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2015艺术生高考数学复习学案(一)


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2015 艺考系列---美术生专版

放下画笔解方程
崔一民艺术类数学教材
{新课标人教 A 版和北师大版} 120 页超权威美术类完整版 典型试题 举一反三 理解记忆 学练衔接 {尚金榜教材系列}
第一部分:函数(一二指对幂)1--第二部分:三角函数与三角行

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§1 集合(1) 【考点及要求】了解集合含义,体会“属于”和“包含于”的关系,全集 与空集的含义 【基础知识】 集合中元素与集合之间的关系: 文字描述为 和 常见集合的符号表示:自然数集 有理数集 集合的表示方法 1 实数集 2 3 正整数集 整数集 和 符号表示为

集合间的基本关系:1 相等关系:A ? B且B ? A ? _________ 2 子集:A 是 B 的子集,符号表示为 ______ 或 B ? A 示为 _____ 或 ____ 不含任何元素的集合叫做 任何集合的子集,是任何非空集合的 【基本训练】 1.下列各种对象的全体,可以构成集合的是 (1) 某班身高超过 1.8m 的女学生; (2)某班比较聪明的学生; (3)本 书中的难题 (4)使 x 2 ? 3x ? 2 最小的 x 的值 2. 用适当的符号 (?,?, ?, ?, ?) 填空:
? ___ Q;

3 真子集: A 是 B 的真子集,符号表

,记作

,并规定空集是

?3.14? ____ Q ;

N ___ N * ;

? x x ? 2k ? 1, k ? Z ? ____ ?x x ? 2k ? 1, k ? z?

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3.用描述法表示下列集合: 由直线 y ? x ? 1上所有点的坐标组成的集合; 4.若 A ? B ? B ,则 A ____ B ;若 A ? B ? B 则 A _____ B; A ? B _____ A ? B 5.集合 A ? ? x x ? 3 ? 5? , B ? ? x x ? a? ,且 A ? B ,则 a 的范围是

【典型例题讲练】
k 1 k 1 ? ? ? 例 1 设集合 M ? ? ? x x ? ? , k ? Z ? , N ? ? x x ? ? , k ? Z ? ,则 M _______ N ? 2 4 ? ? 4 2 ?

? ? ? 练习: 设集合 P ? ? ? x x ? ? , k ? Z ? , Q ? ? x x ? ? , k ? Z ? ,则 P ______ Q ? k 3 1 6 ? ? k 6 1 3 ?

例 2 已知集合 A ? ? x ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0, x ? R? , a 为实数。 (1) 若 A 是空集,求 a 的取值范围; (2) 若 A 是单元素集,求 a 的取值范围; (3) 若 A 中至多只有一个元素,求 a 的取值范围;

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? 2 练习:已知数集 P ? ? ?1, , b ? ,数集 Q ? ?0, a ? b, b ? ,且 P ? Q ,求 a , b 的值 a ? b ?

【 【课堂小结】集合的概念及集合元素的三个特性 【课堂检测】 1. 2. 设全集 U ? R, 集合 M ? ? x x ? 1? , P ? ? x x 2 ? 1? ,则 M ______ P 集合 P ? ? x x 2 ? 3x ? 2 ? 0? , Q ? ? x mx ? 1 ? 0? , 若 P ? Q ,则实数 m 的值是 个,真子集个数

3.已知集合 A 有 n 个元素,则集合 A 的子集个数有 有 个

4.已知集合 A= { -1,3,2 m -1 } ,集合 B= { 3, m 2 } .若 B ? A ,则实 数m= .

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5.已知含有三个元素的集合 {a, ,1} ? {a 2 , a ? b, 0}, 求 a2004 ? b2005 的值.

b a

§2 集合(2) 【典型例题讲练】 例 3 已知集合 A ? ? x x 2 ? 3x ? 10 ? 0? (1) (2) (3) 若 B ? A, B ? ? x m ? 1 ? x ? 2m ? 1? ,求实数 m 的取值范围。 若 A ? B, B ? ? x m ? 6 ? x ? 2m ? 1? ,求实数 m 的取值范围。 若 A ? B, B ? ? x m ? 6 ? x ? 2m ? 1? ,求实数 m 的取值范围。

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练习:已知集合 A ? ? x 1 ? ax ? 2? , B ? ? x ? 1 ? x ? 1? ,满足 A ? B ,求实数 a 的取 值范围。

例 4 定 义 集 合 运 算 : A ? B ? ? z z ? xy ( x ? y ), x ? A, y ? B? , 设 集 合
A ? ?0,1? , B ? ?2,3? ,则集合 A ? B 的所有元素之和为

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练 习 : 设 P, Q 为 两 个 非 空 实 数 集 合 , 定 义 集 合 P ? Q ? ?a ? b a ? P, b ? Q? ,
若P ? ?0,2,5?, Q ? ?1,2,6?,则 P ? Q 中元素的个数是

【课堂小结】 :子集,真子集,全集,空集的概念,两集合相等的定义, 元素与集合之间的隶属关系与集合与集合之间的包含关系

【课堂检测】 1. 定 义 集 合 运 算 : A ? B ? ? z z ? xy ( x ? y ), x ? A, y ? B? , 设 集 合

A ? ?1,2?, B ? ?3,4? ,则集合 A ? B 的所有元素之积为

2.设集合 A= ? x 1 ? x ? 2? ,B= ?x x ? a? ,若 A ? B,则 a 的取值范围是 3.若{1,2} ? A ? {1,2,3,4,5}则满足条件的集合 A 的个数是 4.设集合 A ? {1, 2, a}, B ? {1, a2 ? a} ,若 A ? B 求实数 a 的值.

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【课后作业】 : 1.若集合 A ? {x kx2 ? 4x ? 4 ? 0, x ? R} 中只有一个元素,则实数 k 的值为 2.符合 {a} ? ? P ? {a, b, c} 的集合 P 的个数是 3.已知 M ? {y y ? x2 ?1, x ? R}, P ? {x x ? a ?1, a ? R} ,则集合 M 与 P 的关系是 4.若 A ? {x x ? 2k , k ? Z},B={ x x ? 2k ?1, k ? Z} ,C={ x x ? 4k ?1, k ? Z}, a ? A ,
b ? B, 则 a ? b ?

.

5.已知 A ? {x x ? ?1或x ? 5}, B ? {x a ? x ? a ? 4} ,若 A ? ? B,则实数 a 的取值范围 是 . 6.集合 A ? ?x | x 2 ? x ? 6 ? 0 ?, B ? ?x | ax ? 1 ? 0? , 若 B ? A, 求 a 的值。

§3 集合(3) 【考点及要求】了解并掌握集合之间交,并,补的含义与求法 【基础知识】 1 .由所有属于 集合 A 且属于 集合 B 的元素组成 的集合叫做 A 与 B 的
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记作 2 .由所有属于 集合 A 或属于 集合 B 的元素组成 的集合叫做 A 与 B 的 记作 3.若已知全集 U ,集合 A ? U ,则 CU A ? 4.A ? A ? ________ ,A ?? ? _________ ,A ? A ? __________ ,A ?? ? _________
A ? CU A ? _________
A? B _? _



A ? CU A ? _________
_ _ _





A? B





_ A _? , B ?

CU ( A ? B) ? _______________

CU ( A ? B) ? _______________

【基本训练】 1 . 集 合 A ? ?x | x ? ?3或x ? 3? , B ? ?x | x ? 1或x ? 4? , A ? B ? __ _______. 2.设全集 I ? ?1,2,3,4,5?, A ? ?1,4? ,则 CI A ? ______ ,它的子集个数是 3.若 U ={1,2,3,4}, M ={1,2}, N ={2,3},则 (CUM ) ?N ?__________ 4.设 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8} , A ? {3, 4,5}, B ? {4, 7,8}. 则: (CU A) ? (CU B) ?
(CU A) ? (CU B) ?

,

【典型例题讲练】 例 1 已 知 全 集 U ? R, 且 A ? ? x | x ? 1 ? 2? , B ? ? x | x 2 ? 6 x ? 8 ? 0? , 则

(CU A) ? B ? ________

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练习:设集合 A ? ? x x ? 2 ? 2, x ? R? , B ? ? y | y ? ? x 2 , ?1 ? x ? 2? ,则
CR ? A ? B? ? ________

例 2 已知 A ? {x x ? a ? 4} , B ? {x x 2 ? 6x ? 5 ? 0},且 A ? B ? R ,则 a 的取值范 围是 。

练习:已知全集 I ? R ,集合 M ? {x x ? 2} , P ? {x x ? a} 并且 M ? C I P ,那么
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a 的取值集合是



【课堂小结】集合交,并,补的定义与求法

【课堂检测】 1. A ? {?4, 2a ?1, a2} ,B= {a ? 5,1 ? a,9}, 且 A ? B ? {9} ,则 a 的值是 2.已知全集 U,集合 P、Q,下列命题: P ? Q ? P, P ? Q ? Q, P ? (CU Q) ? ?,
(CU P) ? Q ? U , 其中与命题 P ? Q 等价的有

个 种

3.满足条件 ?1,3? ? A ? ?1,3,5? 的集合 A 的所有可能的情况有

4.已知集合 A ? ? x x ? 5? , B ? ? x ? 7 ? x ? a? , C ? ? x b ? x ? 2? ,且 A ? B ? C ,则
a ? _________, b ? _____________

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§4 集合(4) 【典型例题讲练】 例 3 设集合 A ? {x x2 ? 4x ? 3 ? 0}, B ? {x x2 ? ax ? a ?1 ? 0} ,且 A ? B ? A, 求 a 的 值.

练习:设集合 A ? {x x2 ? 4x ? 3 ? 0}, C ? {x x2 ? mx ?1 ? 0}, 且 A ? C ? C, 求 m 的值

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4









M ?{

(x

,? y

)? y

, 1 ? x 2

(? x

N ? {( x, y) x2 ? y2 ? 4 y ? 0, x, y ? R} ,

那么 M ? N 中元素为

.

练习:已知集合 M ? {( x, y) x 2 ? y 2 } ,集合 N ? {( x, y) x ? y 2 } ,那么
M ?N =

.

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【课堂小结】集合交,并,补的定义及性质; 【课堂检测】

点集

1.设全集 U= ?2,3, a 2 ? 2a ? 3? ,A= ?2, b? ,C U A= ?5? ,则 a =
b=





2.设 A ? ?( x, y) | 4x ? 2 y ? 0? , B ? ?( x, y ) 2 x ? 3 y ? 1? ,则 A ? B ? ________

xx | 2? x 4 ?0 3. 设 A ??

? ,B ? ? x | x

2

? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0? 且 A ? B ? B , 求实数 a 的

值.

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【课后作业】 1 . 设 集 合 A ? ?( x, y ) y ? ax ? 1? , B ? ?( x, y ) y ? x ? b? , 且 A ? B ? ?( 2 , 5 ?), 则
a ? __________, b ? _________

2. 50 名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有 40 人,化学实验做得正确得有 31 人,两种实验都做错得有 4 人,则这两种 实验都做对的有 人. 3.已知集合 A = {2, 3,a 2 ? 4a ? 2} ,B= {0, 7, 2 ? a,a 2 ? 4a ? 2} ,A∩B={3,7}, 求 a的值及集合A ? B

4.已知集合 A ? ?x | x 2 ? 1 ? 0?,B= x x2 ? 2ax ? b ? 0? ,若 B ? ? ,且 A ? B ? A 求实数 a,b 的值。

?

