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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第十一章 概率 11.3 几何概型课件 文


第十一章 概



§11.3 几何概型

内容 索引

基础知识 自主学习

题型分类 深度剖析 易错警示系列
思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理
1.几何概型的概念 设D是一个可度量的区域(例如 线段 、 平面图形 、 立体图形 等),每个 基本事件可以视为从区域 D内随机地取一点,区域D内的每一点被取到 的机会 都一样 ;随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的 某个指

定区域d中的点 .这时,事件A发生的概率与d的测度(长度 、 面积 、体积
等 ) 成正比,与 d 的形状和位置无关 .我们把满足这样条件的概率模型称

为几何概型.
答案

2.几何概型的概率计算公式 一般地,在几何区域D中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一

d的测度 个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率P(A)= D的测度
3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个 ;

.

(2)等可能性:每个结果的发生具有 等可能性 .
答案

4.随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出 随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法.

(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法 .这个方法的基本
步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数,并赋予每个随

机数一定的意义;②统计代表某意义的随机数的个数 M 和总的随机数
个数N;③计算频率fn(A)=M 作为所求概率的近似值. N

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.( √ )
(2)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地

取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等.( √ )
(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( √ )

(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( √ )
(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( × ) 1 (6)从区间[1,10]内任取一个数,取到1的概率是P= .( × ) 9
答案

2

考点自测
1.( 教 材 改编 ) 在 线段 [0,3] 上任 投 一点 , 则此 点 坐标 小 于 1 的 概 率为 1 ________. 3 解析 坐标小于1的区间为[0,1],长度为1,[0,3]区间长度为3,

1 故所求概率为3.

1

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3

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解析答案

2.(2015· 山东改编)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件 “-1≤ 3 1 log 1 ( x ? ) ≤1”发生的概率为________. 4 2
2

解析

1 1 1 ∵由-1≤ log 1 ( x ? ) ≤1,得2≤x+2≤2, 2 2

3 ∴0≤x≤2.

∴由几何概型的概率计算公式得所求概率
3 - 0 2 3 P= =4. 2-0
1 2 3 4 5
解析答案

3.(2014· 辽宁改编)若将一个质点随机投入如图所示的长 方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB π 为直径的半圆内的概率是________. 4 解析 设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A,

1 2 π·1 阴影面积 2 π 则 P(A)= = = 4. 长方形面积 1×2

1

2

3

4

5

解析答案

4.(2014· 福建)如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180 粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为________. 0.18

解析

由题意知,这是个几何概型问题,

S阴 180 =1 000=0.18, S正

∵S正=1,∴S阴=0.18.
1 2 3 4 5
解析答案

5.(教材改编)如图,圆中有一内接等腰三角形.假设你在图中 1 π 随机撒一把黄豆,则它落在阴影部分的概率为________. 解析 设圆的半径为R,

由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形,
其直角边长为 2R,

1 S阴 2× 2R× 2R 1 则所求事件的概率为:P= = = π. 2 π R S圆
1 2 3 4 5
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题型分类 深度剖析

题型一

与长度、角度有关的几何概型

(1)(2015· 重庆)在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则方程x2+2px 2 +3p-2=0有两个负根的概率为________. 3 例1 解析 方程x2+2px+3p-2=0有两个负根,
2 ? ?4p -4?3p-2?≥0, ? 即?-2p<0, ? ? ?3p-2>0,

? ?Δ≥0, ? 则有?x1+x2<0, ? x2>0, ? ?x1·

2 解得 p≥2 或3<p≤1,

1 10 3+3 3 2 又 p∈[0,5] ,则所求概率为 P= 5 = 5 =3.
解析答案

π π 1 (2)在区间[-2,2]上随机取一个数 x,则 cos x 的值介于 0 到2之间的概 1 3 率为________.
解析 π π 当-2≤x≤2时,

1 π π π π 由 0≤cos x≤2,得-2≤x≤-3或3≤x≤2,

1 根据几何概型概率公式得所求概率为3.

解析答案

(3)如图所示,在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,高 AD= 3 ,在∠BAC内作射线AM交BC于点M,求BM<1的 概率.



因为∠B=60°,∠C=45°,所以∠BAC=75°.

在 Rt△ABD 中,AD= 3,∠B=60° ,
AD 所以 BD=tan 60° =1,∠BAD=30° .

记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M,使BM<1”, 则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生.
30° 2 由几何概型的概率公式,得:P(N)=75° =5.
解析答案

引申探究
1 1.本例(2)中,若将“cos x 的值介于 0 到2”改为“cos x 的值介于 0 到 3 2 ”,则概率如何?



π π 3 π π π π 当-2≤x≤2时,由 0≤cos x≤ 2 ,得-2≤x≤-6或6≤x≤2,

2 根据几何概型概率公式得所求概率为3.

解析答案

2.若本例(3)中“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上

找一点M”,求BM<1的概率.
解 依题意知 BC=BD+DC=1+ 3,

3-1 1 P(BM<1)= = 2 . 1+ 3

思维升华

解析答案

跟踪训练1
(1)如图,在直角坐标系内,射线OT落在30°角的 终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT内 1 6 的概率为________. 解析 如题图,因为射线OA在坐标系内是等可能分布的,

60° 1 所以 OA 落在∠yOT 内的概率为360° =6.

