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数学(理)一轮教学案:第十章第3讲 抛物线及其性质 Word版含解析


第 3 讲 抛物线及其性质 考纲展示 命题探究 考点一 抛物线的标准方程 1 抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的 点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的 准线. 2 抛物线的标准方程 顶点在坐标原点,焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为: y2=2px(p>0); 顶点在坐标原点,焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为: y2=-2px(p>0); 顶点在坐标原点,焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为: x2=2py(p>0); 顶点在坐标原点,焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为: x2=-2py(p>0). 注意点 定义的理解和方程中 p 的意义 (1)定义的实质可归纳为“一动三定”,一个动点,设为 M;一 个定点 F,叫做抛物线的焦点;一条定直线 l,叫做抛物线的准线; 一个定值,即点 M 到点 F 的距离和它到直线 l 的距离的比值等于 1. (2)p 的几何意义是焦点到准线的距离. 1.思维辨析 (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一 定是抛物线.( ) (2)方程 y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线,且其 ?a ? a 焦点坐标是?4,0?,准线方程是 x=-4.( ? ? ) ) ) (3)抛物线就是一元二次函数的图象.( 答案 (1)× (2)× (3)× 2.经过点 P(16,-4)的抛物线的标准方程为( A.y2=x 或 x2=-64y D.y2=x 答案 解析 A D.x2=-64y B.y2=x 或 y2=-64x 当抛物线的开口向右时,抛物线的方程为 y2=2px(p>0), 1 代入点 P(16,-4)得:p=2,∴y2=x;当抛物线的开口向下时,抛 物线的方程为 x2=-2py(p>0),代入点 P(16,-4)得:p=32,∴x2 =-64y;综上所述,y2=x 或 x2=-64y. 3.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方 程是( ) B.y2=8x D.y2=4x A.y2=-8x C.y2=-4x 答案 解析 B p 由准线方程 x=-2 得-2=-2,且抛物线的开口向右(或 焦点在 x 轴的正半轴),所以 y2=2px=8x. [ 考法综述 ] 四种不同的抛物线的标准方程形式是考查重 点,一种是求抛物线的方程,另一种是根据抛物线的方程研究它的几 何性质.与抛物线定义有关的最值、轨迹问题及焦点弦问题. 命题法 抛物线的定义及方程 典例 (1)点 M(5,3)到抛物线 y=ax2 的准线的距离为 6, 那么抛 物线的标准方程是( 1 A.x2=12y 1 C.x2=-36y ) 1 1 B.x2=12y 或 x2=-36y D.x2=12y 或 x2=-36y (2)抛物线 y2=2x 上的两点 A、B 到焦点的距离之和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离是________. 1 [解析] (1)将 y=ax2 化为 x2=ay, 1 当 a>0 时,准线 y=-4a, 1 1 1 由已知得 3+4a=6,所以a=12,所以 a=12. 1? ? 1 当 a<0 时,准线 y=-4a,由已知得?3+4a?=6, ? ? 1 1 所以 a=-36或 a=12(舍). 所以抛物线方程为 x2=12y 或 x2=-36y,故选 D. ?1 ? 1 (2)抛物线 y2=2x 的焦点为 F?2,0?,

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