§5 函数的概念(1) 【考点及要求】了解函数三要素,映射的概念,函数三种表示法,分段函 数 【基础知识】
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函数的概念: 映射的概念: 函数三要素: 函数的表示法: 【基本训练】 1. 2. 已知函数 f ( x) ? ax ? b ,且 f (?1) ? ?4 , f (2) ? 5, 则f (0) ? _________ 设 f : x ? x2 是集合 A 到 B (不含 2 )的映射,如果 A ? ?1,2? ,则

A ? B ? ________

3. 4. 5.

函数 y ? 4 ? x2 的定义域是 函数 y ? log2 x?1 (3x ? 2) 的定义域是 函数 y ? x2 ? 3x ? 4, x ?[2, 4) 的值域是
3 x

6. y ? 的值域为______________________ ; y ? 2 x 的值域为 ______________________; y ? log2 x 的值域为_________________;
y ? sin x 的值域为______________________; y ? cos x 的值域为

_________________; y ? tan x 的值域为______________________。 【典型例题讲练】 例 1 已知: f ( x ? 1) ? 2x2 ? 1 ,则 f ( x ?1) ? __________

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练习 1:已知 f (3x ? 1) ? 9x2 ? 6x ? 5 ,求 f ( x)

练习 2:已知 f ( x) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4x ?1 ,求 f ( x) 的解析式

例 2 函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 ? log 2 ( x ? 2) 的定义域是

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练习:设函数 f ( x) ? ln

1? x x 1 , 则函数 g ( x) ? f ( ) ? f ( ) 的定义域是 1? x 2 x

【课堂小结】 :函数解析式 定义域

【课堂检测】 1.下列四组函数中,两函数是同一函数的有 (1)?(x)=
x2



与?(x)=x;

(2) ?(x)= ( (4) ?(x)=

x ) 2 与?(x)=x x2

(3) ?(x)=x 与?(x)= 3 x 3 ;

与?(x)=

3

x3

;

?1 x ? 1 ( x ? 0) ? ?2 2.设 f ( x) ? ? ,则 f[f(1)]= 1 ? ( x ? 0) ? ?x

3 .函数 y=f(x) 的定义域为 [-2, 4]则函数, g(x)=f(x)+f(-x)的定义域 为 。

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2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为 2? x 2 x 2 5.已知: f ( x ? 1) ? x ,则 f (2) ? _________

4.设 f ( x) ? lg

§6 函数的概念(2) 【典型例题讲练】 例 3 求下列函数的值域 (1) y ? 4 ? 3 ? 2 x ? x 2 (2) y ? 2x ? 1 ? 2x (3) y ? sin 2 x ? 4 cos x ? 1

练习:求下列函数的值域 (1) y ? 2x ? 5 ? 15 ? 4x (2) y ? 2x ? 1 ? 13 ? 4x (3) y ? x ? 1? x2

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例4

求下列函数的值域
1? x 2x ? 5

(1) y ?

(2) y ?

3x x ?4
2

练习: 求下列函数的值域 (1) y ?
1? 2x 1? 2x

(2) y ?

x2 ? x ? 3 x2 ? x ?1

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【课堂小结】 :求函数的值域常用的方法:直接法、配方法、换元法、反 函数法、判别式法 【课堂检测】 1.函数 y ? 2.函数 y ? 3.
2x ?1 的值域是 3x ? 1

2x 的值域是_________ 2x ?1

数 y ? x ? 1? 2x 的值域是

4.函数 y ? sin2 x ? 3sin x ? 4 的值域是 5.函数 y ?
x2 ? 2 x ? 3 的值域是 x2 ? x ? 1

【课后作业】 : 1.狄利克莱函数 D(x)=

?

1,x为有理数 ,则 0,x为无理数

D ?D(x)? =

.

2.函数 f ( x) ? log 1 ( x-1) 的定义域是
2

3.函数 y ?

x ?1 x ?1

的值域为

4.设函数 y ? x2 ? 4x ? 3, x ?[1, 4] ,则 f ( x) 的最小值为
( x ? 0) 2 5.函数 f(x)= ? ,若 f(a)<1,则 a 的取值范围是 ? ? x ? 2 ( x ? 0)
x ?1

?

6 . 已 知 函 数 f ( x) 是 一 次 函 数 , 且 对 于 任 意 的 t ? R , 总 有
3 f (t? 1? ) f 2 t? ( ? 1 ) t ?求 2 f( 1x) 7的表达式 ,

§7 函数的性质(1)
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【考点及要求】 理解单调性, 奇偶性及其几何意义, 会判断函数的单调性, 奇偶性 【基础知识】 1.函数单调性:一般地,设函数 f ( x) 的定义域为 A ,区间 I ? A ,如果对 于区间 I 内任意两个自变量 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 时,①若
f ( x) 在区间 I 上是增函数,



②若

则 f ( x) 在区间 I 上是增函数

2.若函数 f ( x) 在区间 I 上是增函数或减函数,则称函数 f ( x) 在这一区间具 有(严格的) 区间 I 叫做 f ( x) 的 3 . 偶 函 数 : 如 果 对 函 数 f ( x) 的 定 义 域 内 有 对称。 奇 函 数 : 如 果 对 函 数 f ( x) 的 定 义 域 内 有 对称。 【基本训练】 1.偶函数 y ? x 2 ? 1 在(0,+ ? )上为单调 调
1 x



x 都

,那么称函数 f ( x) 是偶函数。其图象关于

x 都

,那么称函数 f ( x) 是奇函数。其图象关于

函数, ( ? ? ,0)上为单 函数, ( ??,

函数,奇函数 y ? 在(0,+ ? )上为单调 函数。
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0)上为单调

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2.函数 y ? log2 x 在(0,+ ? )上为单调 + ? )上为单调 调 函数;

函数,函数 y ? x 在(0,

函数,则函数 y ? x ? log2 x 在(0,+ ? )上为单

3.函数 y ? x 2 在(0,+ ? )上为单调 上为单调

函数,函数 y ? x 在(0,+ ? ) 函数; 必

函数,函数 y ? ? x 在(0,+ ? )上为单调

4.若奇函数 y ? f ( x) 的图象上有一点(3,—2) ,则另一点

在 y ? f ( x) 的图象上;若偶函数 y ? f ( x) 的图象上有一点(3,—2) ,则另 一点 必在 y ? f ( x) 的图象上;

【典型例题讲练】 例 1 已知函数 f ( x) ? 的结论
3x ( x ? 0) 试确定函数 f ( x) 的单调区间, 并证明你 x ? x ?1
2

练习 讨论函数 f ( x) ? x ? ( x ? 0) 的单调性

3 x

例 2 若函数 y ? log2 ( x 2 ? ax ? 3a) 在[2,+ ? ) 是增函数,求实数 a 的范围
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练习: 已知函数 f ( x) ?

ax ? 1 在区间 (?2, ??) 上是增函数,求 a 的范围 x?2

【课堂小结】1、函数单调性的定义 的单调性 【课堂检测】 1. 2. 3.

2、单调区间

3、复合函数

数 y= log 1 (x2-3x+2)的单调递减区间是
2

1 2 函数 y ? ( ) x ? x 的单调递增区间是 3

若 3 x ? 3? y ? 5? x ? 5 y 成立,则 x ? y _____ 0

4.函数 f(x)=x2-2ax-3 在区间[1,2]上是单调函数,求 a 的范围
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§8 函数的性质(2) 【典型例题讲练】 例 3 判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? ( x ? 1)
1? x 1? x

(2) f ( x) ? 3 ? x 2 ? x 2 ? 3

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练习:判断下列函数的奇偶性 (1) y ? x sin x ; (2) y ?
2 ?1 2 ?1
x

例 4 若函数 f ( x) ? log a ( x ? x 2 ? 2a 2 ) 是奇函数,则 a ? __________

练习 已知函数 f ( x) ?

a2 x ? a ? 2 是定义在实数集上的奇函数,求 a 的值 2x ?1

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【课堂小结】1、函数奇偶性的判断; 2、函数奇偶性的应用

【课堂检测】 1 判断函数奇偶性: (1) f ( x) ? x ?1 ? x ?1 (2) f ( x) ? lg( x ? x2 ? 1)

5 px 2 ? 3 2.若函数 f ( x) ? 是奇函数,且 f (2) ? ,求实数 p, q 的值。 2 3x ? q

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【课后作业】 1.函数 y ? f ( x) 是定义在(—1,1)上奇函数,则 f (0) ? ;

2. 知 f(x) 是 实 数 集 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 [ 0 , + ? 上 ) 是增函数,则
f ( - 2 ) ,? f ( - ) ,的大小关系 f(3)

是 3.若函数是奇函数,当 x<0 时,f(x)的解析式是 f(x)=x(1-x),则当 x>0 时,f(x)的解析式是 4.函数 f (x) ? x 和 g(x) ? x(2 ? x) 的递增区间依次是 5.定义在(-1,1)上的函数f(x)是奇函数,并且在(-1,1) 上f(x)是减函数,求满足条件f(1-a)+f(1-a2)<0的 .

a取值范围.

§9 指数与对数(1) 【考点及要求】理解指数幂的含义,进行幂的运算,理解对数的概念及运 算性质 【基础知识】
a n ? _______(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
m

a

?

m n

? _______(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

0 的正分数指数幂是
as ? at ? ____(a ? 0, s, t ? Q) (ab)t ? ____(a ? 0, b ? 0, t ? Q)

,0 的负分数指数幂无意义。
(as )t ? ____(a ? 0, s, t ? Q)

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如果 a(a ? 0, a ? 1) 的 b 次幂等于 N ,即 a b ? N ,那么就称数 b 叫做 记作: log a N ? b ,其中 a 叫做对数的
aloga N ? _____



, N 叫做对数的 换底公式: logb N ? _________
log a M ? __________ N

loga an ? ____(a ? 0, a ? 1 )

若 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 那么 loga (MN ) ? _________
loga M n ? __________

logam M n ? _____________

【基本训练】 1. ( 2 a6 )4 ? ________ 2.
3

a 2 b ? 3 ab2 ? __________

3. ?lg 2?2 ? lg 2 ? lg 50 ? lg 25= __________ ___ 4. log (2? 3) (2 ? 3) ? ___________

【典型例题讲练】 例1
a a
2 3

b

1 ? 23

?a b ? ? = __________ ___ ?? ? b a ? ? b ?
?1 ?1

?

2 3

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1 ?1 ( 4ab?1 )3 2 练习: ( ) ? ? _______________ 1 4 ?2 3 ?3 2 0.1 (a b )

例 2 已知 a 2 ? a 2 ? 3 ,求下列 (1) a ? a ?1

1

?

1

(2) a2 ? a?2 的值。

练习:已知 x ? x ? 3 ,求

1 2

?

1 2

x ? x ?3 的值 x 2 ? x ?2 ? 2

3 2

?

3 2

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【课堂小结】指数的概念及运算 【课堂检测】 1. ( 6 3 a9 )4 ? __________ 2. (?2003) 0 ? 80.25 ? 4 2 ? (3 2 ?
3)6 ? ( 2
4 2 )3

16 ? -4× ? ? ? ? 49 ?

?

1 2

3. 10a ? 2,10b ? 3,10c ? 5, 则103a?2b?c ? _______ 4.若 m ? m ? 18 ,则 m ? m ? __________
?1

1 2

?

1 2

m ?m

1 2

?

