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湖南省雅礼中学2014届高三第四次月考数学(理)试题


雅礼中学 2014 届高三月考试卷(四)



学(理科)
高三数学备课组组稿

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | x ?

A.2

1 ? 0, x ? R}, 则满足 A ? B ? {?1,0,1} 的集合 B 个数是( C ) x B.3 C.4 D.8


2. a ? 1 是直线 l1 : ax ? y ? 0 与直线 l2 : x ? ay ? 2 ? 0 平行的( A

A充分不必要条件 . C.充要条件
? ? ?

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

( ? 3.若向量 a, b, c 满足 a // b ,且 b ? c ? 0 ,则 a ? b)c ? (

?

?

? ?

? ?? ? ?

D )

A.4

B.3

C.2

D.0
B)

4.已知函数: f ( x) ? x 2 , g ( x) ? 2 x , h( x) ? log 2 x ,当 a ? (4, ??) 时,下列选项正确的是 (

A. C.

f (a) ? g (a) ? h(a) g (a) ? h(a) ? f (a)

B.

g (a) ? f (a) ? h(a)

D. f (a) ? h(a) ? g (a)

5. 已知平面 ? 外不共线的三点 A, B, C 到 ? α 的距离都相等,则正确的结论是( D ) A.平面 ABC 必平行于 ? C.平面 ABC 必不垂直于 ? B.平面 ABC 必与 ? 相交 D.存在△ ABC 的一条中位线平行于 ? 或在 ? 内 )

2 6.已知抛物线 y ? ? x ? 3 上存在关于直线 x ? y ? 0 对称的相异两点 A, B ,则 AB 等于( C

A

3

B

4

C
x 5 ? y 3

3 2

D

4 2


7.平面上动点 A( x, y ) 满足

? 1 , B(?4,0) , C (4,0) ,则一定有( B

A
C

AB ? AC ? 10 AB ? AC ? 10

B D

AB ? AC ? 10 AB ? AC ? 10

8. 在等差数列 ? an ? 中, a2 ? 5 , a6 ? 21 ,记数列 ?

?1? m ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 2 n ?1 ? S n ? 对 15 ? an ?

n ? N * 恒成立,则正整数 m 的最小值为(

A )

A

5

B

4

C

3

D

2

解:由题设得 an ? 4n ? 3 ,∴ S 2 n ?1 ? S n ? 令 Tn ?

m 1 1 1 m 可化为 ? ?? ? ? , 15 4n ? 1 4n ? 5 8n ? 1 15

1 1 1 , ? ??? 4 n ? 1 4n ? 5 8n ? 1 1 1 1 1 1 则 Tn ?1 ? , ? ??? ? ? 4n ? 5 4n ? 9 8n ? 1 8n ? 5 8n ? 9 1 1 1 1 1 1 ∴ Tn ?1 ? Tn ? ? ? ? ? ? ?0, 8n ? 5 8n ? 9 4n ? 1 8n ? 2 8n ? 2 4n ? 1 1 1 14 ∴当 n ? 1 时, Tn 取得最大值 ? ? , 5 9 45 m 14 14 由 解得 m ? ,∴正整数 m 的最小值为 5。 ? 15 45 3
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 (一)选做题(请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题计分) 9.在极坐标系中,曲线 ? cos ? ? 4sin ? 的焦点的极坐
2



. ( 1,

?
2

A


B

D F O E C

10.已知 C 点在圆 O 直径 BE 的延长线上, CA 切圆 O 于 A 点, ?ACB 的平分线分别交 AE 、 AB 于点 F 、 D .则 ?ADF 的度数= .

45 0

11.若存在实数 x 使 3x ? 6 ? 14 ? x ? a 成立,求常数 a 的取值范 2 围 。 (??,8) 2
(正视图)

?
2
(侧视图)

(二)必做题(12-16 题) 12. 计算:

?

?

2

0

cos xdx =



?
2

13.已知某个几何体的三视图如右图所示,根据图中标出的尺寸,可 得这个几何体的表面积是 。 5? ? ? 2
(俯视图)

14.桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各 3 个,相同颜色的球 不加以区分,将此 9 个球排成一排共有 种不同的排法。 (用数字作答) 15.定义:e
0
i?

1680 种

i? ? cos? ? i sin? , 其中 i 是虚数单位,? ? R , 且实数指数幂的运算性质对 e 都适应。

若 x ? C3 cos

3

?
12

? C32 cos


?
12

sin 2

?
12

, y ? C3 cos
1

2

?
12

sin

?
12

3 ? C3 sin 3

?
12

,则

x ? yi ?