解析答案

? x-2 ? ? ? >0 (2)已知集合 A={x|-1<x<5},B=?x? ? ? ?3-x

1 6 元素 x,则事件“x∈(A∩B)”的概率是________.

? ? ?,在集合 A 中任取一个 ? ?

解析

由题意得A={x|-1<x<5},B={x|2<x<3},故A∩B={x|2<x<3}.

由几何概型知,在集合A中任取一个元素x,
1 则 x∈(A∩B)的概率为 P=6.

解析答案

题型二

与面积有关的几何概型

命题点1 与平面图形面积有关的问题
例2 (2015· 福建改编)如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点

?x+1,x≥0, ? B 的坐标为(1,0),且点 C 与点 D 在函数 f(x)=? 1 ?- x+1,x<0 ? 2

的图象上.若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率 等于________.

解析答案

命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题
例3 (2014· 重庆)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王

在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是
等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________.

思维升华

解析答案

(1) 在区间[ - π , π] 内随机取出两个数分别记为 a , b ,则函 跟踪训练2 π 1 - 2 2 2 数f(x)=x +2ax-b +π 有零点的概率为________. 4

解析

由函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点,

可得Δ=(2a)2-4(-b2+π2)≥0,整理得a2+b2≥π2,

如图所示,(a,b)可看成坐标平面上的点,
试验的全部结果构成的区域为Ω={(a,b)|-π≤a≤π,-π≤b≤π},

其面积SΩ=(2π)2=4π2.
事件A表示函数f(x)有零点,所构成的区域为M={(a,b)|a2+b2≥π2},

即图中阴影部分,其面积为SM=4π2-π3, 2 3 4π - π π SM 故 P(A)= S = 4π2 =1-4. Ω
解析答案

? ?x≤0, ? (2)(2014· 湖北改编)由不等式组?y≥0, ? ? ?y-x-2≤0

确定的平面区域记为 Ω1,

? ?x+y≤1, 不等式组? 确定的平面区域为 Ω2,在 Ω1 中随机取一点,则 ? ?x+y≥-2

该点恰好在 Ω2 内的概率为________.

解析答案

题型三

与体积有关的几何概型
在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,点 O 为底面 ABCD 的中

例4

心,在正方体ABCD - A1B1C1D1 内随机取一点 P,则点 P到点O的距离 π 1-12 大于1的概率为________.
解析 1 4 2 3 V 正=2 =8,V 半球=2×3π×1 =3π,
3

V半球 2π π = =12, V正 8×3
π 故点 P 到 O 的距离大于 1 的概率为 1-12.
思维升华 解析答案

跟踪训练3
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,有一动点在此长方体内随机运动, 1 则此动点在三棱锥A-A1BD内的概率为________. 6

解析

1 1 1 因为 VA-A1BD=VA1-ABD=3· S△ABD· AA1=6· S 矩形 ABCD· AA1=6V 长方体,
VA-A1BD V长方体

故所求概率为

1 = 6.
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易错警示系列

易错警示系列

12.混淆长度型与面积型几何概型致误

典例

(14分)在长度为1的线段上任取两点,将线段分成三段,试求这

三条线段能构成三角形的概率.

易错分析 不能正确理解题意,无法找出准确的几何度量来计算概率.

易错分析

温馨提醒

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思想方法 感悟提高

方法与技巧
1. 区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还 是无限个.

2.转化思想的应用
对一个具体问题,可以将其几何化,如建立坐标系将试验结果和点对

应,然后利用几何概型概率公式.
(1)一般地,一个连续变量可建立与长度有关的几何概型,只需把这个 变量放在坐标轴上即可;

方法与技巧

(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述,则可用这两个变量的有序 实数对来表示它的基本事件,然后利用平面直角坐标系就能顺利地建 立与面积有关的几何概型;

(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述,则可用这三个变量组
成的有序数组来表示基本事件,利用空间直角坐标系建立与体积有关

的几何概型.

失误与防范

1.准确把握几何概型的“测度”是解题关键; 2. 几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响 所求结果.

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1.(2014· 湖南改编)在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为 3 ________. 5 解析 在区间[-2,3]上随机选取一个数X,

3 则 X≤1,即-2≤X≤1 的概率为 P=5.

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2.在区间[ -1,4] 内取一个数 x,则2 x-x
解析 不等式 2
x-x 2

3 1 5 ≥4的概率是________.

1 ≥4,可化为 x2-x-2≤0,则-1≤x≤2,

2-?-1? 3 故所求概率为 =5. 4-?-1?

