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2013年全国高考理科数学试题分类汇编——解析几何


2013 年全国高考理科数学试题分类汇编——解析几何

【直线与圆】
一、选择题 1 . (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的一个方向向量是





A. (2, ? 3)

B. (2, 3)

C. (?3, 2)

D. (3, 2)

2 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 新 课 标 Ⅱ 卷 数 学 ( 理 ) ( 纯 WORD 版 含 答 案 ) )已知点

A(?1, 0), B (1, 0), C (0,1) ,直线 y ? ax ? b(a ? 0) 将△ ABC 分割为面积相等的两部分 ,则 b 的取值范
围是 A. (0,1) B. (1 ? ( )

2 1 , ) 2 2

( C) (1 ?

1 1 2 1 , ] D. [ , ) 2 3 3 2
( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 的两
( D. 4 x ? y ? 3 ? 0 )

3 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) )过点 (3,1) 作圆

条切线,切点分别为 A , B ,则直线 AB 的方程为 A. 2 x ? y ? 3 ? 0
4

B. 2 x ? y ? 3 ? 0

C. 4 x ? y ? 3 ? 0

.( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学 ( 理 ) 试 题 ( WORD 版 )) 已 知 点

O ?0 , ? 0 A ,?
A. b ? a
3

3 0 b, ? B, a 若 , ? . ? ?a

为直角三角形 ABC 则必有 ,
B. b ? a ?
3





1 a
3

C. b ? a

?

3

?? ?b ? a ?

3

1? ? ??0 a?

D. b ? a ? b ? a ?
3

1 ?0 a

5 . (2013 年高考江西卷(理) )如图,半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线, l1 , l2 之间 l // l1 , l

? 的长为 与 半 圆 相 交 于 F,G 两 点 , 与 三 角 形 ABC 两 边 相 交 于 E,D 两 点 , 设 弧 FG

x(0 ? x ? ? ) , y ? EB ? BC ? CD ,若 l 从 l1 平行移动到 l 2 ,则函数 y ? f ( x) 的图像大致是

1

6 . (2013 年高考湖南卷(理) )在等腰三角形 ABC 中, AB=AC ? 4, 点 P 是边 AB 上异于 A, B 的一点,光

线从点 P 出发,经 BC , CA 发射后又回到原点 P (如图1 ).若光线 QR 经过 ?ABC 的中心,则 AP 等

( A. 2
二、解答题



B. 1

C.

8 3

D.

4 3

7 . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) )本小题满分

14 分.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为1 ,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. y A O l

x

2

【圆锥曲线】
一、选择题 1 . (2013 年高考江西卷(理) )过点 ( 2, 0) 引直线 l 与曲线 y ? 1 ? x 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当
2

? AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于
A. y ? EB ? BC ? CD





3 3

B. ?

3 3

C. ?

3 3

D. ? 3

x2 2 . (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) )双曲线 ? y 2 ? 1 的顶 4
点到其渐近线的距离等于 ( A. ) C.

2 5

B.

4 5

2 5 5

D.

4 5 5

3 . (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版) )已知中心在原点的双曲线 C 的右

焦点为

F ? 3, 0 ?

3 ,离心率等于 2 ,在双曲线 C 的方程是
x2 y 2 ? ?1 5 B. 4 x2 y 2 ? ?1 5 C. 2
x2 y 2 ? ?1 5 D. 2





x2 y 2 ? ?1 5 A. 4

4. (2013 年高考新课标 1(理) )已知双曲线 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的离心率为 ,则 C 的渐近线 2 a b 2
( )

方程为 A. y ? ?

1 x 4

B. y ? ?

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

5 .( 2013 年 高 考 湖 北 卷 ( 理 )) 已 知 0 ? ? ?

?
4

, 则 双 曲 线 C1 :

x2 y2 ? ?1 与 cos2 ? sin 2 ?
( )

C2 :

y2 x2 ? ? 1的 sin 2 ? sin 2 ? tan 2 ?
B.虚轴长相等
2

A.实轴长相等

C.焦距相等
2

D.离心率相等
2

y ? 1 的渐近线的距离是 6 . (2013 年高考四川卷(理) )抛物线 y ? 4 x 的焦点到双曲线 x ? 3
A.





1 2

B.

3 2

C. 1
3

D. 3

x2 7 . (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学 (理) 试题 (纯 WORD 版) ) 如图, F1 , F2 是椭圆 C1 : ? y2 ? 1 4
与双曲线 C 2 的公共焦点, A, B 分别是 C1 , C 2 在第二、四象限的公共点 .若四边形 AF1 BF2 为矩形,则

C 2 的离心率是
y A F1 O B (第 9 题图) F2 x

( C.