1 2

? __________

§10 指数与对数(2) 【典型例题讲练】 例 3 log2
7 1 12 42 ? log2 ? log2 ? 1 = __________ ____ 48 2

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lg 2 3 ? lg 9 ? 1(lg 27 ? lg8 ? lg 1000) 练习: lg 0.3lg1.2

例 4 已知 x, y, z 为正数, 3 x ? 4 y ? 6 z

求使 2 x ? py 的 p 的值;

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练习:已知 x, y, z 为正数, 3 x ? 4 y ? 6 z

求证

1 1 1 ? ? 2y z x

【课堂小结】 : 对数的概念及运算 【课堂检测】 1. (lg 2)2 ? lg 20? lg 5 = 2. log 3.
a

1 ? lg ? lg 25 ? 4 a a
3 2

a2

2 lg 2 ? lg 3 ? __________ _____ 1 1 1 ? lg 0.36 ? lg 8 2 3
1 a 1 b

4.已知 2a ? 5b ? 10 ,则 ? ? ______________

【课后作业】
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1.设 y1 ? 4 0.9 , y 2 ? 8 0.48 , y3 ? ( ) ?1.5 ,则 y1 , y 2 , y3 的大小关系为 __________ ____ 2. 52 log 3 ? log4 32 ? log3 (log2 8) =
5

1 2

3.

log8 9 的值为 log 2 3

4.

log5 2 ? log49 81 ? 1 3 log25 ? log7 4 3
2 5

5.若 log a <1, 则 a 的取值范围是

§11 指数函数图象和性质(1) 【考点及要求】 : 1.理解指数函数的概念和意义;理解指数函数的性质,会画指数函数的 图象. 2.了解指数函数模型的实际案例, 会用指数函数模型解决简单的实际问 题 【基础知识】 : (1) 一 般 地 , 函 数 __________________ 叫 做 指 数 函 数 , 其 中 x 是 ________________, 函数的定义域是_______________________________. (2)一般地,指数函数的图象与性质如下表所示:
a ?1 0 ? a ?1

图象
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定义域 值域 (1)过定点( )

(2)当 x ? 0 时, __________; (2)当 x ? 0 时,__________; 性质
x ? 0 时___________. x ? 0 时__________.

(3)在(

)上是

(3)在(

)上是

______________

_______________

(3)复利公式:若某种储蓄按复利计算利息,如果本金为 a 元,每期利率 为 r ,设存期是 x 的本利和(本金+利息)为 y 元,则 y = 【基本训练】 : 1.
1 y ? ( ) x?2 +2 2

.

的定义域是_____________, 值域是______________, 在定

义域上,该函数单调递 _________ . 2.已知 f ( x) ? a ? x (a ? 0, a ? 1) ,当 a ? (0,1) 时, f ( x) 为 数或者减函数) ;当 a ? (0,1) 且 x ? 3.若函数 y ? a ? x?1 ? 3 的图象恒过定点 4. (1)函数 y ? ( 1 ) x 和 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图象关于
a

(填写增函

时, f ( x) >1. . _ 对称. 对称.

(2)函数 y ? a x 和 y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 的图象关于 5.比较大小 230.5 ,150.5 ________________. 【典型例题讲练】 例1 比较下列各组值的大小: (1) 0.40.2 ,20.2 ,21.6 ;

(2) a ?b , a b , a a 其中 0 ? a ? b ? 1 .

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练习

比较下列各组值的大小; (2) 4.1 5 ,3.8 5 ,1.9 5 .
2 2 ? 2

(1) 0.32 ,2 0.3 ;

例2

已知函数 y ? 4 x ? 3 ? 2 x ? 3 的值域为 ?1,7? ,求 x 的范围.

练习

函数 y ? a x 在 [0,1] 上的最大值与最小值的和为 3,求 a 值.

例3

求函数 y ? a x ?2 x?3 的单调减区间.
2

练习

函数 f ( x) ? 0.3x ?2 x?3 的单调减区间为
2

________ .

【课堂小结】 : 【课堂检测】
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1. (?0.72) 3 与 (?0.75) 3 的大小关系为 2. y ? ( 1 ) ?|x| 的值域是
4

3 . y ? ( 1 ) x ? x 的单调递减区间是
2

3

【课后作业】 : 1. 指数函数 y ?
f ( x) 的图象经过点( ? 2,4 ) ,求 f ( x) 的解析式和 f (?3) 的值.

2. 设 a ? 0且a ? 1 , 如果函数 y ? a 2 x ? 2a x ? 1 在 [?1,1] 上的最大值为 14, 求 a 的值. §12 指数函数图象和性质(2) 【典型例题讲练】 例1 要使函数 y ? 1 ? 2 x ? 4 x a 在 x ? ?? ?,1? 上 y ? 0 恒成立.求 a 的取值范围.

练习

已知 2 x ? x ≤ (
2

1 x?2 ) ,求函数 y ? 2 x ? 2 ? x 的值域. 4

空白处就是笔记处 ,合理利用 37

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例2

已知函数 f ( x) ? 3x , 且 log3 18 ? a ? 2, g ( x) ? 3ax ? 4 x 的定义域为[ ? 1,1 ].

(1) 求 g ( x) 的解析式并判断其单调性;( 2) 若方程 g ( x) ? m 有解,求 m 的取值范

围.

练习

若关于 x 的方程 25? x?1

? 4?5

? x ?1

? m ? 0 有实根,求 m 的取值范围.

空白处就是笔记处 ,合理利用 38

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【课堂小结】 联系指数函数的单调性和奇偶性等性质进行综合运用. 【课堂检测】 1.求下列函数的定义域和值域: (1) y ? 2
1 x?4

( 2 ) y ? ( )? x

2 3

(3)

y ? 4x ? 2x?1 ? 1

【课后作业】
1 1 求函数 y ? ( ) 2
? x 2 ?3 x ? 4

的单调区间.
空白处就是笔记处 ,合理利用 39

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2 求函数 f ( x) ? ?( ) 2 x ? 4( ) x ? 5 的单调区间和值域.

1 2

1 2

§13 对数函数的图象和性质(1) 【考点及要求】 1.了解对数函数模型的实际案例 ,理解对数函数的概念 ;理解对数函数的 性质,会画指数函数的图象. 2.了解指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? loga x 模型互为反函数 ( a ? 0, a ? 1 ) (不 要求讨论一般情形的反函数定义,也不要求求已知函数的反函数),会用指 数函数模型解决简单的实际问题. 【基础知识】 1 一般地,我们把函数____________叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数 的定义域是_______ 2.对数函数的图象与性质
空白处就是笔记处 ,合理利用 40

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a ?1

0 ? a ?1

图象 定义域 值域 (1)过定点( (2) 当 )
x ?1

(2)



x ?1

时,________________ 性质 当
0 ? x ?1

时,__________________ 时 当
0 ? x ?1



________________ (3)在______________是 增函数 【基本训练】

___________________ (3)在_____________是减函 数

1. y ? 3 ? log 4 ( x ? 5) 的定义域为 __________ _ ,值域为 __________ _ . 在定义域 上,该函数单调递_______. 2.(1)函数 y ? a x 和 y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 的图象关于 (2)函数 y ? loga x 和 y ? log 1 x(a ? 0, a ? 1) 的图象关于
a

对称. 对称. .

3.若 log2 m ? log2 n ? 0 ,则实数 m 、 n 的大小关系是 4.函数 y ? 2 ? log2 x( x ? 1) 的值域是 【典型例题讲练】 例1 求函数 y ? log0.1 (2x 2 ? 5x ? 3) 的递减区间.
空白处就是笔记处 ,合理利用 41

.

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练习

求函数 y ? log 1 (3 ? 2 x ? x 2 ) 的单调区间和值域.
2

空白处就是笔记处 ,合理利用 42

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例2

已知函数 f ( x) ? loga

x?b (a ? 0且a ? 1, b ? 0) . x ?b

(1)求 f ( x) 的定义域; (2)讨论 f ( x) 的奇偶性; (3)讨论 f ( x) 的单调性.

练习

求下列函数的定义域: (2) y ? log (3 x _ 1) (
2x ? 3 ). x ?1

(1) y ? log( x?1) (16 ? x 2 ) ;

【课堂小结】熟悉对数函数的基本性质的运用 【课堂检测】 1. 函数 _____ . 2. y ? lg x ? lg(5 ? 3x) 的定义域是
空白处就是笔记处 ,合理利用 43

f ( x) ? l og ( x 2 ? 2x ? 3) a
2

当 x ? (??,?1) 时为增函数,则 a 的取值范围是

.

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3. 若 函 数 ___.

f ( x) ? log a ( x ? 1)(a ? 0, a ? 1) 的 定 义 域 和 值 域 都 是 [0,1]

,则 a 等于

【课后作业】 1.已知 f ( x) ? log4 (2x ? 3 ? x2 ), (1) 求函数 f ( x) 的单调区间; (2)求函数 f ( x) 的最大 值,并求取得最大值时的 x 的值.

2.已知函数 f ( x) ? log a 2? x

2? x

(0 ? a ? 1) ,判断 f ( x) 的奇偶性.

§14 对数函数的图象和性质(2) 【典型例题讲练】 例1 已知函数 f ( x) ? lg[(a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 1] .

(1) 若 f ( x) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围;(2)若 f ( x) 的值域为 R ,求

实数 a 的取值范围.

空白处就是笔记处 ,合理利用 44

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练习

设 0 ? a ? 1, 函数 f ( x) ? loga (a 2 x ? 2a x ? 2), 求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围.

例2

已知函数 y ? loga (a 2 x) ? loga

2

1 (ax) ,当 x ?[2,4] 时, y 的取值范围是 [? ,0] , 8

求实数 a 的值.

练习

已知函数 f ( x) ? log3 x ? 2( x ?[1,9]) ,求函数 y ? [ f ( x)] 2 的最大值.

空白处就是笔记处 ,合理利用 45

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【课堂小结】 【课堂检测】 1.已知函数 f ( x) ?
1 ? 10 x 1? x ? lg . x 1 ? 10 1? x

(1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)判断函数 f ( x) 的奇偶性, 并证明你的结论.

2. 若函数 y ? loga ( x ? b)(a ? 0, a ? 1) 的图象过两点 (?1,0) 和 (0,1) ,则 a =_____ ,
b =_____.

3.求函数 f ( x) ? (log2

x x )(log 2 ) 的最小值. 4 2

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【课后作业】 1.已知 lg(7 ? 2 x ? 8) ? log 10 2 x ,求 f ( x) ? log 1 x ? log 1 x 的最小值及相应 x 的值.
2 2

4

2.若关于自变量 x 的函数 y ? loga (2 ? ax) [0,1] 上是减函数,求 a 的取值范围. §15 函数与方程(1) 【考点及要求】 1.了解幂函数的概念,结合函数 y ? a x , y ? x 2 , y ? x 3 , y ? 它们的单调性和奇偶性. 2.熟悉二次函数解析式的三种形式,掌握二次函数的图形和性质. 3.了解二次函数的零点与相应的一元二次方程的根的联系. 【基础知识】 1. 形如 ________________ 的函数叫做幂函数,其中 ________ 是自变量, ________ 是 常 数 , 如 ___________
y ? x x , y ? x2 , y ? x3 , y ? 2x , y ? 1 x2
1 1 , y ? x2 x

的图象,了解

,其中是幂函数的有

____.
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2.幂函数的性质:(1)所有幂函数在_______________都有定义,并且图象 都过点 (1,1) ,因为 y ? 1a ? 1,所以在第________象限无图象;(2) a ? 0 时,幂 函数的图象通过___________,并且在区间 (0,?? ) 上__________, a ? 0 时, 幂函数在 (0,?? ) 上是减函数,图象 ___________ 原点,在第一象限内以 ___________作为渐近线. 3. 一 般 地 , 一 元 二 次 方 程
y ? ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的值为
ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)

的 __________ 就 是 函 数

0 时的自变量 x 的值, 也就是_______________.

