f ( x) ? g ( x)]dx =0

七、(本题共 6 分) 设 f (x) 在 [0,1] 上有连续的二阶导数,且 f (0) ? f (1) ? 0 ,又 f (x) 不恒 为零. 证明:
max f ( x) ?
x?[0,1]

1 1 f ??( x)dx . 4 ?0
x?[ 0 ,1]

证 由条件知 f (x ) 在 (0,1) 内取到最大值,设 x0 ? (0,1) , f ( x0 ) = max f ( x) ,现分别在
[0, x0 ], [ x0 ,1] 上对 f (x) 用 Lagrange 中值定理有
f (1) ? f ( x0 ) ? f ?(? ), ? ? ( x0 ,1); 1 ? x0
1

f ( x0 ) ? f (0) ? f ?(? ), ? ? (0, x0 ) --------------(2) x0

则 ? f ??( x) dx ? ? f ??( x) dx ? ? f ??( x)dx ? f ?(? ) ? f ?(? )
0

?

?

?

?

?

? f ( x0 ) f ( x0 ) 1 1 1 ? ? f ( x0 ) ( ? ) ? f ( x0 ) ? 4 f ( x0 ) 1 ? x0 x0 1 ? x0 x0 x0 (1 ? x0 )

故有

f ( x0 ) ? max f ( x) ?
x?[0,1]

1 1 f ??( x)dx ------------------------(6) 4 ?0

C类A卷 共5页 第5页


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