A. 2

B. 3

3 2

D.

6 2
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 a 2 b2

8 . (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案) )已知双曲线

两条渐近线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线分别交于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3 , 则 p = A.1 B.
3 2

( C.2 D.3



9 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对) )椭圆 C :

x2 y 2 ? ?1的 4 3

左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA2 的斜率的取值范围是 ? ?2, ?1? ,那么直线 PA1 斜率的 取值范围是 A. ? , ? 2 4 ( B. ? , ? 8 4 )

?1 3? ? ?

?3 3? ? ?

C. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

D. ? , 1?

?3 ? ?4 ?

10. (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对) )已知抛物线 C : y ? 8 x
2

与点 M ? ?2, 2 ? ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A, B 两点,若 MA?MB ? 0 ,则 k ? (

???? ????



A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D. 2

11. (2013 年高考北京卷(理) )若双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为 a 2 b2





4

A.y=±2x

B.y= ? 2 x

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ?

2 x 2

12 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 山 东 数 学 ( 理 ) 试 题 ( 含 答 案 ) )已知抛物线

C1 C1

y?
:

1 2 x2 x ? y2 ? 1 C 2 p ( p ? 0) 的焦点与双曲线 C2 : 3 的右焦点的连线交 1 于第一象限的点 M .若
C2
的一条渐近线,则 p ? ( )

在点 M 处的切线平行于

3 A. 16

3 B. 8

2 3 C. 3

4 3 D. 3

13. (2013 年高考新课标 1(理) )已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3,0) ,过点 F 的直线交 a 2 b2
( )

椭圆于 A, B 两点.若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为

A.

x2 y 2 ? ?1 45 36

B.

x2 y 2 ? ?1 36 27

C.

x2 y 2 ? ?1 27 18

D.

x2 y2 ? ?1 18 9

14 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 新 课 标 Ⅱ 卷 数 学 ( 理 ) ( 纯 WORD 版 含 答 案 ) )设抛物线

C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 M 在 C 上, MF ? 5 ,若以 MF 为直径的圆过点 (0,2) ,则 C 的
方程为 A. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 8 x C. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 16 x B. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 8 x D. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 16 x ( )

15. (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))已知 A、 B 为平面内两定点,过该平面内动点 M 作直线 AB

的垂线,垂足为 N .若 MN ? ? AN ? NB ,其中 ? 为常数,则动点 M 的轨迹不可能是 A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线
2

???? ?2

???? ??? ?





16. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案) )已知圆 C1 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 ,
2

圆 C2 : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 9 , M , N 分别是圆 C1 , C2 上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM ? PN 的
2 2

最小值为 A. 5 2 ? 4
二、填空题

( B. 17 ? 1 C. 6 ? 2 2 D. 17



17 . ( 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) ) 双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线的方程为_____________. 16 9

5

x2 y 2 18. (2013 年高考江西卷 (理) ) 抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F,其准线与双曲线 ? ? 1 相交于 A, B 3 3
2

两点,若 ?ABF 为等边三角形,则 P ? _____________
19. (2013 年高考湖南卷(理) )设 F1 , F2 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,P 是 C 上一点, a 2 b2

若 PF 1 ? PF2 ? 6a, 且 ?PF1 F2 的最小内角为 30? ,则 C 的离心率为___.
20( .2013 年高考上海卷 (理) ) 设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? 上,且 ?CBA ?

?
4

,若 AB=4, BC ?

2,

则 ? 的两个焦点之间的距离为________

21. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版) )已知直线 y ? a 交抛物线 y ? x

2

于 A, B 两点.若该抛物线上存在点 C ,使得 ?ABC 为直角,则 a 的取值范围为___ _____.
22. ( 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 (数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) ) 抛物线 y ? x
2

在 x ? 1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三角形内部与边界 ).若点 P( x, y ) 是区域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的取值范围是__________.

23. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) )在平面直角坐

标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点为 F ,右准线为 l ,短轴的一个端 a 2 b2
6d1 , 则椭圆 C 的离心率为

点为 B , 设原点到直线 BF 的距离为 d1 , F 到 l 的距离为 d 2 , 若 d 2 ? _______.

x2 y 2 24. (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) )椭圆 ? : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) a b
的 左 . 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 焦 距 为 2c, 若 直 线 y ?