因此,一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根也称为函数 y ? ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的 ________. 二 次 函 数 的 解 析 式 有 三 种 常 用 表 达 式 :(1) 一 般 式 _________________________ ; (2) 顶点式 _________________________ ; (3)零点式______________________________. 4.对于区间 [a, b] 上连续不断且 f (a) ? f (b) ? 0 的函数 y ? 数
f ( x) f ( x) ,通过不断地把函

的 零 点 所 在 的 区 间 __________ , 使 区 间 的 两 端 点 逐 步 逼 近

__________,进而得到零点近似值的方法叫做__________. 【基本训练】 1.二次函数 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 2 的顶点式为________;对称轴为________ 最小 值是______. 2.求二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 在下列区间的最值 ①
x ?[2,4]



y min ?

______ ,

y max ?

______ ; . ②

x ?[0,2.5]



y min ?

______ ,

y max ? ______;
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③ x ? [?2,0] , y min ? _______, y max ? ______. 3. 若 函 数
y ? x 2 ? (a ? 2) x ? 3, x ?

[a , b] 的 图 象 关 于 直 线

x ?1

对称,则

b?_______ ._ _

4. 函数

f ( x) ? x m

2

?3 m

(m ? Z ) 是幂函数,当 x ? 0



f ( x) 是减函数,则 m 的值是

______. 5. 若
f ( x) ? (m ? 1) x 2 ? 2mx ? 3 为偶函数,则 f ( x)

在区间 (?5,?2) 上的增减性为

_______. 【典型例题讲练】 例1 比较下列各组中两个值的大小
4 5 4 5

(1) 0.4 , 0.5 ;

(2) (?0.44) 3 , (0.45) 3 .

?

1

?

1

练习

比较下列各组值的大小; (2) 4.15 ,3.8
2 ? 2 3

(1) 0.32 , log2 0.3,20.3 ;

, (?1.9)

?

3 5



例2

已知二次函数 f ( x) 满足 f (2 ? x) ?

f ( 2 ? x) , 其图象交 x 轴于 A(?1,0) 和 B 两

点,图象的顶点为 C ,若 ?ABC 的面积为 18,求此二次函数的解析式.

练习

二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 满足 f ( x ? 2) ?

f (2 ? x), 且函数过 (0,3) ,

且 b 2 ? 2ac ? 10a 2 ,求此二次函数解析式
空白处就是笔记处 ,合理利用 49

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例 3 函数 f ( x) ? x 2 ? 4x ? 4 在区间 ?t , t ? 1? ] ( x ? R) 上的最小值为 g (t ) , (1)试写出 g (t ) 的函数表达式; (2)作出函数 g (t ) 的图象并写出 g (t ) 的最小值.

练习

设 f ( x) ? x 2 ? bx ? c ,且 f (?1) ?

f (3) ,比较 f (?1) 、 f (1) 、 c 的大小.

【课堂小结】 【课堂检测】 1. 二次函数 f ( x) 满足 f (2) ?
f (?1) ? ?1, 且 f ( x) 的最大值是

8,求此二次函数.

2. 已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2ax ? 1 ? a 在 0 ? x ? 1 时有最大值 2,求 a 的值. 【课后作业】 1. 已知 0 ? x ? 2, 求函数 f ( x) ? 4
x? 1 2

? 3 ? 2 x ? 5 的最大值与最小值.

2. 已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2ax ? 1 ? a 在 0 ? x ? 1 时有最大值 2,求 a 的值. §16 函数与方程(2) 【典型例题讲练】 例1 (1)若方程 x 2 ? 2mx ? 4 ? 0 的两根均大于 1,求实数 m 的取值范围.

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(2)设 ?、 ? 是关于 x 的方程 x 2 ? ax ? 1 ? 0 的两根,且 0 ? ? ? 1,1 ? ? ? 2 ,求实数 a 的取值范围.

练习

关于 x 的方程 ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 的根都是正实数,求 a 的取值范围.

例2

某种商品在近 30 天内每件的销售价 P (元)与时间 t (天)的函数
t ? 20, (1 ? t ? 24, t ? N ) ? t ? 100, (25 ? t ? 30, t ? N )

关系近似满足 P ? {

,商品的日销售量 Q (件)与时间

t (天)的函数关系近似满足 Q ? ?t ? 40(1 ? t ? 30, t ? N ) ,求这种商品日销售金

额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是 30 天中第几天?

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练习

把长为 12 厘米的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么

这两个正三角形面积之和的最小值是 __________ _

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例 3

已知函数 f ( x) ? 3 x ? x 2 ,问方程 f ( x) ? 0 在区间 [ ?1,0] 内有没有实数解?

为什么?

练习

求方程 2 x 3 ? 3x ? 3 ? 0 的一个实数解.

【课堂小结】 1.一元二次方程的实根分布; 2.了解函数的零点和运用二分法求方程的根. 【课堂检测】 1.点 ( 点 (?2 2 , 1 ) 在幂函数 y ? g ( x) 的图象上, 3,3) 在幂函数 y ? f ( x) 的图象上, 8

试解下列不等式: (1) f ( x) ? g ( x) ; (2) f ( x) ? g ( x) ..

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2.判定下列函数在给定的区间上是否存在零点: (1) f ( x) ? x 2 ? 3x ? 18( x ?[1,8]) ; (2) f ( x) ? x 3 ? x ? 1( x ?[?1,2]) .

【课后作业】 1.已知函数 f ( x) ? x 2 ? (a 2 ? 1) x ? (a ? 2) 的一个零点比 1 大,一个零点比 1 小, 求实数 a 的取值范围.

2.设 x , y 是关于 m 的方程 m 2 ? 2am ? a ? 6 ? 0 的两个实根,求 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 的 最小值. §17 函数模型及应用(1) 【考点及要求】 了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等模型的意义,并能进行 简单应用 【基础知识】
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1.如果在今后若干年内我国国民经济生产总值都保持年平均 9%的增长率, 则 要 达 到 国 民 经 济 生 产 总 值 比 2006 年 翻 两 番 的 年 份 大 约 是 ___.( lg 2 ? 0.3010, lg 3 ? 0.4771, lg109 ? 2.0374 ) 2.在 x 克浓度 a %的盐水中加入 y 克浓度 b %的盐水, 浓度变为 c %, 则 x与 y的 函数关系式为_____________. 3.某旅店有客床 100 张,各床每天收费 10 元时可全部客满,若收费每提 高 2 元便减少 10 张客床租出,则为多获利每床每天应提高收费________ 元. 4. 关于 x 的实系数方程 x 2 ? ax ? 2b ? 0 的一根在区间 (0,1) 上,另一根在区间
(1,2) 上,则 2 a ? 3b 的取值范围为_____________.

【典型例题讲练】 例1 (1)为了得到 y ? 2 x?1 的图象,只需将 y ? 2 x 的图象 (2)将 y ? 例2
f (2 x) 的图象向右平移一个单位,则该图象对应函数为

已知 f ( x) ? x 2 ? 4x ? 3 ,

(1)作出函数 f ( x) 的图象; (2)求函数 f ( x) 的单调区间,并指出单调性; (3)求集合 M ? {m 使方程f ( x) ? mx有四个不相等的实数根 }.

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练习

已知函数 f ( x) ? 1 ? x 2 , g ( x) ? x ? 2. 若方程 f(x+a)=g(x)有两个不同

实根,求 a 的取值范围.

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例3

奇函数 f ( x) 在定义域 (?1,1) 内是增函数, 且 f (1 ? a) ?

求实数 f (1 ? a 2 ) ? 0 ,

a 的取值范围.

练习

解不等式

1 ? x2 ?

1 ?x. 2

【课堂小结】 【课堂检测】 1.某学生离家去学校,为了锻炼身体,一开始跑步前进,跑累了再走余下 的路程.下图中,纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后时间,则下列 四个图中较符合该学生走法的是___

D0

D0

D0

D0

T0 A B T0 C

T0 D

T0



? ?) 2. 已知 f ( x) ? logcos? ( x 2 ? ax ? 3a)(?为锐角且为常数)在[2, 上为减函数,则实
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数 a 的取值范围为_________________. 【课后作业】 1.方程 f ( x) ? x 的根称为 f ( x) 的不动点,若函数 f ( x) ? 且 x1 ? 1000 , xn?1 ? 2. 已知函数
f ( x) ?

x a( x ? 2)

有唯一不动点,

1 ,求 x2005 的值. 1 f( ) xn
x2 ax ? b

( a , b 为常数)且方程

f ( x) ? x ? 12 ? 0 有两个实根为

x1 ? 3, x2 ? 4 .(1) 求函数 f ( x) 的解析式; (2) 设 k ? 1 ,解关于 x 的不等式:

f ( x) ?

(k ? 1) x ? k 2? x

.

3.对于 x ? R ,二次函数 f ( x) ? x 2 ? 4ax ? 2a ? 30(a ? R) 的值均为非负数,求关于 x 的方程
x ? a ? 1 ? 1 的根的范围. a?3

§18 函数模型及应用(2) 【典型例题讲练】 例 1 某村计划建造一个室内面积为 800m2 的矩形菜温室,在温室内,沿 左右两侧与后侧内墙各保留 1 米宽的通道, 沿前侧内墙保留 3 米宽的空地, 当矩形温室的边长各为多少时, 蔬菜的种植面积最大?最大种植面积为多 少?

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例2

某摩托车生产企业, 上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆, 出

厂价为 1.2 万元/辆,销售量为 1000 辆.本年度为适应市场需求,计划提 高产 品档次, 适度增 加投入成 本,若 每辆车投 入成本 增加的比 例为 则出厂价相应提高比例 x (0< x <1), 0.75 x , 同时预计年销售量增加的比例

为 0.6 x ,已知年利润=(出厂价-投入成本)*年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使本年度利润比上年有所增加, 问投入成本增加的比例 x 应在什么范 围内?

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例3

上因特网的费用由两部分组成:电话费和上网费,以前某地区上因

特网的费用为: 电话费 0.12 元/3 分钟; 上网费 0.12 元/分钟.根据信息产 业部调整因特网资费的要求,该地区上因特网的费用调整为电话 0.16 元 /3 分钟;上网费为每月不超过 60 小时,以 4 元/小时计算,超过 60 小时 部分,以 8 元/小时计算. (1)根据调整后的规定,将每月上因特网的费用表示为上网时间(小时)的 函数(每月按 30 天算); (2)某网民在其家庭经济预算中一直有一笔每月上因特网 60 小时的费用开 支,资费调整后,若要不超过其家庭经济预算中的上因特网费的支出,该 网民现在每月可上网多少小时?进一步从经济角度分析调整前后对网民的 利弊.

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【课堂小结】 解应用题的基本步骤:1 审题,明确题意;2 分析,建立数学模型;3 利用 数学方法解答得到的数学模型;4 转译成具体应用题的结论. 【课后作业】 1.某村计划建造一个室内面积为 800 平方米的矩形蔬菜温室,在温室内, 沿左、 右两侧与后侧内墙各保留 1 米的通道, 沿前侧内墙保留 3 米的空地, 当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大值是多少?