答案

2 2 ? i 2 2

16.已知函数 f ( x) ? ln x ? mx ? 1, 其中 m ? R , g ( x) ?

3 2 x ? x ? 1 ? f ( x) 。 8

(1)若 f ( x) ? 0 在 f (x) 的定义域内恒成立,则实数 m 的取值范围
n

;m ?1

(2)在(1)的条件下,当 m 取最小值时, g (x) 在 [e ,??)( n ? Z ) 上有零点,则 n 的最大值 为 。

解:由(1)得 g ( x) ?

3 2 x ? 2 x ? 2 ? ln x ( x ? 0) , 8 (3x ? 2)( x ? 2) 所以 g / ( x) ? 4x 2 2 故 g (x) 在 (0, ], [2,??) 上递增,在 ( ,2) 上递减。 3 3 2 所以在 [ ,?? ) 上 g (x) 的最小值为 g ( 2) , 3 1 2 而 g (2) ? ln 2 ? ? 0 ,故 g (x) 在 [ ,?? ) 上没有零点。 2 3 2 2 n n 所以 g (x) 的零点一定在递增区间 (0, ) 上,从而有 e ? 且 g (e ) ? 0 。 3 3
又 g (e ) ?
?1

3 ? 8(e 2 ? 2e) 3 ? 16e 2 ? 0 , g (e ? 2 ) ? ? 0, 8e 2 8e 4

当 n ? ?2 时均有 g ( x) ? 0 ,所以 n 的最大值为-2. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x , x ? R .求:
2 2

(1)函数 f ( x) 的最小值及取得最大值的自变量 x 的集合; (2)函数 f ( x) 的单调增区间. (1)解:

1 ? cos 2 x 3(1 ? cos 2 x) ? ? sin 2 x ? ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2 sin(2 x ? ) 2 2 4 ? ? 3? (k ? Z ) 时, f ( x) 取得最大值 2 ? 2 . ?当 2 x ? ? 2k? ? ,即 x ? k? ? 4 2 8 3? 函数 f ( x) 的取得最大值的自变量 x 的集合为 {x / x ? R, x ? k? ? (k ? Z )} . 8 f ( x) ?
??????????6 分 (2) f ( x) ? 2 ? 2 sin(2 x ? 即: k? ?

?
4

) 由题意得: 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k ? ?

?
2

(k ? Z )

3? ? 3? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 因此函数 f ( x) 的单调增区间为 [k? ? , k? ? ](k ? Z ) 8 8 8 8
??????????12 分

18. (本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 (侧棱和底面垂直的棱柱)中,平面

A1 BC ? 侧 面 A1 ABB1 , AB ? BC ? AA1 ? 3 , 线段AC、A1 B上分别有一点E、F , 且 满 足

2 AE ? EC,2BF ? FA1 .
(1)求证: AB ? BC ;

A1

C1

B1

(2)求点 E到直线A1 B 的距离; (3)求二面角 F ? BE ? C 的平面角的余弦值。
A E F C

(1)证明:如右图,过点 A 在平面 A1ABB1 内作 AD ⊥ A1B 于 D , 则 由 平 面 A1BC ⊥ 侧 面 A1ABB1, 且 平 面 A1BC ? 侧 面 A1ABB1=A1B,得 AD⊥平面 A1BC,又 BC ? 平面 A1BC,所以 AD⊥BC. 因为三棱柱 ABC—A1B1C1 是直三棱柱,则 AA1⊥底面 ABC,所以 AA1⊥BC. 又 AA1 ? AD=A,从而 BC⊥侧面 A1ABB1, 又 AB ? 侧面 A1ABB1,故 AB⊥BC. ??????????4 分
B

(2)由(Ⅰ)知,以点 B 为坐标原点,以 BC、BA、BB1 所在的直线分 别为 x 轴、y 轴、z 轴,可建立如图所示的空间直角坐标系, B(0,0,0), A(0,3,0), C(3,0,0) , A1 (0,3,3) 有 由

线段AC、A1 B上分别有一点E、F







2 AE ? EC,2BF ? FA1 ,
所以 E(1,2,0), F(0,1,1)

??? ? EF ? (?1, ?1,1),

???? BA1 ? ( 0 , 3 , 3所以 EF ? BA1 , ).
3。
??????????8 分

所以点 E到直线A1 B 的距离 d ? EF ?