3( x ? c) 与 椭 圆 ? 的 一 个 交 点 M 满 足

?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ,则该椭圆的离心率等于__________
25. (2013 年高考陕西卷(理) )双曲线

x2 y 2 5 ? ? 1 的离心率为 , 则 m 等于___9_____. 16 m 4

26. (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) )已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
B, F若

的 左 焦 点 为 F , C 与 过 原 点 的 直 线 相 交 于 A, B 两 点 , 连 接 A F ,

AB ? 10, AF ? 6, cos ? ABF ?

4 ,则 C 的离心率 e= ______. 5
6

27. (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))抛物线 y ? 8 x 的准线方程是_______________
2

28. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) )在平面直角坐

标系 xOy 中,设定点 A(a, a) , P 是函数 y ?

1 ( x ? 0 )图象上一动点,若点 P,A 之间的最短距离为 x

2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为_______.
29. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) )设 F 为抛物线 C : y ? 4 x 的焦
2

点,过点 P(?1,0) 的直线 l 交抛物线 C 于两点 A, B ,点 Q 为线段 AB 的中点,若 | FQ |? 2 ,则直线的斜 率等于________.
三、解答题 30. (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 9 分.

, 0) 、 F2 (1, 0) ,短轴的两个端点分别为 B1、 B2 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1 (?1
(1)若 ?F1 B1 B2 为等边三角形,求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 的短轴长为 2 ,过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P、 Q 两点,且 F1 P ? F1Q ,求直线 l 的方 程.

????

????

.

x2 y 2 31. (2013 年高考四川卷(理) )已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1, ( a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 (?1,0), F2 (1,0) , a b 4 1 且椭圆 C 经过点 P ( , ) . 3 3 (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设过点 A(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,点 Q 是线段 MN 上的点,且 2 1 1 ? ? ,求点 Q 的轨迹方程. 2 2 | AQ | | AM | | AN |2

7

x y 32. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) ) 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的 a b
左、右焦点分别是 F1 , F2 ,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点 ,连接 PF1 , PF2 ,设 ?F1 PF2 的角平分线 PM 交 C 的长 轴于点 M (m, 0) ,求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下 , 过 P 点作斜率为 k 的直线 l , 使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 , 设直线

2

2

3 ,过 F1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. 2

PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k 2 ,若 k ? 0 ,试证明

1 1 ? 为定值,并求出这个定值. kk1 kk2

x2 ? y 2 ? 1 ,曲线 C2 :| y |?| x | ?1 ,P 是 33. (2013 年高考上海卷(理) )(3 分+5 分+8 分)如图,已知曲线 C1 : 2
平面上一点,若存在过点 P 的直线与 C1 , C2 都有公共点,则称 P 为“C1—C2 型点”. (1)在正确证明 C1 的左焦点是“C1—C2 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线 的方程(不要求验证); (2)设直线 y ? kx 与 C2 有公共点,求证 | k |? 1 ,进而证明原点不是“C1—C2 型点”; (3)求证:圆 x ? y ?
2 2

1 内的点都不是“C1—C2 型点”. 2

8

34. (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) )如图,在正方形 OABC 中, O 为

坐标原点,点 A 的坐标为 (10, 0) ,点 C 的坐标为 (0,10) .分别将线段 OA 和 AB 十等分,分点分别记为

A1 , A2 ,.... A9 和 B1 , B2 ,....B9 ,连结 OBi ,过 Ai 做 x 轴的垂线与 OBi 交于点 Pi (i ? N * ,1 ? i ? 9) .
* (1)求证:点 P i (i ? N ,1 ? i ? 9) 都在同一条抛物线上,并求该抛物线 E 的方程;

(2)过点 C 做直线与抛物线 E 交于不同的两点 M , N ,若 ?OCM 与 ?OCN 的面积比为 4 :1 ,求直线的 方程.
35. (2013 年高考湖南卷(理) )过抛物线 E : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F 作斜率分别为 k1 , k 2 的两条不同的直
2

线 l1 , l2 ,且 k1 ? k2 ? 2 , l1与E 相交于点 A,B, l2与E 相交于点 C,D.以 AB,CD 为直径的圆 M,圆 N(M,N 为圆 心)的公共弦所在的直线记为 l . (I)若 k1 ? 0, k2 ? 0 ,证明; FM ?FN ? 2 P ;
2

???? ? ????

(II)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为

7 5 ,求抛物线 E 的方程. 5

36 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) ) 如图 , 点 P(0,?1) 是椭圆

C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点, C1 的长轴是圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 4 的直径. l1 , l2 是过点 P 且互相 a 2 b2

垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C 2 于两点, l 2 交椭圆 C1 于另一点 D (1)求椭圆 C1 的方程; (2)求 ?ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.