2.某城市现有人口总数 100 万人,如果年自然增长率为本 1.2 %,试解答下 列问题 (1)写出该城市人口总数 y (万人)与年份 x (年)的函数关系式; (2)计算 10 年以后该城市的人口总数(精确到 0.1 ) ; (3)计算大约多少年后该城市人口将达到 120 万人. §19 三角函数的有关概念(1) 【考点及要求】
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1.

掌握任意角的概念,弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的

换算. 2. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;会用单位圆中的三角

函数线表示任意角的正弦、余弦和正切。 3. 4. 能判断三角函数值的符号. 能用弧长公式解决一些实际问题.

【基础知识】 1.任意角(正角、负角、零角、锐角、钝角、区间角、象限角、终边 相同角等)的概念;终边相同的角定义。 2.把长度等于 度量角的单位制叫做 的弧所对圆心角叫 1 弧度角;以弧度作为单位来 . 1? = rad,1rad=
?



3.任意角的三角函数的定义:设 ? 是一个任意角, P( x, y) 是 ? 终边上的 任一异于原点的点,则 sin ? ? , cos? ? , tan ? ? .

4.角 ? 的终边交单圆于点 P,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M,则角 ? 的 正弦线用有向线段 5.sin ? 的值在第
tan ?

表示,余弦线用 为正;cos? 在第

表示,正切线呢? 象限及 为正值;

象限及

在第

象限为正值. ,即 l = .扇形面积公式= .

6.弧长= 【基本训练】 1. ? 5700 =

弧度,是第____象限的角; ? ?
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3 5

度,与它有相同

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终 边 的 角 的 集 合 为 __________________ , 在 [ - 2 π , 0] 上 的 角 是 _______。 2.已知 ? 是第三象限角,则 180? ? ? 是第_____象限的角. 3. sin1 ? cos 2 ? tan 3 的结果是 数

4.已知角 ? 的终边过点 P(4,?3) ,则
sin a =_______, cos a =_______, tan a =_______.

5. 函数 y ?

sin x | cos x | tan x 的值域是 ? ? | sin x | cos x | tan x |

【典型例题讲练】 例 1 已知 ? 是第二象限的角,问:(1) 2? 是第几象限的角?(2) ? 是第几
2

象限的角? (3)
? 是第几象限的角? 3

练习:已知 ? 是第一象限的角,则 sin cos
2
cos ? ? sin ?

?

?
2

的值是

数(填正或负) ,

的值是

数(填正或负)

例2

(1)已知角 ? 的终边过点 P(a, ?2a)(a ? 0) ,求 tan ? ,sin ? ? cos ? ;

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( 2 ) 已 知 角 ? 的 终 边 上 有 一 点 P(? 3, ? )(? ? 0) 且 sin ? ?
cos ? , ta ? n.

2 ? ,求 4

练习:已知角 ? 的终边在直线 y ? 2 x 上,求 sin a , cos a

【课堂小结】 1.任意角的概念 2.三角函数的定义 3.三角函数值符号的判断. 【课堂检测】 1.下列各命题正确的是 ( )

A.终边相同的角一定相等 B.第一象限的角都是锐角
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C. 锐角都是第一象限的角 2.若 sin?

D.小于 900 的角都是锐角 是第 象限的角

? cos ? , 且 sin ? ? cos ? ? 0, 则 ?

3.已知角 ? 的终边上一点的坐标为(-4,3) ,则 2 sin ? ? cos ? 的值为 4.已知角 ? 的终边上有一点 A(4t ,?3t )(t ? 0) ,求 2 sin ? ? cos ? 的值

§20 三角函数的有关概念(2) 【典型例题讲练】 例 1 如图, ? ? 30? , ? ? 300? ,OM,ON 分别是角 ? , ? 的终边. (1)求终边落在阴影部分(含边界)的所有角的集合; (2)求终边落在阴影部分且在 ?0 ? ,360? ?上的所有角的集合.
y M x O N

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练习: ( 1 ) 终 边 落 在 第 一 象 限 的 角 的 集 合 可 表 示 为 ( 2 ) 终 边 落 在 为 X ; 轴 上 的 角 的 集 合 可 表 示 ;

( 3 ) 终 边 落 在 坐 标 轴 上 的 角 的 集 合 可 表 示 为 ( 4 ) 终 边 落 在 直 线 为 ; y= - x 。
3 3

上 的 角 的 集 合 可 表 示

(5)已知角 ? 的终边上一点的坐标为( sin 2? , cos 2? ),则角 ? 的最小正值 为( ) A. 5?
6

B. 2?
3

C. 5?
3

D. 11?
6

例2

已知一扇形的中心角是 ? ,所在圆的的半径是 R .

(1)若 ? ? 75? , R ? 12cm, 求扇形的弧长及该弧所在弓形面积; (2) 若扇形的周长是一定值 C (C ? 0) , 当 ? 为多少弧度时 , 该扇形有最大面 积?

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练习:已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,那么这个圆心角所对弧长是 ( ) A .2 【课堂小结】 1. 2. 终边相同角的表示 用弧长公式解决一些实际问题 B. sin 2 C.
2 sin1

D.2 sin1

【课堂检测】 1. 已知 ? ? ,?的终边与 ? 的终边相同, 则β的集合为
6

?



若 β 的 终 边 与 α 的 终 边 关 于 直 线 y=x 对 称 , 则 β 的 集 合 为 。

2.若点 P 在 3 . 角 ( ) A. sin?
tan ?
?

2? 的终边上,且 OP=2,则点 P 的坐标是( 3

, )

为 第 一 或 第 四 象 限 角 的 充 分 必 要 条 件 是

?0

B. sin?

tan ?

?0

C. cos ?
tan ?

?0

D. cos ?
tan ?

?0

4 . 知 扇 形 的 周 长是 6cm , 面 积 是 2cm 2 , 则 扇 形 的 中 心 角 ? 的 弧 度 数 是 ;
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当 ? ? 1 时中心角所对的弦长为 【课后作业】 :



1.若将时钟拨慢 5 分钟,则时针转了 若将时钟拨快 5 分钟,则时针转了

_度; 分针转了_ _度; 分针转了_

___弧度; ___弧度. _

2.若 ? ? 16900 ,?与?的终边相同,且? 3600 < ? < 3600 ,则 ? = 3.设 ? 是第二象限角,则点 P(sin(cos? ),cos(cos ? )) 在第 象限.

4.已知扇形的周长为 8cm,圆心角为 2rad,求该扇形的面积

5.若角β的终边上一点 A(-5,m),且 tanβ=5,则 m= 其它三角函数值.

, 并求β的

思考题: 若 tan(cos ? )cot(sin ? )>0,试指出 ? 所在象限, 并指出 所在象 限.

? 2

§21 同角三角函数的基本关系(1) 【考点及要求】 掌握同角三角函数关系的基本关系. 【基础知识】 同角三角函数关系的基本关系式:
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(1)平方关系: (2)商数关系: (3)倒数关系: 【基本训练】

(? ? (? ? (? ?

) ; ) ; ) ;

1.若 sin ? ? ?0.4 ( ? 是第四象限角) ,则 cos? = 2.若 sin ? ? cos? ? 2 ,则 sin ? cos ? ? 3. (2007 全国卷 1)a 是第四象限角, tan ? ? ? 4.若 0 ? ? ?
?
2

, tan ? = .

5 , 则sin ? ? 12

,则 tan ? ? cot ? 的最小值为

.

2 5 . 若 0 ? 2 x ? 2? , 则 使 1 ? s i n 2x ? c o s 2x 成 立 的 x 的 取 值 范 围 是



) A、 (0, )
4

?

B、 ( ? , ? )

3 4

C、 ( , ? )
4 4

? 5

D、 [0, ] ? [ ? , ? ]
4

?

3 4

【典型例题讲练】 例1 化简(1)
1 ? (sin 4 x ? sin 2 x cos 2 x ? cos 4 x) ? 3sin 2 x ; 2 sin x

(2)

1 ? cos? 1 ? cos? ( ? 为第四象限角) ? 1 ? cos? 1 ? cos?

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例 2 已知 sin ? ? (1)m 的值

m?3 4 ? 2m ? ( ? ? ? ? ) ,求 , cos ? ? m?5 m?5 2 (2) tan ? 的值

例3

求证: sin 2 ? tan? ? cos2 ? cot? ? 2 sin ? cos? ? tan? ? cot?

练习:证明:

tan ? sin ? tan ? ? sin ? ? tan ? ? sin ? tan ? sin ?

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【课堂小结】 : 1. 2. 【课堂检测】
1 5 1 3 2.已知 tan ? ? , 且 ? ? (? , ? ) ,则 sin ? 的值为___________ 2 2 cos x 1 ? sin x ? 3. 求证: 1 ? sin x cos x

1.已知 cos ? ? , 且 tan ? ? 0 ,则 sin ? 的值是

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§22 【典型例题讲练】 例 1 已知 sin ? cos ? ? , 且
1 8

同角三角函数的基本关系(2)

?
4

?? ?

?
2

求 cos? - sin ? 的值

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练 习 : 已 知 ? 是 三 角 形 的 内 角 , 若 sin ? ? cos ? ?
s i2 ? n ? 2 s i?n c o ?s ? 3 c o2 ? s 的值.

1 , 求 5

例2 (1)

已知 tan? ? 2, 求下列各式的值:

2 sin ? ? 3 cos ? ;(2) sin ? cos ? ; (3)2 sin 2 ? ? 3 sin ? cos? ? 4 cos2 ? 4 sin ? ? 9 cos ?

练习:已知 tan? ? 2 , 求(1) 的值
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cos ? ? sin ? 1 ? sin 6 x ? cos 6 x ; (2) sin 2 ? ? sin ? . cos? ? 2 cos2 ? (3) . cos ? ? sin ? 1 ? sin 4 x ? cos 4 x

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例 3.已知 sin ? ,cos? 是方程 4 x2 ? 4mx ? 2m ?1 ? 0 的两个根,
?.

3? ? ? ? 2? ,求角 2

练习:已知关于 x 的方程 4x2 ? 2(m ? 1) x ? m ? 0 的两个根恰好是一个直角三角 形的两个锐角的余弦,求 m 的值.

【课堂小结】 : 1. 2.

【课堂检测】 : 已知 sin ? ? cos ? ? ? (0 ? ? ? ? ) ,则 tan ? ?
1 5

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【课后作业】 : 1.已知 sin ? ? cos ? ? ? , 则 sin ? cos ? ? 2.已知关于 x 的方程 2x 2 ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根为 sin ? 和 cos ? ,? ? (0, ? ) 求 (1) m 的值 (2) 方程的两根及此时θ的值 3.化简 tan ? (cos ? ? sin ? ) ?
sin ? (sin ? ? tan ? ) 的结果是 cos ? ? 1 5 4

思考题: §23 正弦、余弦的诱导公式(1) 【考点及要求】 掌握正弦、余弦的诱导公式 【基础知识】 诱导公式: (1)角 2k? ? ? (k ? Z ), ? ? ? , 2? ? ? , ?? 的三角函数值与角 ? 三角函数值的关 系分别是什么?口诀为: (2)角 ? ? ,
2

?