(3)

co? ? ? s

6 。 6

??????????12 分

19.(本小题满分 12 分)长沙市某中学在每年的 11 月份都会举行“社团文化节” ,开幕式当天组织 举行大型的文艺表演,同时邀请 36 名不同社团的社长进行才艺展示。其中有

3 的社长是高中学生, 4

1 1 2 的社长是初中学生,高中社长中有 是高一学生,初中社长中有 是初二学生。 4 3 3

(1)若校园电视台记者随机采访 3 位社长,求恰有 1 人是高一学生且至少有 1 人是初中学生的概 率; (2)若校园电视台记者随机采访 3 位初中学生社长,设初二学生人数为 ? ,求 ? 的分布列及数学 期望 E? 。 解: (Ⅰ)由题意得,高中学生社长有 27 人,其中高一学生 9 人;初中学生社长有 9 人,其中 初二学生社长 6 人。 事件 A 为“采访 3 人中,恰有 1 人是高一学生且至少有 1 人是初中学生” 。
1 1 1 1 C 9 C 9 C18 C 9 C 92 297 P( A) ? ? ? 3 3 1190 C 36 C 36
sj.fjjy.org

?????????????????6 分

(Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1,2,3

P(? ? 0 ) ?

3 C3 1 ? , 3 C9 84

P(? ? 1) ?

1 C6C32 3 ? 3 C9 14

sj.fjjy.org

P(? ? 2) ?

1 C62C3 15 5 ? , P(? ? 3) ? , 3 C9 28 21

sj.fjjy.org

所以 ? 的分布列为

?
P
所以 E? ? 0 ?

0

1

2

3

1 84

3 14

15 28

5 21

1 3 15 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 , ????????12 分 84 14 28 21

20. (本小题满分 13 分)2013 年我国汽车拥有量已超过 2 亿(目前只有中国和美国超过 2 亿) ,为了 控制汽车尾气对环境的污染,国家鼓励和补贴购买小排量汽车的消费者,同时在部分地区采取对 新车限量上号。 某市采取对新车限量上号政策, 已知 2013 年年初汽车拥有量为 x1( x1 =100 万辆) , 第 n 年(2013 年为第 1 年,2014 年为第 2 年,依次类推)年初的拥有量记为 x n ,该年的增长量 y n 和 x n 与1 ?

xn 的乘积成正比,比例系数为 ? (0 ? ? ? 1) ,其中 m =200 万。 m

(1)证明: y n ? 50? ; (2)用 x n 表示 xn ?1 ;并说明该市汽车总拥有量是否能控制在 200 万辆内。

解: (1)依题 y n ? ?x n (1 ?

xn ) m

??????????2 分

? 只需证明 xn (1 ?

xn ) ? 50 ,即证 ( x n ? 100 ) 2 ? 0 。 m
??????????5 分

上式显然成立,所以 y n ? 50? 。 (2) x n ?1 ? x n ? y n ,所以 x n ?1 ? x n ? ?x n (1 ?

xn ) 200

按该政策可以将该市汽车总拥有量控制在 200 万辆内,即 x n ? 200 。???????6 分 证明如下: 当 n ? 1时, x1 ? 100 ,显然成立。 假设 n ? k 时, x k ? 200 成立。 则当 n ? k ? 1时 , x k ?1 ? x k ? ?x k (1 ? 令 f ( x) ? ?

xk ) 是关于 x k 的一个二次函数, 200

x 2 ? (1 ? ? ) x , ( x ? 200 ) 200 100 (1 ? ? ) 其对称轴 x ? ? 200 ,所以 f (x)在(0,200)内递减

?

?

f ( x) ? f (200 ) ? 200 ,即 x k ?1 ? 200
综上所述, x n ? 200 成立。 ??????????13 分

21. 定义: 对于两个双曲线 C1 , C 2 ,若 C1 的实轴是 C 2 的虚轴,C1 的虚轴是 C 2 的实轴, 则称 C1 , C 2 为 共轭双曲线。现给出双曲线 ?1 : y ? x ?