9

y l1 D O P A (第 21 题图) l2 B x

37. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案) ) 如题(21)图,椭圆的中心为原点 O ,

长轴在 x 轴上,离心率 e ? (1)求该椭圆的标准方程;

2 ,过左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 A, A? 两点, AA? ? 4 . 2

(2)取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P, P? ,过 P, P? 作圆心为 Q 的圆,使椭圆上的其余点 均在圆 Q 外.若 PQ ? P?Q ,求圆 Q 的标准方程.

38. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版) )设椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1的焦点 a2 1 ? a2

在 x 轴上 (Ⅰ)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点, P 为椭圆 E 上的第一象限内的点,直线 F2 P 交 y 轴与点 Q ,并 且 F1 P ? F1Q ,证明:当 a 变化时,点 p 在某定直线上.
39. (2013 年高考新课标 1(理) )已知圆 M : ( x ? 1)
2

? y 2 ? 1 ,圆 N : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与 M

外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求 C 的方程;
10

(Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|.

40. (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案) )设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦 a 2 b2

点为 F, 离心率为

3 4 3 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . 3 3 (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点 , 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点 . 若 ???? ??? ? ???? ??? ? AC· DB ? AD· CB ? 8 , 求 k 的值.

x2 y 2 3 1 41. (2013 年高考江西卷(理) )如图,椭圆 C: 2 + 2 =1(a >b>0) 经过点 P (1, ), 离心率 e = ,直线 l 的方 a b 2 2
程为 x =4 . (1) 求椭圆 C 的方程; (2) AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P ),设直线 AB 与直线 l 相交于点 M ,记 PA, PB, PM 的斜率分别为 k1 ,k2 ,k3 . 问:是否存在常数 ? ,使得 k1 +k2 =? k3 . ?若存在求 ? 的值;若不存在,说明理由.

11

42. (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版) )已知抛物线 C 的顶点为原点,其

焦点 F ? 0, c ?? c ? 0 ? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程;

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 2

(Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

43. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案) )平面直角坐标系 xOy 中,

过椭圆 M :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F 作直 x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 A, B 两点, P 为 AB 的中点,且 a 2 b2

OP 的斜率为

1 . 2

(Ⅰ)求 M 的方程; (Ⅱ) C , D 为 M 上的两点,若四边形 ABCD 的对角线 CD ? AB ,求四边形 ABCD 面积的最大值.
12

44. (2013 年高考湖北卷(理) )如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,

短轴长分别为 2m , 2n ? m ? n ? ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个交点按纵坐标从大 到小依次为 A , B , C , D .记 ? ?

m , ?BDM 和 ?ABN 的面积分别为 S1 和 S2 . n

(I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (II)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由.

y
A B
N x

M
C

O

D
第 21 题图

13

45. (2013 年高考北京卷(理) )已知 A、B、C 是椭圆 W:

x2 ? y 2 ? 1 上的三个点,O 是坐标原点. 4

(I)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (II)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由.

46. (2013 年高考陕西卷(理) )已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8.

(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是 ?PBQ 的角 平分线, 证明直线 l 过定点.

47 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学 ( 理 ) 试 题 ( WORD 版 ) )如图,抛物线

C1 : x 2 ? 4 y, C2 : x 2 ? ?2 py ? p ? 0 ? , 点 M ? x0 , y0 ? 在 抛 物 线 C2 上 , 过 M 作 C1 的 切 线 , 切 点 为

1 A, B ( M 为原点 O 时, A, B 重合于 O ) x0 ? 1 ? 2 ,切线 MA. 的斜率为 - . 2 (I)求 p 的值;
(II)当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程. ? A, B重合于O时,中点为O ? .

14

48 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 大 纲 版 数 学 ( 理 ) WORD 版 含 答 案 ( 已 校 对 ) ) 已知双曲线

C:

x2 y 2 直线 y ? 2 与 C 的两个交点间 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,离心率为 3, a 2 b2

的距离为 6 . (I)求 a , b; ; (II) 设 过 F2 的 直 线 l 与 C 的 左 、 右 两 支 分 别 相 交 于 A, B 两 点 , 且 AF1 ? BF1 , 证

AB 、 BF2 成等比数列. 明: AF2 、

49. (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.

y ? 4 x 的焦点为 F . 已知抛物线 C:
2

(1)点 A、 P 满足 AP ? ?2FA .当点 A 在抛物线 C 上运动时,求动点 P 的轨迹方程; (2)在 x 轴上是否存在点 Q ,使得点 Q 关于直线 y ? 2 x 的对称点在抛物线 C 上?如果存在,求所有满足 条件的点 Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.

??? ?

??? ?

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