3? ? ? 的三角函数值与角 ? 三角函数值的关系分别是什么? 2

口诀为: 【基本训练】 1 . tan600? = = = ; cos( ?
17 )? = 3

=

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=

; (2007 全国卷 2)sin2100 = 。

2.已知 sin( 540 ? ? ? ) ? ? ,则 cos(? ? 270? ) ? ___;若 ? 为第二象限角,则

4 5 ? [sin( 180 ? ? ) ? cos(? ? 360? )]2 ? ____. tan( 180? ? ? )

1 π 3.已知 sin(π-α)=log8 ,且α∈(- ,0),则 tanα的值是 4 2 4.设 f ?x? ? a sin??x ? ? ? ? b cos??x ? ? ?,其中 a, b, ? , ? 都是非零实数,如果
f ?2007? ? ?1 ,那么 f ?2008? =

【典型例题讲练】 例1 化简下列各式
? ?
4 4

(1)化简(1) sin(? ? ) ? cos(? ? ) ;
3 sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan( ?? ? ? ) 2 (2) cot(?? ? ? ) sin( ?? ? ? )

π π 练习: sin2( -x)+sin2( +x)= 3 6

.
3? ) 2

例2 已知 ? 是第三象限的角,且 f (? ) ? (1) (2) 化简 f (? ) ; 若 cos( ? ?

sin(? ? ? ) cos( 2? ? ? ) tan( ?? ? cot( ?? ? ? ) sin(? ? ? )

3? 3 ) ? , 求 f (? ) 的值; 2 5
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(3)

若 ? ? ?1860? , 求 f (? ) 的值

练习:已知 cos ? ? , 且 ?

1 3

?
2

? ? ? 0, 求

cot(?? ? ? ) sin(2? ? ? ) 的值 cos(?? ) tan?

【课堂小结】 : 【课堂检测】 1.若 sin ? ? ,且α为第二象限角,则 sin?2? ? ? ? ?
sin ?? ? ? ? ? cos?? ? ? ? ?
4 5

, sin ?? ? ? ? ? ,

, sin ?2? ? ? ? ? , cos?2? ? ? ? ?
1 ,则 sin(2? ? ? ) ? 4

, cos?? ? ? ? ? .

2.若 cos( ? ? ? ?

3.若 cos 130 ? ? a ,则 tan 50 ? 等于





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(A)

1? a2 a

(B) ?

1? a2 a
3 5

(C) ?

a 1? a2

(D)

4.已知 ? ? ? ? 2? , cos(? ? 9? ) ? ? ,求 tan ? 的值. §24 正弦、余弦的诱导公式(2) 【典型例题讲练】 例 1 判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? x sin x (2) g ( x) ?
1 ? cos x sin x

练习: (1) f ( x) ? 1 ? cos x

(2) g ( x) ? sin x cos x ? 1

例2

函数 f ( x) ? ax ? b sin x ? 1, 若f (5) ? 7, 则f (?5) ?

练习:函数 f ( x) ? ax2 ? b cos x ? 3 ,若 f (? 2 ) ? 5 ,则 f ( 2 ) ? 例3 1 已知 cos(75°+α)= , 其中α为第三象限角, 求 cos(105°-α) 3
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+sin(α-105°)的值.

例 4 已知 sin(π-α)-cos(π+α)= 求 sinα-cosα与 sin3(

2 π ( <α<π ) , 3 2

π π +α)+cos3( +α)的值. 2 2

【课堂小结】 【课堂检测】 1. 已知 cos(π+θ)=- tanθ= 2.函数 f ( x) ?| sin x | ? cos x ? 3 的奇偶性为 3.化简:
1 ? 2sin380? cos380? =

4 , θ是第一象限角, 则 sin (π+θ) = 5



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3 πx πx 4.已知 x∈(1, ),则|cosπx|+|cos |-|cosπx+cos |的值 2 2 2 是 A.0 -1 ( ) B.1 C.2 D.

5.函数 f ( x) ? ax ? bxcos x ? 5, 若f (?1) ? 10, 则f (1) ? 【课后作业】 1. tan300°+sin450°的值为 2.若α是第三象限角,则
1 ? 2 sin(? ? ? ) cos(? ? ? )

=

.

3.若 cos165°=a,则 tan195°等于 = 4 = . tan(-1500)cos(-5700)cos(-11400)tan(-2400) sin(-6900) .

5.已知 cos ? ? ? ,α是第二象限角,且 sin(? ? ? ) ? 1,求 cos(2? ? ? ) 的值 §25 【考点及要求】 1. 了解正弦、余弦、正切函数图象的画法,会用“五点法”画正 三角函数的图象(1)

1 3

弦、余弦函数和函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的简图, 2. 掌握由函数 y ? sin x 的图象到函数 y ? Asin(? x ? ? ) 的图象的变换
空白处就是笔记处 ,合理利用 79

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原理. . 【基础知识】 1. “五点法”画正弦、余弦函数和函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的简图,五个特殊点 通常都是取三个 点,一个最 点,一个最 点; 2. 由函数 y ? sin x 的图象到函数 y ? 2sin(2 x ? ) ? 2 的图象的变换方法之
3

?

一为: ①将 y ? sin x 的图象向左平移 个单位得
? 3

图象, 得 y ? sin(2 x ? )
3

②再保持图象上各点纵坐标不变,横坐标变为原来的

?

图象, ③再保持图象上各点横坐标不变,纵坐标变为原来的
y?2 sin( x2 ?

倍得

?
3

) 图象,

④最后将所得图象向

平移 2 个单位得 y ? 2sin(2 x ? ) ? 2 的图象.
3

?

这种变换的顺序是:①相位变换②周期变换③振幅变换。 若将顺序改成②①③呢? 【基本训练】 1.函数 y ? sin( 2 x ? ) 的振幅是 ______, ,频率是 ______, ,初相是 ______
9 1 2

?

2.用“五点法”画函数 y ? 2 sin( x ? ) 的图象时,所取五点为
3

?

3.函数 y ? 1 ? sin x, x ? [0,2? ] 的图象与直线 y ? 2 交点个数是 _____ 个 4.如果把函数 y ? cos(? x) 的图象向右平移 2 个单位后所得图象的函数解析 式为 5.函数 y ? tan(2 x ? ? ) 的图象过点 ( ,0), 则 ? 的一个值是
12

?

【典型例题讲练】 例 1 试说明下列函数的图象与函数 y ? sin x 图象间的变换关系:
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(1) y ? sin( x ? );
3

?

(2) y ? sin( 2 x ?

2? ) ? 2; (3) y ? 2 sin x 3

例 2(1)将函数 y ? 5sin(?3x) 的周期扩大到原来的 2 倍,再将函数图象左 移 ,得到图象对应解析式是 (2)若函数 f ( x) 图象上每一个点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原 来的两倍,然后再将整个图象沿 x 轴向右平移 个单位,向下平移 3 个 单 位 , 恰 好 得 到 y ? sin x 的 图 象 , 则 .
? 3
1 2

? 3

? 2

f ( x) ?

(3)先将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度,再将所得图象 作关于 y 轴的对称变换,则所得函数图象对应解析式 为
x 2 x 2



例 3 已知函数 y ? 3 sin ? cos ( x ? R) ,(1) 用 “五点法” 画出它的图象;(2) 求它的振幅,周期及初相; (3) 说明该函数的图象可由 y ? sin x 的图象经怎 样的变换得到?

【课堂小结】 1.
空白处就是笔记处 ,合理利用 81

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2. 【课堂检测】 1.要得到函数 y ? 2 cos x 的图象,只需将函数 y ? 2 sin( 2 x ? ) 图象上的
4

?

点的 ___ 坐标 _____ 到原来的 ____ 倍,再向 ___ 平移 ____ 个单位 2. 将函数 y ? sin( x ? ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐
3

?

标不变),再将所得的图象向左平移 个单位,所得的图象对应的解析式 是 3.如图所示为 y ? sin x, y ? cos x, y ? tan x ,
? ? y ? cot x 在 [ , ] 上的图象,则它们所对应的图象 1 4 2
④ ③

? 3

编号顺序是( A.①②③④ C.③①②④

) B.①③②④ D.③①④②

2 2
?
4

② ①

?
2

§26 【典型例题讲练】 例1

三角函数的图象(2)

(1)函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 ? ( ? ? 0 )个单位,得到的图象关于直 线 x ? 对称,则 ? 的最小值为
6

?

(2)函数 y ? ?2 sin(4 x ?

2? ) 的图象与 x 轴的交点中 ,离原点 3

空白处就是笔记处 ,合理利用 82

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最近的一点是 __________ 练习:把函数 y = cos(x+ )的图象向左平移 m 个单位(m>0), 所得图象 关于 y 轴对称, 则 m 的最小值是_________。 例 2 函 数 f ( x) 图 象 的 一 部 分 如 图 所 示 , 则 f ( x) 的 解 析 式 为 ( )
?x
3 ? 3.5
7.5 4

? 3

A. f ( x) ? 4 sin

B. f ( x) ? 3.5 sin

?4 6 ?x C. f ( x) ? 3.5 sin ? 4.5 3 ?x D. f ( x) ? 4 sin ? 3.5 6

?x

0.5 0

练习:已知如图是函数 y ? 2 sin(?x ? ? )( ? ? ) 的图象,那么(
10 ? ,?? 11 6 10 ? B. ? ? , ? ? ? 11 6 2

?

3

9

)

A. ? ?

C. ? ? 2, ? ?

?

4

6

D. ? ? 2, ? ? ?

?
6

O

1) B( , 1) , 且 例 3 . 设 函 数 f ( x) ? a ? b sin x ? c cos x( x ? R) 的 图 像 过 点 A(0,,

π 2

b>0 f ( x) 的最大值为 2 2 ? 1, (1) 求函数 f ( x) 的解析式; (2) 由函数 y= f ( x) 图像经过平移是否能得到一个奇函数 y= g ( x) 的图像?若能,请
写出平移的过程;若不能,请说明理由。

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【课堂小结】

【课堂检测】 1.若函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? 2? )的最小值为 ?2 ,周期为
2? ,且它的图象过点 (0, ? 2) ,求此函数解析式. 3 2.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0,| ? |? ? )的一段图象如下图所示,求函

数的解析式.
2

?

? 0
8
?2

3? 8

【课后作业】 1.已知函数 f ( x) ? 2 cos x sin( x ? ) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x ? 2 ( x ? R ) ,该函数的
3

?

图象可由 y ? sin x ( x ? R )的图象经过怎样的变换得到? 2.已知函数 f ( x) ? 2 sin x(sin x ? cos x)
(1) 求函数 f ( x) 的最小正周期和最大值;
( 2) 在给出的直角坐标系中,画出函数 y ? f ( x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的图象 2 2

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选做题:设函数 f ( x) ? sin ax ? 3 cos ax(0 ? a ? 1),g ( x) ? tan(mx ? )(0 ? m ? 1) 又函数 f ( x),g ( x) 的最小正周期相同,且 f (1) ? 2 g (1) , 试确定 f ( x),g ( x) 的解析式;

π 6

§27 三角函数的性质(1) 【考点及要求】会求三角函数的定义域、值域;能解关于三角函数的不等 式;了解三角函数的周期性 【基础知识】 1.正弦函数、余弦函数的定义域均为 (有界性) ;正切函数的定义域为 2.正弦函数、余弦函数的最小正周期 T= 正切函数的最小正周期 T= 【基本训练】 1. y ?
1 ? tan x 的定义域是________________ 1 ? tan x

,值域可表示成[ ,值域为 ,公式是 ;

]

,公式是

2. y ? 0.25 ? sin x 的值域是_________________
2 x ? ) 的 周 期 为 _ _ _ _ _ _ _ ; 函 数 y ? t an ( 3x ? ) 的 周 期 是 3 . 函 数 y ? co s ( 6 4
______;

?