1 1 和双曲线 ?2 : y ? x ? ,其离心率分别为 e1 , e 2 。 x x

(1)写出 ?1 , ?2 的渐近线方程(不用证明) ; (2)试判断双曲线 ?1 : y ? x ? (3)求值:

1 1 和双曲线 ?2 : y ? x ? 是否为共轭双曲线?请加以证明。 x x

1 1 ? 2。 2 e1 e2
-------------3 分 -------------4 分

解: (1) ?1 , ?2 的渐近线方程都是: y ? x 和 x ? 0 。 (2)双曲线 ?1 , ?2 是共轭双曲线。

1 ,实轴和虚轴所在的直线是 y ? x 和 x ? 0 的角平分线所 x 1 0 的直线, 所以 ?1 : y ? x ? 的实轴所在直线为 y ? tan 67.5 x ? ( 2 ? 1) x , x
证明如下: 对于 ?1 : y ? x ? 虚轴所在直线为 y ? tan157 .5 x ? (1 ? 2 ) x ,
0

-------------6 分

实轴 y ? ( 2 ? 1) x 和 y ? x ? 又

1 2 2 的交点 A1 到原点的距离的平方 d ? a1 ? 2 ? 2 2 。 x

b1 2 2 ? tan 22 .5 0 ? 2 ? 1,所以 b1 ? 2 2 ? 2 从而得 c1 ? 4 2 ;-------------8 分 a1

同理对于 ?2 : y ? x ?

1 0 ,实轴所在直线为 y ? tan157 .5 x ? (1 ? 2 ) x , x
0

虚轴所在直线为 y ? tan 67.5 x ? ( 2 ? 1) x , 实轴 y ? (1 ?

2)x 和 y ? x ?

1 2 2 的交点 B1 到原点的距离的平方 d ? a 2 ? 2 2 ? 2 x

b2 2 2 ? tan 67.5 0 ? 2 ? 1 ,所以 b2 ? 2 2 ? 2 ,从而得 c 2 ? 4 2 。 a2
综上所述,双曲线 ?1 , ?2 是共轭双曲线。
2 1 a12 2 ? 2 2 1 a2 2 2 ? 2 (3) 由(2)易得 2 ? 2 ? , 2 ? 2 ? , e1 c1 e2 c 2 4 2 4 2

-------------10 分

所以

1 1 ? 2 =1 。 2 e1 e2

-------------13 分

22. 本题满分 13 分) ( 设函数 f ( x) ? p ln x ? (1) 求实数 p, q 的取值;

q 若 ? p ? 0? , x ? 2 时,f (x) 有极小值 1 ?1 ? ln 2? , 2 2 2 x n ; 4
4ac ? b 2 是否具 4a

(2) 若数列 ?a n ?中, a n ? f ?n ? ,求证:数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ?

(3) 设函数 g ( x) ? a ln x ? bx ? c(a ? 0) ,若 g (x) 有极值且极值为 t ,则 t 与 有确定的大小关系?证明你的结论。 【解答】 (1) f ' ( x) ?

px 2 ? 2q x3

???????????????????????1 分

? 2 p ? f ' ( ) ? 0 ? ? 2q ? 0 ? 2 2 ?? ??????????3 分 ? f ( 2 ) ? 1 ?1 ? ln 2 ? ? ? p ln 2 ? 2q ? 1 ?1 ? ln 2 ? ? 2 2 2 2 ?

? p ? 1, q ?

1 ????????????????????????????4 分 4
? 2 ? ? ? 2 ,?? ? 上单调递增, ?5 分 ? ?

(2)由条件和第(1)问可知,函数 y ? f (x) 在 x ? ?

a n ? f (n), n ? 1

? a n ? a1 ?

1 n ???????????7 分 ? S n ? na1 ? 4 4 a (3) g ' ( x) ? ? b ,由 g (x) 有极值且 g (x) 的定义域为 ?0,??? 可知: x a ? a? a, b 异号,极小值点为 x ? ? , t ? g ? ? ? ???????????????8 分 b ? b?
t? ? ? a ? b2 ? 4ac ? b 2 b2 ? a? ? a ln ? ? ? ? a ? c ? c ? ? a? ln ? ? ? ? 2 ? 1? ?????9 分 ? ? 4ac 4a ? b? ? ? b ? 4a ?

令? ? ?

1 a ,构造函数 h(? ) ? ln ? ? ? 1 ,由条件和第(1)问可知: b 4? 2

? ?

2 2 1 ) ? ? ?1 ? ln 2? ? 0 时, h(? ) 有极小值 h( 2 2 2

而 h(e) ? ln e ? 所以 t ?

1 1 ?1 ? 2 ? 0 2 4e 4e

???????????11 分

4ac ? b 2 可能大于 0 或可能等于 0 或可能小于 0, 4ac 4ac ? b 2 不具有明确的大小关系。 4a
???????????13 分

即 g (x) 的极值 t 与


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