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3.已知△ABC中, ∠ABC= 60°,AB=2,BC=6,在 BC上任取一点 D, 1 则使△ABD为钝角三角形的概率为_________. 2

解析

如图,当BE=1时,∠AEB为直角,

则点D在线段BE(不包含B、E点)上时,△ABD为钝角三角形;

当 BF = 4 时, ∠BAF 为直角,则点 D 在线段 CF( 不包含 C 、 F 点 ) 上时,
△ABD为钝角三角形.
1+2 1 所以△ABD 为钝角三角形的概率为 6 =2.
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? ?0≤x≤2, 4.设不等式组? 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一 ? ?0≤y≤2

π 1-4 个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是__________.

解析

如图所示,正方形OABC及其内部为不等式组表示

的区域D,且区域D的面积为4,

而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的
区域.易知该阴影部分的面积为4-π. π 因此满足条件的概率是 1-4.
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5. 已知一只蚂蚁在边长分别为 5,12,13 的三角形的边上随机爬行,则其 4 恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为________. 5 解析 由题意可知,三角形的三条边长的和为5+12+13=30,

而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行,
则它爬行的区域长度为3+10+11=24,
24 4 根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为30=5.

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6.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆 心,在这个圆柱内随机取一点 P ,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 2 ________. 3 1 4 2 3 解析 V 圆柱=2π,V 半球=2×3π×1 =3π,
V半球 1 =3, V圆柱
2 故点 P 到 O 的距离大于 1 的概率为3.
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x y 7.在区间[1,5] 和[2,4] 上分别各取一个数,记为 m 和 n,则方程m2+n2=1 1 2 表示焦点在 x 轴上的椭圆的概率是________. 2 2 x y 解析 ∵方程m2+n2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,∴m>n.

如图,由题意知,在矩形ABCD内任取一点Q(m,n),
点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率,

易知直线m=n恰好将矩形平分,
1 ∴所求的概率为 P=2.
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8.随机地向半圆 0<y< 2ax-x (a 为正常数)内掷一点,点落在圆内任何 区域的概率与区域的面积成正比,则原点与该点的连线与 x 轴的夹角小 1 1 π + 2 π 于4的概率为_________.

解析

半圆域如图所示:

π 设 A 表示事件“原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于4, 1 2 1 2 A的面积 4πa +2a 1 1 由几何概型的概率计算公式得 P(A)= = 1 =2+π. 半圆的面积 2 π a 2
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9.随机向边长为5,5,6的三角形中投一点 P,则点P到三个顶点的距离都 24-π 不小于1的概率是________. 24 解析 由题意作图,如图

1 则点 P 应落在深色阴影部分,S 三角形=2×6× 52-32=12,
π 三个小扇形可合并成一个半圆,故其面积为2,

π 12-2 24-π 故点 P 到三个顶点的距离都不小于 1 的概率为 12 = 24 .
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10.已知向量a=(-2,1),b=(x,y). (1) 若 x , y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子 ( 六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6) 先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足 a· b =- 1 的概率; 解 将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次, 所包含的基本事件总数为6×6=36(个); 由a· b=-1有-2x+y=-1, 所以满足a· b=-1的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5),共3个;
3 1 故满足 a· b=-1 的概率为36=12.
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(2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,求满足a· b<0的概率. 解 若x,y在连续区间[1,6]上取值, 则全部基本事件的结果为Ω={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6}; 满足a· b<0的基本事件的结果为 A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6且-2x+y<0}; 画出图形如图,矩形的面积为S矩形=25,
1 阴影部分的面积为 S 阴影=25-2×2×4=21, 21 故满足 a· b<0 的概率为25.
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11. 一个长方体空屋子,长,宽,高分别为 5 米, 4 米, 3 米,地面三个 角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计),可捕捉距其一米空间内的苍蝇, 若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入,并在房间内盘旋,则苍蝇 π 被捕捉的概率是________. 120 解析 屋子的体积为5×4×3=60立方米,
1 4 π 3 捕蝇器能捕捉到的空间体积为8×3π×1 ×3=2立方米. π 2 π 故苍蝇被捕捉的概率是60=120.
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12.(2015· 湖北改编)在区间[0,1] 上随机取两个数 x,y,记 p1 为事件“x 1 1 +y≤2”的概率, p2 为事件“xy≤2”的概率, 则下列正确的是________. 1 ①p1<p2<2 1 ③2<p2<p1 1 ②p2<2<p1 1 ④p1<2<p2

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13.如图,已知点 A 在坐标原点,点 B 在直线 y=1 上,点 C(3,4), 若 AB≤ 10,则△ABC 的面积大于 5 的概率是________.

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14.已知集合A=[-2,2],B=[-1,1],设M={(x,y)|x∈A,y∈B},在 集合M内随机取出一个元素(x,y).

(1)求以(x,y)为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率;
解 集合M内的点形成的区域面积S=8.

因圆x2+y2=1的面积S1=π,
S1 π 故所求概率为 S =8.
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2 (2)求以(x,y)为坐标的点到直线 x+y=0 的距离不大于 2 的概率.
解 |x+y| 2 由题意 ≤ 2 ,即-1≤x+y≤1, 2

形成的区域如图中阴影部分,阴影部分面积S2=4,
S2 1 所求概率为 S =2.

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15.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内

到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h,乙船停泊时间
为2 h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.

解析答案

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