?

函数 y ? 3 sin(2 x ? ) 的周期为 _______
3
空白处就是笔记处 ,合理利用 85

?

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4. f ( x) ? sin x ? cos x 的图象中相邻的两条对称轴间距离为 5.已知 y ? a sin x ? b 的最大值为 3,最小值为-1,求 a,b 的值。

2 3

2 3

【典型例题讲练】 例 1 求函数 f ( x) ? logsin x (1 ? 2 cos x) 的定义域:

练习:求下列函数的定义域 (1) y ? lg(2 sin x ? 2 ) ? 1 ? 2 cos x (2) y ? sin x ? 16 ? x 2

例 2 求下列函数的值域: ⑴ y ? 3 tan x( x ? 1); ⑶ y ? cos 2 x ? sin x ? 1( x ? ) ;
3

⑵ y ? sin x ? 3 cos x( x ? );
?
2 3sin x ? 1 ⑷ f ( x) ? sin x ? 2

?

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例 3 求函数 y ? 2 cos x sin( x ? ) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x 的最小正周期
3

?

练习: 函数 y ? sin( ? 2 x) ? cos 2 x 的周期为 _______ ;
3

?

函数 y ? 2 cos2 x ? 1 的周期为 _______ 【课堂小结】 1.会求三角函数的定义域和值域 2.能根据周期性解题 【课堂检测】 1. y ?
sin 2 x 的定义域是_________________ cos x

2.已知函数 y ? sin(?x ? ) 的最小正周期为 3,则 ? = 设函数 f ( x) ? 2 sin( x ? ), 若对任意 x ? R ,都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,
2 5

?

?

3

?

则 x1 ? x2 的最小值是_______ 3 . 不 等式 tan x ? ?1 的 解集是 是 4.函数 y ? ,
cos x ? 3 的值域是 cos x ? 2
空白处就是笔记处 ,合理利用 87

, 不等 式 sin x ? cos x ? 1 的 解 集

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思考题: 求函数 y ? sin x cos x ? sin x ? cos x 的值域 ( y ? sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 3 cos2 x ? 1的值域) §28 【考点及要求】 能判断三角函数的奇偶性(对称性)和单调性,能求一些简单函数的单 调区间. 【基础知识】 三角函数的性质(2)

【基本训练】 1 . 判 断 函 数 的 奇 偶 性 : ① y ? lg cos x __________ ②
y ? sin( 3? ? x) __________ 2

2. 函数 y ? tan(x ? ) 的对称中心是 ___________, 函数 y ? sin(2 x ? ) 的对
4 3

?

?

称轴方程是___________ 3.y ? cos 2 x 的单调递减区间为___________________;y ? 2 sin(? x) 的单调 递 增 区 间 为 ___________________ ; y ? tan x 的 单 调 递 减 区 间 为 _____________________ 4.若 f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? sin x, 则 x ? 0 时 f ( x) ? 5. 若 函 数 f ( x) ? 3 s i n?(x ? ? ) 对 任 意 实 数 x 都 有 f ( ? x) ? f ( ? x), 则
6 6
空白处就是笔记处 ,合理利用 88

?

?

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f ( ) ? ________ 6

?

【典型例题讲练】 例 1 设函数 f ( x) ? sin(2x ? ? )(?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图象的一条对称轴是直线
x?

?
8

,

(1) 求 ? ;

( 2) 求函数 y ? f ( x) 的单调减区间;

(3) 证明直线 5x ? 2 y ? c ? 0 与函数 y ? f ( x) 的图象不相切

例 2 求下列函数的单调区间:
(1) y ? 1 ? 2x sin( ? ); 2 3 3

(2) y ? ? cos(x ? ) 4

?

例 3 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,其图象关于 点M(
3? ? ,0) 对称,且在区间 [0, ] 上是单调函数,求 ? 和 ? 的值. 4 2

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练习:若函数 y ? f ( x) 的图象和 y ? sin( x ? ) 的图象关于点 M ( ,0) 对称,则
4 4

?

?

f ( x) 的表达式是_________________

【课堂小结】 1. 2. 【课堂检测】 1.函数 y ? sin 2 x 的对称轴方程为 _________ , 函数 y ? cos( x ? ) 的对称中
2

?

心坐标为 _________ 2.求下列函数的单调区间 (1) y ? sin( ? 3 x) ; (2) f ( x) ? sin x(sin x ? cos x)
4

?

3.已知 f ( x) ? sin(x ? ? ) ? 3 sin(x ? ? ) 为偶函数,求 ? 的值.

【课后作业】
( x ? R,ω ? R) 的最小正周期为 π , 1.已知函数 y ? 3 sin ωx cos ωx ? cos 2 ωx+ , 3 2

且当 x ? 时,函数有最小值,(1)求 f ( x) 的解析式;(2)求 f ( x) 的单调 递增区间。
x ? 3 4 2 x x ? x ? x ? 3.已知向量 a ? (2 cos , tan( ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? )), 令f ( x) ? a ? b . 2 2 4 2 4 2 4

π 6

2.求函数 y ? log1 [cos( ? )] 的单调区间

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求函数 f(x)的最大值, 最小正周期, 并写出 f(x)在[0, π]上的单调区间. (江西卷)

思考题:

§29 三角函数的最值问题(1) 【考点及要求】 掌握求三角函数的最值的基本方法. 【基础知识】

【基本训练】 1.(1)设 M 和 N 分别表示函数 y ? 1 cos x ? 1 的最大值和最小值,则 M+N 等于
3

_______. (2) 函 数 y ? 4 s i nx co sx 在 区 间 [0, 2 ? ] 上 的 最 大 值为 _______, 最 小 值为
3

_______. 2.(1)函数 y ? sin x ? cos x 的最大值为_______,最小值为_______.
? x) ? sin( ? x) 的最大值为_______. 3 6 3.函数 y ? sin 2 x ? 5 sin x ? 5 的最大值为_______,最小值为_______. 2 2
空白处就是笔记处 ,合理利用 91

(2)函数 y ? 2 sin(?

?

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4.函数 f ( x) ? sin x ? 5.函数 y ?

1 , x ? (0, ? ) ,则 f ( x) 的最小值是_______. sin x

cos x 的最大值为_______. cos x ? 1

【典型例题讲练】 例1 求函数 y ? sin x ?
3 cos x 在区间[ ?

? ?

, 2 2

]上的最大值与最小值.

练习: 函数 y ? sin x(cos x ? sin x)(0 ? x ? ? ) 的最大值是
4

例2

函数 f ( x) ? cos x ? 1 cos 2x( x ? R) 的最大值等于_______
2

练习: 已知 k ? ?4, 则函数 y ? cos 2 x ? k (cos x ? 1) +1 的最小值是多少?

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例3

求函数 y ? (4 ? 3 sin x)( 4 ? 3 cos x) 的最小值.

练习: 求函数

y ? (sin x ? a)(cos x ? a)

的最大值与最小值(其中 ? 1 ? a ? 0) .

【课堂小结】 1. 求三角函数最值的常用方法有: (1) 配方法(主要利用二次函数理论及三角函数的有界性) ; (2) 化为一个角的三角函数 (主要利用和差角公式及三角函数的有界 性) ; (3) 换元法;
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(4) 基本不等式法等. 2.三角函数的最值都是在给定区间上取得的,因而特别要注意条件中所 给出的范围. 3.求三角函数的最值时,一般要进行一些代数变换和三角变换,要注意 函数有意义的条件及正余弦函数的有界性. 【课堂检测】 已知 sin x ? sin y ? 1 ,求 sin y ? cos 2 x 的最大值与最小值.
3

1.当 ? ? ? x ? ? 时,函数 f (x) ? sin x ? 3 cos x 的最大值是 ,最小值是
2 2

2. 函数 y ? cos2 x ? 3 cos? 2 的最小值为 3.函数 y ?
1 的最大值是 2 ? sin x ? cos x

§30 三角函数的最值问题(2) 【基础练习】 1.若函数 y ? a ? b sin( 4 x ? ) 的最大值和最小值分别为 5 和 1,则
3

?

a?

,b ?
3 ? x) ? cos(

.
?
6 ? x) 的最小值为_______.

2. 函数 y ? 2 sin(?

3. 函数 y ? cos x ? sin 2 x ? cos 2x ? 7 的最大值_________.

4 sin x 4.函数 y ? 的最小值为 ______, ,最大值为 _______ sin x ? 2

.

【典型例题】 例1 已知函数 f ( x) ? 2 cos x sin(x ? ? ) ?
3 3 sin 2 x ? sin x cos x ,求函数 f ( x) 的最大、最

空白处就是笔记处 ,合理利用 94

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小值.

练习:

已知

f ( x) ? 2 cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? a ? 1.(a ? R, a 为常数 ).(1) 若 x ? R, 求

f ( x) 的最小正周期; (2)若 f ( x) 在[0,

? ]上的最大值与最小值之和为 5,求 a 6

的值.

空白处就是笔记处 ,合理利用 95

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例 2 设关于 x 的函数 y ? 2 cos2 x ? 2a cos x ? (2a ? 1) 的最小值为 f (a) . (1)写出 f (a) 的表达式; (2)试确定使 f (a) ? 的 a 值,并对此时的 a ,求 y 的最大值.
1 2

例3

PQRS 是扇形的内接矩形, 扇形 AOB 的半径为 1,中心角为 60 ? , 问P在

怎样的位置时,矩形 PQRS 的面积最大,并求出这个最大值.

B

Q

P

O R S

A

【课堂小结】掌握某些带约束(隐含)条件的最值 【课堂检测】 1.若 f ( x) ? 2 sin ?x(0 ? ? ? 1) 在区间 [0, ? ] 上得最大值是
3
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2 .则 ? 的值是 _______

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2.求函数 y ? sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 3 cos2 x 的最大值和最小值及相应 x 的值.

【课外作业】
3 sin x cos x ? 1 , x ? R 2 (I)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合;

1.已知函数 y ? cos2 x ?

1 2

(II)该函数的图象可由 y ? sin x ( x ? R )的图象经过怎样的平移和伸缩 变换得到? 2 .已知函数 f ( x) ? 2a sin2 x ? 2 3a sin x cosx ? b ? 1 的定义域为 [0, ] ,值域为
2

?

[?5,1] ,求 a , b 之值.

§31 两角和与差的三角函数式(1) 【考点及要求】 1. 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.

2.能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值. 【基础知识】 :
sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ?

; ; tan(? ? ? ) ? 用、 用和 用 .

公式的“三用”指 【基本训练】

1.(1) sin17? cos 47? ? sin 73? cos 43? =
1 ? tan 15? 2. (1 ? tan 26? )(1 ? tan 19? ) ?

(2) 1 ? tan 15? =___________

空白处就是笔记处 ,合理利用 97

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? 3. (07 江西卷)若 tan ? ? ? ? ? ? 3 ,则 cot ? 等于 π ?4 ?

4. (07 江西卷)若 tan ? ? 3 , tan ? ? ,则 tan(? ? ? ) 等于 5.求值 2 sin 500 (1 ? 3 tan100 ) = 【典型例题讲练】 例1 求值: 2 sin 50? ? sin 80?(1 ?
3 tan 10?) 1 ? cos 10?

4 3



练习:

1 ? sin 20? cos10? ? 1 ? sin 2 100?

例2 设 ? ? ( ? , ? ), 若 sin? ? 4 , 试求: (1)
2 5

(2) tan(? ? ) . 2 cos(? ? ) ; 4 3

?

?

练习:
cos 2?

设 cos(? ? ? ) ? ? 4 , cos(? ? ? ) ? 12 , ? ? ? ? ( ? , ? ) , ? ? ? ? ( 3? ,2? ) , 求
5 13 2 2

, cos 2? 的值.

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例 3 已知 cos(? ? ? ) ? m , cos(? ? ? ) ? n , (m ? n ? 0) ,求 tan ? ? tan ? .

练习:

sin(? ? ? ) ?

1 , sin(? ? ? ) ? 1 ,则 tan ? cot ? =_____________ 2 3

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【课堂小结】 1. 2. 【课堂检测】 1. 化简:
3 1 sin ? ? cos ? 2 2

=___________
cos 15 ? ? sin 15 ? ? ______ . cos 15 ? ? sin 15 ?

2. sin 62? cos 28? ? cos118? sin152? =_______;
2 5 2 5

3. sin ? ? 3 , cos ? ? ? 4 , 则 ? 角的终边在第 ____ 象限. 4. tan10? tan 20? ?
3(tan 10? ? tan 20?) =

.

§32 两角和与差的三角函数式(2) 【基础练习】 1.已知 ? , ? 均为锐角,且 cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ), 则 tan ? ? ______ 2. cos ?
6 ? 3 sin

?
6

? ________

3.在 ?ABC 中,若 cos A ? , cos B ? 4.

4 5

5 , 则 cos C 的值是_________ 13

2 cos 10? ? sin 20? 的值为_________ sin 70?

【典型例题讲练】 例 1 已知 ? 、 ? 、 ? ? (0, ? ), sin? ? sin ? ? sin ? , cos ? ? cos ? ? cos ? , 求 ? ? ? 的值.
2

空白处就是笔记处 ,合理利用 100

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练习: 若 sin? ? cos ? ? tan ? (0 ? ? ? ? ), 则 ? ?(
2

) D.( ? , ? )
3 2

A. (0, ? )
6

B.( ? , ? )
6 4 7

C.( ? , ? )
4 3 14 2

例2

设 cos ? ? 1 , cos(? ? ? ) ? ? 11 , ? ? (0, ? ) , ? ? ? ? ( ? , ? ) ,求 ? .
2

练习: 已知 tan(? ? ? ) ? 1 , tan ? ? ? 1 , ,且 ?、 ? ? (0, ? ) ,求 2? ? ? 的值.
2 7

例 3.化简:

2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ? 2 tan(

?
4

? x) sin 2 (

?
4

1 2

? x)

空白处就是笔记处 ,合理利用 101

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例4

求证:
cot

cos 2 ?

?
2

? tan

?
2

?

1 sin 2? . 4

【课堂小结】 1. 2. 【课堂检测】 1. 化简:
1 sin 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? cos 2 ? ? cos 2? cos 2? 2

2. 已知: tan(? ? ? ) ? 2 tan ? ,求证: 3 sin ? ? sin(? ? 2? )

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【课后作业】 1.已知 sinα= 3.若 cos(?
5 5

,则 sin4α-cos4α的值为
3[tan(18? ? x) ? tan(12? ? x)]
sin 2 x ? 2 sin 2 x 1 ? tan x

2.化简: tan(18? ? x) tan(12? ? x) ?
4 ? x) ? 3 17? 7? , ?x? 5 12 4

,求

的值.
3 , 4

4.设 ?ABC 中,有 tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A tan B,sin A cos A ? 则此三角形是 三角形。

§33 【考点及要求】

二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)

掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. 【基础知识】 1 . cos 2? ?
sin 2? ?

= , tan 2? ?
?
2 ?

= . ; cos 2


?
2 ?

2 . 在 二 倍 角 公 式 中 , 可 得 sin 2 (也称为降次公式);

【基本训练】 1.已知 3 sin x ? 2 cos x ? 0 ,则 tan 2 x =_______
(? 2.已知 sin 2? ? , 3 5 3? ? ? ? ? ? ),求 cos ?的值。 4 2

3.设 0 ? x ? 2? ,且 1 ? sin 2x ? sin x ? cos x ,则 (A) 0 ? x ? ? (B)
?
4 ?x? 7? 4

( (C)
?
4 ?x?


5? 4

(D)

空白处就是笔记处 ,合理利用 103

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?
2

?x?

3? 2

4.化简 sin 6? cos 24? sin 78? cos 48? =
? ? 5.若 sin? ? ? ? ? ? ,则 cos? ?6 ? 1 3

. .

?

2? ? ? 2? ? = ? 3 ?

【典型例题讲练】 例 1 例 1. ( ) (A)3-cos2x 3+sin2x 若

f(sinx) = 3 - cos2x , 则
(B)3-sin2x

f(cosx) =
(D)

(C)3+cos2x

? 例 2 例 1.已知 cos( ? ? ) ? , 4

?

3 5

3? ? ? ? ? ? ? ,求 cos( 2? ? )的值。 2 2 4

例 3.已知

3? 10 ? ? ? ? , tan ? ? cot ? ? ? 4 3 (Ⅰ)求 tan ? 的值;

(Ⅱ)求

5sin 2

?
2

? 8sin

?
2

cos

?
2

? 11cos 2

?
2

?8

?? ? 2 sin ? ? ? ? 2? ?

的值。

空白处就是笔记处 ,合理利用 104

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【课堂小结】 1. 2. 【课堂检测】 1.求值: (1) sin 22?30? ? cos 22?30? ? (2) 8sin ? cos ? cos ? cos ? ?
48 48 24 12

2.已知: tan x ? 2 ,则 tan 2( x ? ) ?
4

?

3.化简 2 ? sin2 2 ? cos4 = 4.设 f (tan x) ? tan 2 x ,求 f (2)

空白处就是笔记处 ,合理利用 105

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§34 二倍角的正弦、余弦、正切公式(2) 【典型例题讲练】
tan β ? , 例 1.已知 tan α ? , 且 α,β 为锐角,试求 α ? 2 β 的值。 1 7 1 3

tan β ? ? ,且α,β ? (0,π ), 练习:已知 tan(α ? β ) ? , 求 2α ? β 的值。

1 2

1 7

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例 2.若 tan ? ? 3 ,求 sin 2? ? cos 2? 的值

例 3.求证: (1)sin ? ? cos ? ? 1 [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] ; (2)sin ? ? sin ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ?
2
2 2

练习:求证: tan ? ?
2

sin ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? sin ?



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【课堂小结】 1. 2.

【课堂检测】 1.化简 cos2? ? 2 sin 2 ? 得 2.已知 sin ? ? cos 2? ,? ? ( , ? ), 求 tan ?
2

?

3.化简

1 ? sin 4? ? cos 4? 1 ? sin 4? ? cos 4?

【课后作业】 1.求证:
sin β sin(2α ? β ) ? ? 2 cos(α ? β ) sin α sin α

n n is is , ? 2. 已知: 且 00 ? ? ? ? ? 900 ,

? 是方程 x 2 ? ( 2 cos 400 ) x ? cos 400 ? ? 0 的

1 2

两根, 求 cos(2? ? ? )的值。 3. cos6
?
8 ? sin 6

?
8

=



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2 cos 2 ? sin ? ? 1 3 ? 2 4.已知 sin 2? ? ,且 0 ? 2? ? ,求 的值。 5 2 ? 2 sin(? ? ) 4

?

§35 【考点及要求】 1. 掌握正弦定理、余弦定理;

解三角形 (1)

2. 并能初步应用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题. 【基础知识】 1.正弦定理: .

利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1) (2) ; .
2

2.余弦定理:第一形式:b 2 = a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,第二形式:cosB= a 利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1) (2) 3.三角形的面积公 式
; 4.△ABC 中, a : b : c ? sin A:sin B:sin C
A? B ?C ? ?.

? c2 ? b2 2ac

; .

.

【基本训练】
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1 . 在 △ ABC ( )

中 ,“

A?B

” 是 “ s iA ?n

B s”i

n 的

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4

2.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,若三角形的面积 S= 1 (a2+b2-c2) ,则∠C 的度数是_______.

? 7M , 为 BC 的 中 点 , 且 AM ? 3 ? 5 , 则 3 . 在 △ ABC 中 , A B? 4 , A C
BC ?

.
1 3

4.在 △ ABC 中,若 tan A ? , C ? 150? , BC ? 1 ,则 AB ? 【典型例题讲练】 例 1 在ΔABC 中,已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45°,求 A,C 及边 c. 1. 变 式 : 在 △ ABC 中 ,
a ? 2, C ?
a, b , c分 别 是 三 个 内 角 A, B,C

的对边.若

π B 2 5 , cos ? ,则 △ ABC 的面积 S =________________ 4 2 5

例 2 在ΔABC 中,若 2cos B sin A ? sin C ,则ΔABC 的形状为

.

变式 1: ?ABC中若(a 2 ? b 2 ) sin(A ? B) ? (a 2 ? b 2 ) sin C则?ABC 是( ) A、等腰三角形 B、直角三角形
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C、等腰直角三角形

D、等腰或直角三角形。

【课堂小结】 利用正弦,余弦定理,可以解决以下几类有关三角形的问题. 【课堂检测】 1.下列条件中,△ABC 是锐角三角形的是 A.sinA+cosA= 1
5

B. AB ? BC ? 0 D.b=3,c=3
3 ,B=30°

??? ? ??? ?

C.tanA+tanB+tanC>0

2.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、b、c 成等 差数列,∠B=30 0 △ABC 的面积为 3 ,那么 b 等于
2

A. 1 ?

3

2

B.1+

3

C. 2 ?

3

2

D.2+

3

3.在△ABC 中, “A>30°”是“sinA> 1 ”的
2

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 §36 解三角形 (2)
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【典型例题讲练】 例 3 在△ABC 中 A=45°,B:C = 4:5 最大边长为 10,求角 B、C、外接 圆半径及面积 S

变式:在△ABC 中以知 A=30°a、b 分别为角 A、B 对边,且 a=4= 解此三角形

3 b 3

例 4.△ABC 的周长为 12, 且 sinA〃cosB-sinB=sinC-sinA〃cosC,则 其面积最大值为 。
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变式 : △ ABC 三内角 A 、 B 、 C 成等差数列,则 cos 2 A ? cos2 C 的最小值 为 。

【课堂小结】 常用方法: (1)A+B+C=180° (2)
a ? 2R sin A

可进行角的代换

可进行边角互换 可进行角转化为边 面积与边角联系。

(3) cosC ?
1 2

a2 ? b2 ? c2 2ab

(4) S ? ? ab sin C 【课堂检测】

1 .△ ABC 中已知∠ A=60 °, AB : AC=8 : 5 ,面积为 10 3 ,则其周长
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。 。

2.△ABC 中 A:B:C=1:2:3 则 a:b: c=

3 . 下 列 条 件 中 , △ ABC ( ) A.sinA+cosA= 1
5

是 锐 角 三 角 形 的 是

B. AB ? BC ? 0 D.b=3,c=3
3 ,B=30°

??? ? ??? ?

C. 1 ? tan A tan B ? 0 【课后作业】

1. 若 a、a+1、a+2 为钝角三角形的三边求 a 的范围 2.在 △ ABC 中,
tan A 2c ? b ? , 则 ?A ? tan B b

.

3. 在 △ ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? . (Ⅰ)求 sin B 的值;
?? (Ⅱ)求 sin ? ? 2 B ? ? 的值 ? 6?

4 5

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